郭空明　朱應(yīng)敏　王芳林

摘要：分析力學(xué)由于其理論性強(qiáng)，數(shù)學(xué)背景濃厚，不但許多工科專業(yè)需要開設(shè)，物理、數(shù)學(xué)等理科專業(yè)也需要開設(shè)。由于分析力學(xué)內(nèi)容非常廣泛，不同專業(yè)開設(shè)此門課程的教學(xué)內(nèi)容必然有不同的側(cè)重點(diǎn)，授課方式也應(yīng)有所區(qū)別。本文針對(duì)機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)課程存在的問題，對(duì)其教學(xué)改革進(jìn)行了研究，主要探討了如何根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)選取合理的教學(xué)內(nèi)容，以及如何更好地在課堂環(huán)節(jié)上講授這些內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：機(jī)械專業(yè)；分析力學(xué)；教學(xué)內(nèi)容；授課方法

中圖分類號(hào)：O342 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）11-0174-02

一、分析力學(xué)課程特點(diǎn)和內(nèi)容

分析力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)分支，其嚴(yán)格定義目前尚未有一致性結(jié)論[1]。一般認(rèn)為分析力學(xué)是以廣義坐標(biāo)為手段，虛位移原理和動(dòng)力學(xué)普遍方程為理論基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法研究力學(xué)問題的一門學(xué)科[2]。1788年，拉格朗日重要著作《Mécanique Analytique》的出版，標(biāo)志著分析力學(xué)的初步形成。之后在各國(guó)學(xué)者的推動(dòng)下，分析力學(xué)取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，并且有了更豐富的內(nèi)涵和外延。

分析力學(xué)學(xué)科具有以下特點(diǎn)：（1）以標(biāo)量的“能量”以及廣義坐標(biāo)、廣義力為中心；（2）不考慮理想約束力，因此比起牛頓力學(xué)，更適于處理約束系統(tǒng)；（3）高度數(shù)學(xué)化，有理論深度；（4）應(yīng)用廣泛，已超出經(jīng)典力學(xué)范疇。

分析力學(xué)學(xué)科包含如下內(nèi)容：拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)、動(dòng)力學(xué)變分原理、微振動(dòng)理論、剛體動(dòng)力學(xué)、天體力學(xué)、穩(wěn)定性理論、Noether定理、Birkhoff系統(tǒng)、幾何力學(xué)等。其中，傳統(tǒng)工科分析力學(xué)的授課內(nèi)容一般為前三部分，而理科分析力學(xué)的內(nèi)容要更為廣泛一些。

二、機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)課程存在的問題

對(duì)于機(jī)械專業(yè)來講，其研究對(duì)象為受約束的機(jī)構(gòu)，研究?jī)?nèi)容為機(jī)械振動(dòng)和機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等。對(duì)于機(jī)械振動(dòng)，分析力學(xué)可使其建模方法更加規(guī)范化；對(duì)于機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，由于其存在大量的約束，采用分析力學(xué)方法建模更加便捷。因此，機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)課程的開展是非常必要的。

目前對(duì)于機(jī)械專業(yè)的分析力學(xué)課程，還存在一些值得探討的問題。首先，這門課程一般只作為選修課，課時(shí)有限，授課時(shí)必須有所取舍和側(cè)重；其次，工科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)理科學(xué)生略顯薄弱，但課程中存在一些數(shù)學(xué)背景深厚的概念，因此需要在課程的嚴(yán)謹(jǐn)性和易懂性之間取得一定的平衡；最后，分析力學(xué)即使在力學(xué)課程中也是一門基礎(chǔ)學(xué)科，因此在授課時(shí)應(yīng)注意將其知識(shí)與其他力學(xué)課程中的知識(shí)串聯(lián)在一起，而不是孤立地講授。

下文針對(duì)這些問題，討論了機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)課程內(nèi)容的設(shè)置，并闡述了筆者在講解一些重要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)時(shí)相比傳統(tǒng)的授課方法進(jìn)行的具體改進(jìn)。

三、機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)課程的內(nèi)容設(shè)置和講授方法

上文提到，機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域主要在結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，因此，課程的設(shè)置應(yīng)偏重于拉格朗日力學(xué)，尤其是第二類拉格朗日方程。

（一）第一章 緒論

講述近代力學(xué)發(fā)展史、分析力學(xué)的大致定義、分析力學(xué)的特點(diǎn)。在近代力學(xué)發(fā)展史講授中，要突出分析力學(xué)尤其是拉格朗日力學(xué)的地位，提高學(xué)生對(duì)課程的重視性。講述分析力學(xué)特點(diǎn)時(shí)，要明確指出其最大特點(diǎn)是適合處理約束系統(tǒng)，以區(qū)別理論力學(xué)所學(xué)的知識(shí)。

