梁洪源（廣東省珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）劉案清（廣東省珠海市教育科研培訓(xùn)中心）

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“以數(shù)助形巧拼正方形”教學(xué)設(shè)計(jì)

梁洪源（廣東省珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）
劉案清（廣東省珠海市教育科研培訓(xùn)中心）

摘要：依照著名數(shù)學(xué)家華羅庚的詩(shī)句設(shè)計(jì)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，構(gòu)造完備的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)“拼的過(guò)程”，來(lái)理解平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等幾何變換，在先“思”后“做”的過(guò)程中初步掌握幾何變換．突出培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，并不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生良好的情感、態(tài)度及價(jià)值觀．課堂教學(xué)生動(dòng)、高效、趣味性強(qiáng)．整個(gè)教學(xué)流程主線分明，數(shù)學(xué)操作實(shí)驗(yàn)特色鮮明，讓學(xué)生在“思—做—思”中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣．

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；以形助數(shù)；以數(shù)助形

教學(xué)內(nèi)容分析

1．設(shè)計(jì)起源

數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．

人教版教材在這一方面有充分的體現(xiàn)．人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第二十三章“旋轉(zhuǎn)”中應(yīng)用計(jì)算機(jī)中的畫(huà)圖軟件探索“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”就是很好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料．像這樣借助計(jì)算機(jī)來(lái)輔助學(xué)習(xí)的內(nèi)容還有很多，如勾股定理、平方差公式、完全平方公式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是借助以形助數(shù)的思維方法來(lái)幫助學(xué)習(xí)的，但以數(shù)助形的思維方法來(lái)輔助學(xué)習(xí)的材料相對(duì)較少，于是筆者就設(shè)計(jì)了這一節(jié)課.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，以及通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助圖形的演示變化的理解，在解決相關(guān)剪拼問(wèn)題中體會(huì)以數(shù)助形的思維方法，讓學(xué)生親身體驗(yàn)在“做數(shù)學(xué)”中去實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，并從中感受數(shù)學(xué)的神奇力量．

2.關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的思考

數(shù)學(xué)操作實(shí)驗(yàn)的目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．它不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，是強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出：動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．但在現(xiàn)在的課堂教學(xué)中也出現(xiàn)了不少的“新現(xiàn)象”，但在這些現(xiàn)象的背后，卻反映出教師沒(méi)有及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題及其現(xiàn)象的本質(zhì)加以思考，未能將經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)上升到推理數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)課有手工課的味，而少了數(shù)學(xué)味．

本教學(xué)設(shè)計(jì)中所采用的“剪拼”操作實(shí)驗(yàn)的價(jià)值不僅僅在剪拼結(jié)果的獲得，更重要的是在剪拼的過(guò)程中借助數(shù)式的恒等變換來(lái)探索圖形的全等變換的過(guò)程，從而找到圖形變換的方法，并著重引導(dǎo)學(xué)生去了解，體驗(yàn)“拼的過(guò)程”，引導(dǎo)學(xué)生去理解在“剪拼”過(guò)程中運(yùn)用了平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等幾何變換，讓學(xué)生在先“思”后“做”的過(guò)程中，深刻掌握幾何變換．

3.學(xué)習(xí)對(duì)象分析

本設(shè)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)象應(yīng)是學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、算術(shù)平方根、勾股定理、四邊形等知識(shí)后的學(xué)生．所以選擇九年級(jí)的學(xué)生作為學(xué)習(xí)對(duì)象較為合適.

教學(xué)目標(biāo)

（1）了解割補(bǔ)法的基本性質(zhì)——面積不變性；

（2）通過(guò)實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、分析、歸納等過(guò)程，體會(huì)以數(shù)助形的方法；

（3）能確定圖形變換后的數(shù)量特征，從數(shù)量角度確定圖形基本性質(zhì)，從而確定圖形剪拼方法．

教學(xué)重點(diǎn)

讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)會(huì)獲取、歸納知識(shí)的能力．

教學(xué)難點(diǎn)

讓學(xué)生抓住面積不變，根據(jù)面積公式的恒等變換，從邊長(zhǎng)的變化中尋找圖形變化的依據(jù)，再根據(jù)“以數(shù)助形”思想確定剪的痕跡．

教學(xué)準(zhǔn)備

幾何圖形紙片、剪刀、測(cè)量工具、計(jì)算機(jī)演示課件等．

教學(xué)流程框圖，如圖1所示.

