盧燕

[摘 要] 數(shù)學(xué)概念是人們對數(shù)學(xué)事物本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)邏輯思維的最基本形式，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識綜合體系最基本的單元，是理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 初中數(shù)學(xué)是中學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，學(xué)好初中數(shù)學(xué)對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路起著奠基石的作用. 作為初中數(shù)學(xué)體系的基本單元，數(shù)學(xué)概念無疑是初中生最先需要掌握的知識，而這些概念的有效教學(xué)自然成了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念；有效教學(xué)；教學(xué)模式

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì). 概念是人們從對象的許多屬性中，抽出本質(zhì)屬性概括出來的. 在概念形成階段，人的認(rèn)識已從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識；而數(shù)學(xué)概念是人們對數(shù)學(xué)事物本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)邏輯思維的最基本形式，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識綜合體系最基本的單元，是理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)概念主要包括數(shù)學(xué)定理、定律、公式、法則等. 初中數(shù)學(xué)是中學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，學(xué)好初中數(shù)學(xué)對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路起著奠基石的作用. 作為初中數(shù)學(xué)體系的基本單元，數(shù)學(xué)概念無疑是初中生最先需要掌握的知識，而這些概念的有效教學(xué)自然成了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.

新課程實施以來，數(shù)學(xué)新教材對部分概念的教學(xué)內(nèi)容的編排作了較大的改動. 如新教材提供了更為豐富的學(xué)習(xí)材料，增加了觀察、實驗、猜測、操作等數(shù)學(xué)活動，突出了數(shù)學(xué)概念的形成過程. 因此，新教材在數(shù)學(xué)概念的呈現(xiàn)方式上，比原教材更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和年齡特點(diǎn).

然而，在當(dāng)前的概念教學(xué)中存在僵化教條地講授概念的現(xiàn)象，概念的本質(zhì)揭示不透徹，忽視概念間的相互聯(lián)系及概念的綜合應(yīng)用發(fā)展等問題，綜合來講，有如下幾種常見問題.

初中數(shù)學(xué)課堂概念有效教學(xué)的問題所在

1. 概念教學(xué)走過場？搖

不少教師片面重視應(yīng)用教學(xué)，而不重視概念教學(xué)，在講概念時一帶而過，常常采用“一個定義，三項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會，不注意講懂、講透，讓學(xué)生真正理解概念，把注意力和精力過多地投入到了應(yīng)用教學(xué)上，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠.

2. 概念教學(xué)不得法？搖

有的教師在教學(xué)概念時往往把一些新概念和盤托出，強(qiáng)輸硬灌，要求學(xué)生去記一些現(xiàn)成的結(jié)論，學(xué)生囫圇吞棗，導(dǎo)致學(xué)生要非常透徹地理解、掌握幾何概念存在一定的困難，往往只會死記硬背、照搬照抄，不會靈活應(yīng)用. 因此，提高初中數(shù)學(xué)課堂幾何概念教學(xué)的有效性顯得尤為重要.

3. 教師的認(rèn)識和教授方法的程度不同？搖

教師是課堂教學(xué)的組織者，由于個人的素質(zhì)不同，其自身對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識、理解及所采用的教學(xué)方法也不同，因此概念教學(xué)對學(xué)生會造成不同程度的影響. 例如，在學(xué)習(xí)“二次根式運(yùn)算”時有些教師認(rèn)為要補(bǔ)充“同類二次根式”“最簡二次根式”的概念，學(xué)習(xí)“一元二次方程”時要補(bǔ)充“十字相乘法”. 有些教師又認(rèn)為不需補(bǔ)充，以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).

4. 學(xué)生的認(rèn)知水平有限？搖

瑞士心理學(xué)家皮亞杰曾指出：“任何教學(xué)水平上，概念的形成乃是孩子活動和個體經(jīng)驗的結(jié)果. 從小學(xué)進(jìn)入初中，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程的一個重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn). 學(xué)生正處在身心發(fā)生變化的時期，他們的認(rèn)知能力也在逐步提高，理解是一個要由易到難、由簡到繁的循序漸進(jìn)的過程，然而每個學(xué)生的能力有差別. 例如，“把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫作把這個多項式分解因式”，這句話的正確理解是：左邊是一個多項式（不是單項式）；右邊是幾個整式（不是分式）的積（不是加、減、除）的形式.有少部分學(xué)生在應(yīng)用時還是沒掌握，例如，下列從左到右的變形，是分解因式的是（ B ）

A. m（a-b）=am-bm

B. 4a2+4a+1=（2a+1）2

C. x2+1=xx+

D. a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

選A，C，D的學(xué)生大有人在. 事實說明，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)上不能順利地完成這個轉(zhuǎn)折，是因為他們首先在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)概念時遇到了困難，影響了后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 因此，研究概念教學(xué)的方法是初中數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù).