（二）第二章 分析運(yùn)動(dòng)學(xué)

這部分屬于基礎(chǔ)知識(shí)，授課內(nèi)容靈活性不大，講授內(nèi)容包括：約束、等時(shí)變分、虛位移和自由度、廣義坐標(biāo)、運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的分析法。

對(duì)于第一部分約束，筆者相比其他一些傳統(tǒng)教材，加入了判斷微分約束是否可積的方法。因?yàn)閷W(xué)生在接觸到微分約束不一定是非完整約束這個(gè)結(jié)論的時(shí)候，很自然地會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問題：究竟哪些微分約束才是可積的？該部分的內(nèi)容填補(bǔ)了這個(gè)空白。

第二部分內(nèi)容等時(shí)變分實(shí)際上在這里講授顯得較早，但是該部分內(nèi)容作為基礎(chǔ)，可以使得下一部分內(nèi)容虛位移中變分符號(hào)的出現(xiàn)不顯得太過突兀。另外通過學(xué)習(xí)變分的運(yùn)算法則，學(xué)生才能夠從坐標(biāo)的約束方程得到各虛位移之間的約束方程。

第三部分內(nèi)容與傳統(tǒng)授課相比，筆者主要針對(duì)自由度這個(gè)概念將學(xué)生所學(xué)知識(shí)橫向比較。對(duì)于自由度的概念，學(xué)生在許多課程中都有學(xué)習(xí)，但不同課程由于研究對(duì)象不同，對(duì)其定義也會(huì)有所偏差。例如，振動(dòng)力學(xué)由于不涉及非完整約束，就可以把自由度定義為描述系統(tǒng)位形的最少坐標(biāo)數(shù)。另外還要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)，自由度數(shù)與所研究的問題側(cè)重點(diǎn)有關(guān)，例如四連桿機(jī)構(gòu)有一個(gè)自由度，但如果考慮連桿的彈性振動(dòng)，則有無限個(gè)自由度。

第五部分內(nèi)容運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的分析法是大部分傳統(tǒng)教材所沒有的，內(nèi)容主要參考了教材[3]。通過學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容可以基于坐標(biāo)之間的關(guān)系得到速度之間的關(guān)系，避免了采用理論力學(xué)的基點(diǎn)法。這樣一來，即使學(xué)生理論力學(xué)基礎(chǔ)較差，也不會(huì)太過影響這門課程的學(xué)習(xí)。

（三）第三章分析靜力學(xué)

這部分內(nèi)容設(shè)置靈活性同樣不大，講授內(nèi)容包括：廣義力、虛位移原理、拉格朗日-狄里克雷定理。

第二部分虛位移原理的使用范圍本應(yīng)是“理想約束、雙面約束、實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)”。但是學(xué)生對(duì)于“實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)”這個(gè)表述一般不易理解。因此可以放寬為“理想約束、雙面約束、定常約束”，這樣并不影響學(xué)生應(yīng)用該原理。對(duì)于例題的設(shè)置，可以選用一些材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)求解梁支座約束力的題目，以體現(xiàn)分析力學(xué)的基礎(chǔ)性。

第三部分拉格朗日-狄里克雷定理是虛位移原理在保守系統(tǒng)中的具體應(yīng)用。對(duì)于平衡穩(wěn)定性的概念，可以引入材料力學(xué)的壓桿穩(wěn)定性和流體力學(xué)中繞流物體的穩(wěn)定性進(jìn)行類比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)具有普遍意義的概念。

（四）第四章分析動(dòng)力學(xué)

傳統(tǒng)分析動(dòng)力學(xué)需要講授哈密頓正則方程及相關(guān)概念，但是哈密頓正則方程主要優(yōu)勢(shì)在于研究物理領(lǐng)域，對(duì)于機(jī)械振動(dòng)和機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，正則方程用處較小。而正則方程延伸出的諸多概念如正則變換、泊松括號(hào)等，學(xué)生學(xué)習(xí)起來太過抽象。因此筆者認(rèn)為機(jī)械專業(yè)可以不講授哈密頓正則方程相關(guān)內(nèi)容。因此這一章的講授內(nèi)容包括：動(dòng)力學(xué)普遍方程、第二類拉格朗日方程、動(dòng)能的結(jié)構(gòu)、微振動(dòng)、初次積分、第一類拉格朗日方程、Routh方程。