圖1

教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)1：源于教材，引出課題（5分鐘）.

師：同學(xué)們，這是……

生1：

展示人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第41頁(yè)的“探究”（如圖2）.

圖2

師：七年級(jí)的時(shí)候，我們是把兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形來(lái)研究的．

師：如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形ABEF和正方形FDCE，沿著對(duì)角線AE，DE剪開(kāi)，把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFG，再把△DCE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△GFD，就得到一個(gè)大的正方形AGDE．

圖3

師：兩個(gè)小正方形的面積的和是多少？

生2：2．

師：大正方形的面積又是多少？

生2：也是2．

師：既然大正方形的面積為2，那邊長(zhǎng)就應(yīng)該是多少？

生3：

師：既然形可以幫助數(shù)的理解，反之，數(shù)又能否幫助形的學(xué)習(xí)呢？

師：這就是本節(jié)課探究的課題“以數(shù)助形巧拼正方形”．

教師板書(shū)課題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)知識(shí)的回顧，體會(huì)以形助數(shù)的作用．

活動(dòng)2：情境變式，初感方法（15分鐘）.

師：根據(jù)勾股定理，邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形斜邊邊長(zhǎng)是多少？

生：不能（或很難）．

師：這就是數(shù)缺形時(shí)少直觀．

師：按照剛才的方法，邊長(zhǎng)改為2還可以拼出大正方形嗎（如圖4（1））？

生：可以．

師：大正方形的邊長(zhǎng)是多少呢？

師：邊長(zhǎng)為3呢（如圖4（2））？

師：邊長(zhǎng)為a呢（如圖4（3））？

……

圖4

師：由此可得，任意兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形都可以拼成一個(gè)大正方形．

師：任意兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的小正方形呢？還可以拼成一個(gè)大正方形嗎？接下來(lái)我們做一個(gè)變化，將其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)改為b（如圖5）．

課件出示題目：如圖5，你可以將邊長(zhǎng)為a和b的兩個(gè)小正方形紙板剪拼成一個(gè)大正方形嗎？拼的過(guò)程中，你運(yùn)用了哪些圖形變換？

圖5

師：我們還可以沿著正方形的對(duì)角線剪開(kāi)嗎？

生：不可以．

師：這一條對(duì)角線還是不是剪拼后大三角形的邊？

生：不是．

師：那大正方形的邊長(zhǎng)又應(yīng)該是多少？

教師稍作停頓，讓學(xué)生思考后，引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題.

師：圖5的兩個(gè)圖形面積和是多少？

生：a2+b2．

師：剪拼后大正方形的面積又是多少？

生：還是a2+b2．

師：大正方形的邊長(zhǎng)是多少？

師：那如何找出這條邊？

教師稍作停頓，回歸圖形，師生共同探討，巧妙結(jié)合彩色粉筆做適當(dāng)?shù)奶崾?

生：b．

師：如何確定b？

生：截?。▋煞N截取法，根據(jù)課堂需要選擇分析）．

師：剪一條邊夠不夠？

生：不夠．

師：那如何找第二條邊？

教師稍作停頓，回歸圖形，師生共同探討，巧妙結(jié)合彩色粉筆做適當(dāng)?shù)奶崾荆ㄈ鐖D6）.

師：確定了兩條邊就可以剪拼了嗎？

圖6

生：能．

師：如何拼？

生：平移（旋轉(zhuǎn)）．

教師根據(jù)圖形和課件演示（略）.

小結(jié)：解決這個(gè)圖形問(wèn)題，不通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析是難以解決的，所以說(shuō)“形少數(shù)時(shí)難入微”．

師：同學(xué)們，我們剛才這個(gè)剪拼完美嗎？這個(gè)四邊形一定是正方形嗎？為什么？

教師稍作停頓，回歸圖形，師生共同探討，巧妙結(jié)合彩色粉筆做適當(dāng)?shù)奶崾?

學(xué)生逐步說(shuō)理，關(guān)鍵是找直角.