初中數(shù)學(xué)課堂概念有效教學(xué)的操作環(huán)節(jié)

根據(jù)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)容，數(shù)學(xué)概念課教學(xué)模式為：探究數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的實際背景→提出數(shù)學(xué)新概念→揭示新概念的內(nèi)涵與外延，以及與舊概念的聯(lián)系→運(yùn)用新概念解決問題→小結(jié)反思新概念形成的過程.本文將通過一則“教學(xué)案例”的簡要分析談?wù)劰P者的一些具體做法.

教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)：在具體情境中理解一元二次方程的概念及一般形式；能通過代數(shù)式變形和等式變形辨別一元二次方程和二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項；讓學(xué)生通過觀察、分析、自主探索、小組合作，列出具體情境中的方程，經(jīng)歷一元二次方程概念的發(fā)生過程，培養(yǎng)學(xué)生概括、類比的能力；通過經(jīng)歷代數(shù)式變形和等式變形，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想. 通過貼近生活的情境，體驗數(shù)學(xué)來源于實踐，反過來作用實踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受解決問題中合作學(xué)習(xí)與廣泛交流的重要性，感受方程模型的特征；培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，滲透類比思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

教學(xué)過程：

1. 探究數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的實際背景

（1）教師活動. 課前準(zhǔn)備：①在生產(chǎn)、生活實際中，一切事物間的數(shù)量關(guān)系都能用方程解決嗎？②有關(guān)新概念“一元二次方程”的相關(guān)知識.

課前：①布置探究問題；②提供查詢方向，將學(xué)生探索的結(jié)果進(jìn)行引導(dǎo)、加工、組合.

（2）學(xué)生活動：①學(xué)生課前根據(jù)教師的問題通過多渠道查詢（如網(wǎng)絡(luò)、圖書館、個人資料、小組討論、請教他人等），準(zhǔn)備答案及素材；②親身體驗有趣而豐富的調(diào)查研究結(jié)果的過程，并形成一定的觀點(diǎn)、看法；③學(xué)生之間交流、討論并與教師交流所獲得的信息，加工信息，寫出結(jié)論.

簡析：使學(xué)生通過收集和思考問題，盡快地投入到對新概念的探究中去，從而激發(fā)學(xué)生好奇、探究和創(chuàng)造欲望. 將獲得的材料、信息在自己的大腦中進(jìn)行比較分類，分析概括，從而提高學(xué)生的心理品質(zhì)與思維能力，使學(xué)生養(yǎng)成一種喜歡探究問題的良好習(xí)慣.

（3）教學(xué)活動：學(xué)生收集問題舉例（選擇部分內(nèi)容）.

根據(jù)下列問題列方程：

①一個兩位數(shù)，十位數(shù)比個位數(shù)大3，十位數(shù)與個位數(shù)的和是7，求這個兩位數(shù).設(shè)個位上的數(shù)字為x，根據(jù)題意得______.

②一個正方形的面積的2倍等于15，求這個正方形的邊長.設(shè)正方形的邊長為a， 根據(jù)題意得______.

③甲、乙兩人做某種零件，已知甲每小時比乙多做3個，甲做45個零件的時間與乙做30個零件的時間相同，問：乙每小時做多少個？設(shè)乙每小時做x個，根據(jù)題意得甲每小時做？搖______個.

④如圖1，矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19 m，如果花圃的面積是24 m2，求花圃的長和寬. 設(shè)與墻垂直的一邊為x m，則與墻平行的一邊為______m，根據(jù)題意得______.

簡析：通過列方程解決問題，引導(dǎo)學(xué)生與一元一次方程的概念作對比，為引出一元二次方程的有關(guān)內(nèi)容做好鋪墊. 讓學(xué)生充分感受所列方程的特點(diǎn)，再通過類比的方法得到定義，從而達(dá)到真正理解定義的目的.從實際問題出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)化，與學(xué)生共同從中提煉出上述問題的共性特征：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高指數(shù)冪是2的整式方程（叫作一元二次方程）.

