孔炳興

【摘要】 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中， 教師要重視猜想驗(yàn)證思想方法的滲透。猜想與驗(yàn)證的探究過(guò)程首先是感知階段，通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境的全面了解為下一步探究打下基礎(chǔ)。假設(shè)則在于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了嘗試性的研究，研究的結(jié)果正確與否可以通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證來(lái)判斷，而歸納則使研究形成了規(guī)律性，有助于深化理解并靈活運(yùn)用。學(xué)生在此過(guò)程中，不僅獲得知識(shí)，更有獲取知識(shí)的能力、探究知識(shí)的自信心與積極性。

【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué) 猜想驗(yàn)證 感知 歸納

【中圖分類號(hào)】 G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2016）03-075-03

猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，著名的“哥德巴赫猜想”為我們進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樹立了典范。現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師普遍對(duì)猜想這一環(huán)節(jié)重視不夠，特別是有的老師擔(dān)心學(xué)生會(huì)因些而把課堂猜亂了；對(duì)于驗(yàn)證，也有教師認(rèn)為是多此一舉的，認(rèn)為這樣操作太浪費(fèi)時(shí)間，倒不如多解題、會(huì)解題來(lái)得實(shí)惠，這是一種短期教育的目光?？茖W(xué)家牛頓說(shuō)過(guò)，“沒(méi)有大膽的猜測(cè)就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中， 教師要重視猜想驗(yàn)證思想方法的滲透， 以增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)探索和獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力， 促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展。另一方面，就思維發(fā)展特征而言，小學(xué)生處于形象思維占主導(dǎo)的階段，很多數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)在小學(xué)階段認(rèn)識(shí)的，往往要到初中才去證明它，在這種情況下，小學(xué)階段的猜想與驗(yàn)證起著實(shí)驗(yàn)教學(xué)的作用，對(duì)逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維作用巨大，也有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

一、感知——為思維建個(gè)素材的倉(cāng)庫(kù)

人類認(rèn)識(shí)事物是從感知事物開(kāi)始的， 而后才可能認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。學(xué)生在數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中感知越豐富， 建立的表象會(huì)更清晰， 就越能發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律。

感知需要建立可行的情境條件，如用多媒體演示： 圓柱體由圖①逐漸變成圖②（底面不變，高擴(kuò)大），再由圖②變成圖④（底面擴(kuò)大，高不變），然后再由圖①逐漸變成③ （底面擴(kuò)大，高不變），再變成④，通過(guò)將圖片作透明化處理后拖動(dòng)鼠標(biāo)比較體積的大小，學(xué)生感知到圓柱體體積與底面大小與高密切相關(guān)，這就為下一步的探究打下了思維的基礎(chǔ)。（圖1）

感知需要充分調(diào)動(dòng)多種人體感官的參與，陶行知對(duì)此有“六大解放”的論述：“解放兒童的頭腦，使之能思”——思維的參與感知才能加工而深化；“解放兒童的雙手，使之能干”——?jiǎng)邮置幻?，量一量，做一做，感知才真切；“解放兒童的眼睛，使之能看”——眼觀六路，感知才鮮活有效，便于形成表象；“解放兒童的嘴，使之能講”——說(shuō)一說(shuō)有助于知識(shí)的反饋與消化?！敖夥艃和目臻g，使之能接觸大自然和社會(huì)”——感知的世界全面，獲得的信息既真實(shí)又鮮活?！敖夥艃和臅r(shí)間，不逼迫他們趕考，使之能學(xué)習(xí)自己渴望的東西”——時(shí)間充足才能讓信息流入大腦。上述圓柱體體積的感知過(guò)程給了學(xué)生充足的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)眼看一看、動(dòng)手做一做、動(dòng)腦想一想、動(dòng)筆算一算、動(dòng)口說(shuō)一說(shuō)，從而獲得豐富的素材，建立較清晰的表象，搭建起知識(shí)內(nèi)化的橋梁，這樣就便于形成較合理的猜想，避免不切實(shí)際的幻想與瞎想。

二、假設(shè)——為思維插上想象的翅膀

假設(shè)是對(duì)知識(shí)做出未經(jīng)證實(shí)的初步判斷， 它是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)。在學(xué)生大量感知相關(guān)知識(shí)內(nèi)容并建立了表象后，教師要給學(xué)生充足的時(shí)間與空間，讓他們根據(jù)自己的思考自由地觀察、分析與推理，必要時(shí)再提供一定的思維支撐，使感性知識(shí)進(jìn)一步理性化，然后再通過(guò)相互交流形成合理的假設(shè)。