本章第二部分第二類拉格朗日方程是分析力學(xué)課程最重要的內(nèi)容。第二類拉格朗日方程的推導(dǎo)過程較為煩瑣，學(xué)生會(huì)感到枯燥，但仍然不可或缺。因?yàn)檫@部分公式的推導(dǎo)為接下來的內(nèi)容如動(dòng)能的結(jié)構(gòu)、初次積分等打下了基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力也是一個(gè)提升。在例題方面，筆者建議設(shè)置一些電路系統(tǒng)和機(jī)電耦合系統(tǒng)，這樣可以使學(xué)生意識(shí)到該方程的普適性。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，常犯的一類錯(cuò)誤就是眼高手低，尤其是求導(dǎo)、正負(fù)號(hào)等很容易出錯(cuò)。因此一定要讓學(xué)生獨(dú)立完成一定量的課堂練習(xí)。

第三部分內(nèi)容動(dòng)能的結(jié)構(gòu)雖然略顯抽象，但考慮到旋轉(zhuǎn)機(jī)械動(dòng)力學(xué)是機(jī)械領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，仍然有必要進(jìn)行講授。這部分內(nèi)容也為第四和第五部分內(nèi)容打下了基礎(chǔ)。

第四部分內(nèi)容微振動(dòng)主要講授如何得到非線性振動(dòng)的線性化方程。筆者發(fā)現(xiàn)在許多工科的振動(dòng)力學(xué)教材中，雖然都提到了把動(dòng)能寫成速度的二次型，勢(shì)能展開為坐標(biāo)的二次型，就可以得到線性化的振動(dòng)方程，但并沒有給出一種規(guī)范的方法，因此添加了這部分內(nèi)容。這部分內(nèi)容主要參考了理科教材[4]。

第五部分內(nèi)容是分析力學(xué)求解動(dòng)力學(xué)方程的古典方法。雖然目前求解動(dòng)力學(xué)方程往往采用數(shù)值方法，但并不代表該部分內(nèi)容就不重要了，因?yàn)槌醮畏e分代表系統(tǒng)存在守恒量，在一些特殊條件下代表具體的力學(xué)量的守恒，如能量守恒、角動(dòng)量守恒等，具有明確的物理意義，而不僅僅是數(shù)學(xué)上的抽象概念。另外需要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)初次積分和約束的區(qū)別，雖然形式相似，但前者是由動(dòng)力學(xué)方程得到的，而后者是純粹的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念。

（四）第五章動(dòng)力學(xué)變分原理

動(dòng)力學(xué)存在多種形式的變分原理，筆者在授課時(shí)只選擇了工程中常用的兩個(gè)變分原理，一是高斯最小拘束原理，二是哈密頓原理。前者在機(jī)構(gòu)分析中應(yīng)用較多，而后者在彈性振動(dòng)中應(yīng)用廣泛。這一章的講授內(nèi)容包括：高斯原理、泛函與變分法、哈密頓原理。

第二部分泛函與變分法的講授主要是為哈密頓原理打基礎(chǔ)。雖然學(xué)生只需記住公式便可運(yùn)用哈密頓原理，但實(shí)際上對(duì)于接觸最多的有限自由度系統(tǒng)，直接使用第二類拉格朗日方程會(huì)比哈密頓原理方便得多，因此哈密頓原理主要是講述一種思想而非具體方法，所以一定要講授泛函和變分法的概念。對(duì)于哈密頓原理，其泛函的宗量較為抽象，可以引入簡(jiǎn)支梁的應(yīng)變能（宗量為撓度）作為類比，便于學(xué)生理解。

第三部分的哈密頓原理與第二類拉格朗日方程等價(jià)，但使用起來需要分部積分，沒有直接采用后者方便，學(xué)生往往會(huì)有一種印象，認(rèn)為哈密頓原理用處不大。因此筆者授課時(shí)引入了簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)方程作為例題，雖然推導(dǎo)過程比較煩瑣，但可以使學(xué)生了解到，哈密頓原理可以處理第二類拉格朗日方程不能處理的問題，而不僅僅是數(shù)學(xué)形式上更簡(jiǎn)潔。

四、結(jié)論

分析力學(xué)作為一門古老的學(xué)科，內(nèi)涵外延非常豐富，針對(duì)不同本科專業(yè)的授課內(nèi)容應(yīng)具有不同的側(cè)重點(diǎn)，授課方式也應(yīng)有所不同。本文針對(duì)機(jī)械專業(yè)分析力學(xué)課程存在的一些問題，闡述了教學(xué)內(nèi)容和方法上的具體改進(jìn)。在教學(xué)內(nèi)容中，充分考慮機(jī)械專業(yè)工科特點(diǎn)，刪減了一些偏理科專業(yè)的內(nèi)容。在教學(xué)方法上，一方面注重與其他課程的聯(lián)系，突出分析力學(xué)的基礎(chǔ)性。另一方面兼顧了課程的嚴(yán)謹(jǐn)性和學(xué)生的理解能力。實(shí)踐證明收到了良好的教學(xué)效果。

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