2. 提出數(shù)學(xué)新概念

教師活動：介紹一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高指數(shù)冪是2的整式方程叫做一元二次方程.

3. 揭示新概念的內(nèi)涵與外延，以及與舊概念的聯(lián)系

學(xué)生練習(xí)：判斷下列方程是否為一元二次方程.

①1-x2=0；

②2（x2-1）=3y；

③2x2-3x-1=0；

④x2+1=0；

⑤（x+3）2=（x-2）2；

⑥ax2=5-4x（a為常數(shù)，a≠0）；

⑦ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）.

學(xué)生判斷結(jié)束后還可觀察①和③兩個方程在形式上有何特點(diǎn)，進(jìn)而介紹一元二次方程的一般形式.

教師活動：介紹一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的形式. 這種形式叫一元二次方程的一般形式. 一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，而二次項系數(shù)a必須是不等于0的實數(shù).

簡析：通過揭示新概念內(nèi)涵、外延及其與舊概念（一元一次方程）的聯(lián)系，使學(xué)生關(guān)注“一元二次方程”獲得的途徑；這番閱歷使學(xué)生所學(xué)知識變得生動、形象、感人.

4. 運(yùn)用新概念解決問題

略.

教師活動：

練習(xí)：把下列關(guān)于x的方程化成一般形式，并寫出二次項和一次項系數(shù).

①2x2-x=2；②2（x-1）（x+1）=3x；③3x2+mx-2x=3m.

變式訓(xùn)練：已知關(guān)于x的一個一元二次方程的二次項的系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-1，常數(shù)項為-5，則這個方程為______.

能力提升：

1. 若方程mx2-x=2-3x2是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值為______；若方程mx2-x=2-3x2是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為______.

2. 若關(guān)于x的方程（m-2）|m|+2x-1=0是一元二次方程，則m的值為______.

3. 若關(guān)于x的方程（m-2）xm2-2+mx=7是一元二次方程，則m的值為______；若關(guān)于x的方程（m-2）xm2-2+mx=7是一元一次方程，則m的取值為______.

拓展延伸：

1. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x-5m=0有一個解是2，求m的值.

2. 若a是一元二次方程x2-3x-4=0的一個根，求2a2-6a+1的值.

在教師活動中，教師先給出例題，隨后選代表回答，考查學(xué)生對一元二次方程一般形式的掌握程度. 化成一般式是本課的重點(diǎn)，因此再配2道題進(jìn)行練習(xí)，加上前面預(yù)習(xí)題中的4道題能夠較好地突破重點(diǎn).

能力提升部分的問題為一元二次方程概念中的常見題型，通過此題讓學(xué)生加深對定義和一般形式的理解，為其他字母系數(shù)問題做好準(zhǔn)備. 其中第3題的第2問需進(jìn)行分類討論，開拓學(xué)生思維，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生對所學(xué)知識有更深的理解并得到升華.

拓展延伸部分讓學(xué)生進(jìn)行充分思考、討論，小組將討論結(jié)果在小黑板上進(jìn)行展示，體會數(shù)學(xué)思想方法.

簡析：引進(jìn)“變式訓(xùn)練”教學(xué)：①不但將學(xué)生的練習(xí)鞏固化整為零，同時進(jìn)行了整理分化以達(dá)到對“一元二次方程”概念的明確、清晰的描述.②“變式”帶來的“對比式”教學(xué)：通過對比教學(xué)，讓學(xué)生認(rèn)識到一元二次方程與一元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系，在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，實施知識的遷移，領(lǐng)會蘊(yùn)含其中的方法要點(diǎn)，讓學(xué)生通過自主探索、小組合作，培養(yǎng)學(xué)生概括、類比的能力；通過經(jīng)歷代數(shù)式變形和等式變形，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.

學(xué)生掌握概念是一個主動的、復(fù)雜的心理過程，并不是教師把現(xiàn)成的概念簡單地、原封不動地交給學(xué)生，而是結(jié)合他們自己已有的知識，運(yùn)用較多的感性材料，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等一系列思維活動，得出事物的本質(zhì)屬性. 教師要善于抓住新舊知識的本質(zhì)聯(lián)系進(jìn)行引導(dǎo)、啟迪，讓學(xué)生真正理解和掌握概念.總之，在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，應(yīng)遵循從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律. 在不斷的思考和探索中，選擇恰當(dāng)有效的教法，必然能夠取得較好的教學(xué)成績.