師：所以我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要嚴(yán)謹(jǐn)！

師生共同總結(jié)解題步驟：

（1）求大正方形面積；

（2）求大正方形邊長(zhǎng)；

（3）以大正方形邊長(zhǎng)為斜邊構(gòu)造直角三角形.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)情境變式，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，初感方法的產(chǎn)生過(guò)程，體會(huì)以數(shù)助形的思想和方法．

活動(dòng)3：?jiǎn)栴}深化，掌握方法（10分鐘）.

師：現(xiàn)在我把圖5的小正方形變?yōu)榈妊苯侨切?，又怎么拼呢?/p>

課件出示題目：如圖7，正方形ABCD和一個(gè)等腰Rt△ADF，正方形的邊長(zhǎng)為a．問(wèn)能否將此圖剪拼成一個(gè)新正方形？拼的過(guò)程中，你運(yùn)用了哪些圖形變換？

圖7

教師要求：（1）獨(dú)立探索解題思路；（2）與同桌交流解題思路；（3）同桌合作完成剪拼．

學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，以數(shù)助形獨(dú)立完成分析思路，同桌之間完成剪拼過(guò)程（約8分鐘）．

教師課堂巡視，了解情況．

學(xué)生完成后，讓部分學(xué)生分享解題思路與拼接方法.部分學(xué)生的拼接方法如圖8所示.

圖8

師：我們能否把活動(dòng)3的圖形轉(zhuǎn)化為活動(dòng)2的圖形來(lái)解決呢（如圖9）？

圖9

讓學(xué)生初感化歸思想，體會(huì)數(shù)學(xué)之美．

【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生能否運(yùn)用剛剛總結(jié)的三個(gè)步驟，同時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生的合作精神．

活動(dòng)4：解決問(wèn)題，形成報(bào)告（15分鐘）.

師：想一想，由5個(gè)小正方形能組成哪些漂亮的圖形呢？

生：學(xué)生逐一回答（9種圖形，如圖10）．

圖10

師：這些漂亮的圖形都能剪拼成大正方形嗎？

生：能．

師：四人小組合作，選取喜歡的一個(gè)圖形進(jìn)行剪拼，完成報(bào)告（報(bào)告附后）．

生：小組合作完成（約10分鐘）．

教師課堂巡視，了解情況．

學(xué)生派代表展示成果（如圖11，選取圖形不重復(fù)）.

圖11

師生共同總結(jié)：雖然剪的方法很多，拼的方法也有很多，但是我們抓住大正方形的面積都是5這一條件，借助邊長(zhǎng)為構(gòu)造直角三角形來(lái)解決．

師：這節(jié)課，我們通過(guò)以數(shù)助形巧拼正方形的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)與形微妙而又緊密的關(guān)系．

師：所以說(shuō)，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．

師：大家知道這四句話是誰(shuí)說(shuō)的嗎？

……

師：是我國(guó)偉大數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)的（課件展示略）．

師：如果大家努力學(xué)習(xí)，你也可以成為下一個(gè)華羅庚，下課！

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組合作完成剪拼，檢驗(yàn)學(xué)生能否把知識(shí)整理成報(bào)告，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力．

第____小組成員名單：

時(shí)間：2015年____月____日

1.名稱：正方形的剪拼．

2.目的：完成剪拼大正方形，體會(huì)“以數(shù)助形”的數(shù)學(xué)思想．

3.內(nèi)容：由1×1的小正方形組成的網(wǎng)格中，剪出由5個(gè)小正方形任意組合的圖形（小正方形邊重合）剪拼成一個(gè)大正方形．

4.用具：正方形方格紙片、剪刀．

5.過(guò)程：

（1）圖形選擇：在如圖12所示的網(wǎng)格紙上畫(huà)出任意5個(gè)小正方形組合的圖形；

圖12

（2）填寫(xiě)分析思路；

（3）在如圖13所示的網(wǎng)格紙上繪制出剪拼后的圖形；

圖13

（4）派同學(xué)到黑板上展示成果；

（5）圖形論證（證明過(guò)程如圖14所示）．

圖14

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］劉案清.如何讓中考專題復(fù)習(xí)更“?！保跩］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（3）：61-64．

收稿日期：2015—12—05

作者簡(jiǎn)介：梁洪源（1980—），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題教學(xué)研究.