杜成智

[摘 要] 學生經常證題，但大多數是在已有結論的情況下進行的（稱這類問題為封閉題型）. 如果向學生適當提出一些不具有現成結論的問題讓學生尋求結論（稱這類問題為開放題型），那么這對提高學生的學習興趣和數學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的研究探索能力，無疑是很有益的. 筆者在一堂數學活動課上將一道課本例題設計成一組開放題，借助《幾何畫板》給學生探索的平臺，引導學生主動探究，真實地展現思維過程，使學生興趣盎然.

[關鍵詞] 學習興趣；探究能力；數學素養(yǎng)

問題構思

一道課本例題：蘇科版八下P82例5.

已知：如圖1，在正方形ABCD中，點A′，B′，C′，D′分別在AB，BC，CD，DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′.

求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.

問題1：如圖1，點A′，B′，C′，D′是正方形AB，BC，CD，DA邊上的動點，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四邊形A′B′C′D′是什么四邊形？

下面按這樣的程序研究此問題：

（1）觀察圖形并猜想結論：拖動A′和B′點，使圖形變化. 觀察猜想，學生一致判斷四邊形A′B′C′D′為平行四邊形.

（2）數據驗證：現測算四邊形A′B′C′D′的四個角的度數，發(fā)現拖動A′和B′點，四邊形A′B′C′D′四個角的度數值不斷變化，但始終保持兩組對角相等，因此它是一個平行四邊形.

（3）理論證明：可證△AA′D′≌△CC′B′得A′D′=B′C′，同理得A′B′=C′D′，可得結論，問題得以解決. 不妨將其稱為正方形的內接平行四邊形. 那么它可以再特殊化嗎？

思考2：四邊形A′B′C′D′能為矩形嗎？如果可能，什么條件下它是矩形？

觀察圖2，部分學生從剛才測算角度的過程中發(fā)現∠D′A′B′可以為90°. 判斷只要∠1+∠2=90°即可. 需證△AA′D′≌△BB′A′，則要求AA′=BB′=CC′=DD′，使得四邊形A′B′C′D′能為矩形.

此條件確能保證四邊形A′B′C′D′為矩形，此時四邊形A′B′C′D′既是矩形也是正方形. 但問題是這個條件必要嗎？繼續(xù)拖動A′點，觀察角度變化. 如圖3，又出現了∠D′A′B′=90°的情況. 此時AA′≠BB′ ，但AA′=AD′，A′B=BB′，也能使四邊形A′B′C′D′為矩形. 說明僅僅從圖形出發(fā)不能完全反映所有情況，那么還有其他情況嗎？很多學生拿起筆來，想通過數據運算得到完整的答案. 這實質是由圖的研究轉為數的研究，或者說轉為數形結合的研究.

設正方形ABCD的邊長為1，AA′=CC′=x，BB′=DD′=y，則A′B=1-x，AD′=1-y. 要使∠D′A′B′=90°，則∠1+∠2=90°. 那么只需△AA′D′∽△BB′A′即可，則要求=.所以=. 解之得x=y或x+y=1.正是剛才的兩種情況.

結論：正方形ABCD的內接平行四邊形A′B′C′D′，當AA′=BB′或AA′+BB′=AB時，四邊形A′B′C′D′能為矩形. 其中滿足前者條件時，四邊形A′B′C′D′能為正方形.

聯(lián)想開來

進一步思考：將正方形ABCD換成非正方形的矩形，又會怎樣呢？

問題2：如圖4，矩形ABCD（AB≠AD）中，點A′，B′，C′，D′是AB，BC，CD，DA邊上的動點，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四邊形A′B′C′D′是平行四邊形嗎？

基于問題1的操作，可以判斷四邊形A′B′C′D′為平行四邊形. 證明類似于問題1，這里略去. 能否再推進一步呢？

思考2：四邊形A′B′C′D′可能為矩形嗎？

如圖5，拖動B′至B位置，將A′從A至B移動，測算∠A′B′C′的度數，發(fā)現∠A′B′C′≠90° ；再將B′移至B位置，繼續(xù)測算……多次嘗試未發(fā)現∠A′B′C′=90°. 這時幾乎所有學生放棄了嘗試，認為：非正方形的矩形中不存在內接矩形. 但幾個為數不多的學生仍未放棄. 終于一位學生試驗出∠A′B′C′=90°的情況！此時，AB=4，AD=5，BB′=4，AA′=2（如圖6）. 因此有結論：非正方形的矩形中存在內接矩形！

深究下去

這位學生艱苦地嘗試出結論，高興之余不禁要問：此結論在什么條件下成立呢？這深深地吸引了其他同學. 于是大家再利用數形結合進行推算.

先取具體的數來算：取AD=5，AB=4，設AA′=CC′=x，BB′=DD′=y.

要使得∠D′A′B′=90°，則∠1+∠2=90°. 那么△AA′D′∽△BB′A′，則=，則=. 化簡得x2-4x+5y-y2=0. 將其視作關于x的方程，在Δ=16-20y+4y2≥0時有解，此時y∈（0，1]∪[4，5）.

結論：當y∈（0，1]∪[4，5）時，四邊形A′B′C′D′為矩形，且當y≠1和4時，B′，D′點確定，但A′，C′可處于兩個不同位置，即有兩種情況；當y=1或4時，情況唯一.

下面討論更一般的情況：設AD=a，AB=b，AA′=CC′=x，BB′=DD′=y，由上面推導可知，當=時，四邊形A′B′C′D′為矩形. 則要求方程x2-bx+ay-y2=0要有解，所以Δ=b2-4ay+4y2≥0，即b2≥-4y2+4ay. 如圖8，當y∈（0，y1]∪[y2，a）時，四邊形A′B′C′D′為矩形，且當y≠y1和y2時，B′，D′點確定，但A′，C′可處于兩個不同位置，即有兩種情況；當y=y1或y2時，情況唯一.

啟示

這節(jié)數學活動課給筆者的啟示：這類開放型題型，在結論不明確的情況下，讓學生試驗、猜測，甚至在錯誤中探索前進，無論是證實猜想還是否定猜想，他們都向真理靠近了一步，培養(yǎng)了學生的數學素質. 學生在使用計算機進行嘗試到發(fā)現結論到驗證猜想的過程中，很好地體驗了數學發(fā)現、創(chuàng)造的快樂，其收獲也是巨大的. 正如荷蘭數學教育家費賴登塔爾所說“學習數學的唯一正確方法是實現再創(chuàng)造，也就是由學習者本人把要學的東西發(fā)現或創(chuàng)造出來”. 由于學生的認知水平的限制，在這個問題中不易獨立完成、設置再發(fā)現的過程，利用《幾何畫板》平臺進行實驗，為再發(fā)現創(chuàng)造了條件，優(yōu)化了數學教與學的過程.

這種以探究發(fā)現為主獲取數學知識的學習方式促使學生充分地參與學習，體會其中的數學樂趣，學生個性得以施展及和諧發(fā)展，較好地培養(yǎng)了學生分析問題，探究、解決問題的能力和創(chuàng)造能力.