如教學(xué) “分?jǐn)?shù)化有限小數(shù)”時(shí)， 先提供兩組最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，第一組比較簡(jiǎn)單：“，，，，，，，”，而第二組相對(duì)復(fù)雜：“，，，，，，，”對(duì)于第一組，讓學(xué)生算一算、想一想，并猜測(cè)的分母與這個(gè)分?jǐn)?shù)能化為有限小數(shù)之間有何關(guān)系？ 而對(duì)于第二組，則讓算后進(jìn)一步猜測(cè)： 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)如果能化成有限小數(shù)， 與這個(gè)分?jǐn)?shù)分母之間可能存在什么樣的關(guān)系？經(jīng)過(guò)探究，學(xué)生就會(huì)形成一個(gè)結(jié)論：最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)如果能化成有限小數(shù)，與分母的特點(diǎn)有關(guān)系， 如果一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母只含有2與5的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)就可以化成有限小數(shù)。這里教師如果只是出現(xiàn)第二組題，學(xué)生的猜想可能無(wú)從下手，而第一題正起到了鋪墊的作用，學(xué)生在得出2與5這兩個(gè)分母在化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)中的特征后，就可以為第二組的猜想打下基礎(chǔ)，他們會(huì)順?biāo)浦鄣厝ネ?與5的方向思考，從而去分析這些表示分母的數(shù)的質(zhì)因數(shù)情況。無(wú)疑，假設(shè)的作出也不是憑空而生，需要建立在科學(xué)研究的基礎(chǔ)上，教師的引領(lǐng)不可忽視。

假設(shè)的作出需要一定的勇氣，“兩個(gè)銅球同時(shí)落地”的故事家喻戶曉，故事的主人公伽利略從多次觀察不同質(zhì)量的冰雹落地的過(guò)程中，頂住被世人饑笑、甚至性命安全的巨大風(fēng)險(xiǎn)，大膽地提出自己的設(shè)想，最終卻獲得世人的認(rèn)可，在科學(xué)史上留下了燦爛的一筆。作為教師，需要對(duì)不同的觀點(diǎn)抱以傾聽(tīng)的態(tài)度，在學(xué)生提出錯(cuò)誤的設(shè)想時(shí)，不妨讓他說(shuō)說(shuō)是怎么想到的，當(dāng)學(xué)生說(shuō)出自己的思考過(guò)程時(shí)，大家也許把他的想法稍做調(diào)整，真理就在眼前了。“失敗乃成功之母?！焙芏鄷r(shí)候，大膽的設(shè)想在探究中起著舉足輕重的作用。“勇氣比正確性更為重要?！北е@樣的態(tài)度，學(xué)生才會(huì)敢想而會(huì)想。

假設(shè)的作出還需要借助大膽的想象，甚至需要跳出框框、打破傳統(tǒng)來(lái)研究問(wèn)題。在學(xué)生學(xué)會(huì)了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算、但還沒(méi)有學(xué)過(guò)三角形、梯形面積計(jì)算時(shí)，有一次筆者出示了圖2實(shí)線所示的梯形，要求學(xué)生通過(guò)丈量計(jì)算它的面積，學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手。這題如果還是從切割入手，學(xué)生的基礎(chǔ)是不能達(dá)到結(jié)果的。事實(shí)上，學(xué)生只要設(shè)想這個(gè)圖形是長(zhǎng)方形的一部分，通過(guò)用紙片蓋住并描出這個(gè)梯形，把紙片旋轉(zhuǎn)后如圖放置，很快就可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相同的梯形正好拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，這樣先計(jì)算長(zhǎng)方形面積，再除以2，就可以得到答案了?！爱愊胩扉_(kāi)而得求得真理”，假設(shè)的過(guò)程，需要教師給學(xué)生更多的鼓勵(lì)與寬容，給學(xué)生更大的視野，而諷刺與否定只會(huì)澆滅學(xué)生探究的愿望。

三、驗(yàn)證——為思維把握合理的航向

猜想的結(jié)論是否正確，有待進(jìn)行檢驗(yàn)。由于小學(xué)階段一般不要求進(jìn)行規(guī)范而嚴(yán)格的數(shù)理論證，學(xué)生的假設(shè)是否具有普遍性，學(xué)生可以從已有的經(jīng)驗(yàn)入手，進(jìn)行獨(dú)立究與小組合作探究，經(jīng)歷嘗試、探究、驗(yàn)證的過(guò)程，獲得驗(yàn)證一個(gè)命題的能力。

以“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)為例，在學(xué)生提出猜想后，我們可以從多個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證：1.拼一拼：把三角形的幾個(gè)角剪下來(lái)再拼到一起，用直尺驗(yàn)證拼成的新角是否兩邊在同一直線上。2.折一折：根據(jù)教材的提示把三個(gè)角折疊到一塊兒，看內(nèi)角和是否是180°.3.算一算：把手頭的三角板的每一個(gè)角都量出來(lái)，并相加。4. 把正方形的紙片沿對(duì)角線分成兩個(gè)完全相同的三角形， 由正方形4個(gè)角是90°，得出正方形的內(nèi)角和是360°，把正方形紙片兩對(duì)角頂點(diǎn)疊加到一起，發(fā)現(xiàn)剛好折出兩個(gè)完全相同的三角形，展開(kāi)后可以推算出每個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°。

驗(yàn)證是演繹思維進(jìn)行的過(guò)程，驗(yàn)證時(shí)需要找到符合所提出觀點(diǎn)的眾多對(duì)象，觀察、測(cè)量其是否具有觀點(diǎn)所指的屬性，最終把他歸入同類事物中去，但是驗(yàn)證不可能窮盡命題涵蓋的所有的對(duì)象，所以驗(yàn)證只能取有一些有代表性的對(duì)象來(lái)進(jìn)行。但為了教學(xué)的方便，有時(shí)需要適當(dāng)統(tǒng)一研究對(duì)象。如上述驗(yàn)證中的第3項(xiàng)教師提供的是兩塊三角板，如果有老師把它設(shè)計(jì)成讓學(xué)生自己畫一個(gè)三角形，通過(guò)量出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)再相加，由于誤差的不可避免性，這段教學(xué)往往會(huì)陷入僵局，比如有學(xué)生說(shuō)他兩個(gè)三角形的內(nèi)角和都是179°，教師再?gòu)?qiáng)行地規(guī)定是180°，就會(huì)顯得強(qiáng)硬而沒(méi)有說(shuō)服力。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及，必要時(shí)教師也可以借助軟件來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，以三角形內(nèi)角和的驗(yàn)證，教師只要運(yùn)用幾何畫板畫出一個(gè)任意三角形，然后把三個(gè)角的度數(shù)通過(guò)度量選項(xiàng)表示出來(lái)，然后用公式選項(xiàng)把三個(gè)角相加就可以了。軟件的一大優(yōu)點(diǎn)是可以拖動(dòng)改變圖形，這時(shí)無(wú)論你怎么拉動(dòng)三角形的邊使之不斷調(diào)整內(nèi)角的大小，其三內(nèi)角和始終是180°。（圖3）

四、歸納———收獲思想方法的果實(shí)

知識(shí)爆炸時(shí)代，每個(gè)人面對(duì)著紛繁的信息，如果不加以整理，那就會(huì)雜亂無(wú)章而難以在頭腦中存儲(chǔ)。歸納是把新驗(yàn)證的知識(shí)用完整、簡(jiǎn)單的語(yǔ)言概括出來(lái)的過(guò)程，是從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程。

人教版六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)思考”中有這樣一題： “6個(gè)點(diǎn)可以連成多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？”學(xué)生一動(dòng)手就覺(jué)得很亂，無(wú)法數(shù)出結(jié)果。通過(guò)教師引導(dǎo)，學(xué)生從最簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始研究，即2個(gè)點(diǎn)能連成幾條線段？再多些，3個(gè)點(diǎn)能連成幾條線段？教師根據(jù)學(xué)生畫圖、計(jì)算列出下表（圖4）：3個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2=3（條）；4個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2+3=6（條）；5點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2+3+4=10（條）……這樣學(xué)生就能很快得到答案，如果這道題只是這樣解完了之，那是十分可惜的，如果有100個(gè)點(diǎn)呢？又怎么表示與計(jì)算呢？顯然需要讓學(xué)生歸納出一種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)“解一題，會(huì)一片”的結(jié)果，這里關(guān)鍵在于搞清算理：每增加1個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以和前面已有的每個(gè)點(diǎn)都連一條線段，所以前面有幾個(gè)點(diǎn)，就會(huì)增加幾條線段。教師還可以讓學(xué)生把本題的規(guī)律用字母表示，并歸納結(jié)論：如果平面上有n個(gè)點(diǎn)，可連線段的總條數(shù)就等于從1開(kāi)始至前（n-1）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，也就是連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)比題目提供的點(diǎn)數(shù)少1。這一思考題的歸納讓學(xué)生不但知其然，更能知其所以然，提升了思維品質(zhì)，教學(xué)起到了舉一反三的作用，而且通過(guò)畫圖滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這就把知識(shí)學(xué)習(xí)提高到了能力培養(yǎng)的高度。

歸納時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析結(jié)論存在的普遍性與適用性。比如在歸納“比的基本性質(zhì)“時(shí)，要讓學(xué)生想一想：性質(zhì)中的“相同的數(shù)”是不是什么數(shù)都可以呢？這又是為什么？這樣學(xué)生就明白了，相同的數(shù)的要求一是需要相同，二是不能為零。此外，教師要讓學(xué)生理解結(jié)論中的每一層含義，避免詞不達(dá)意，對(duì)于難以全部文字表述的可以用字母與式子來(lái)替代。

布魯納認(rèn)為：“學(xué)習(xí)者在一定的問(wèn)題情境中， 對(duì)學(xué)習(xí)材料的親身體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程， 才是學(xué)習(xí)者最有價(jià)值的東西?！比绻f(shuō)，感知階段重在問(wèn)題情境的全面了解，假設(shè)則在于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了嘗試性的研究，研究的結(jié)果正確與否可以通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證來(lái)判斷，而歸納則使研究形成了規(guī)律性，有助于深化理解并靈活運(yùn)用，學(xué)生在此過(guò)程中，獲得的不僅是知識(shí)，更是獲取知識(shí)的能力、探究知識(shí)的自信心與積極性，從而實(shí)現(xiàn)新課程倡導(dǎo)的三維目標(biāo)。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的過(guò)程中享受探究的樂(lè)趣，真理會(huì)一步步向我們走來(lái)，數(shù)學(xué)課堂也能因此而美麗！

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