劉　倩（江蘇省連云港市連云區(qū)板橋中學）馬　敏（江蘇省連云港市教育局教研室）

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“數(shù)學實驗：平移 翻折 旋轉”課堂簡錄與評析

劉倩（江蘇省連云港市連云區(qū)板橋中學）
馬敏（江蘇省連云港市教育局教研室）

摘要：將初中階段研究的三種圖形運動——平移、翻折、旋轉，以數(shù)學實驗的形式讓七年級學生進行實驗操作，感受探索、發(fā)現(xiàn)的樂趣；再逐步對觀察操作的結論進行抽象，做到將操作與思維的完美結合.

關鍵詞：數(shù)學實驗；基本活動經(jīng)驗；數(shù)學抽象能力

內容和內容解析

“平移、翻折、旋轉”是蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》初中階段教學三種運動的起始課.平移、旋轉和翻折是幾何變換中的三種基本變換，是用運動觀點和思想研究圖形位置變化或圖形性質的數(shù)學問題.在分析圖形變換關系的過程中，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，同時滲透對稱和旋轉的數(shù)學思想．這節(jié)課的學習是后續(xù)學習平移、翻折、旋轉這三大幾何變換思想的基礎，在教材中占有十分重要的地位.

教學重點：自主探索圖形之間的變換關系（平移、翻折、旋轉及其組合），經(jīng)歷將圖形的運動轉換成數(shù)學語言，將數(shù)學知識應用于實際、發(fā)明創(chuàng)新的抽象過程.

目標和目標解析

探索圖形之間的變換關系（平移、翻折、旋轉及其組合），能夠利用平移、翻折和旋轉對圖形運動進行描述；引導學生以變換的觀點和思想，欣賞和分析現(xiàn)實生活中的平移、翻折、旋轉，能用所學數(shù)學知識解決一些實際問題；積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，建立良好的空間觀念，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識.

教學問題診斷分析

初中階段的“圖形的三大運動”與生活聯(lián)系十分緊密，學生有豐富的生活經(jīng)驗.也正因如此，學生對三種變換的認識凌亂模糊，可能還相互混淆，還不能從復雜的圖形中準確找出三種變換，無從感知三種變換的本質屬性，不能畫出簡單變換圖形.

教學難點：初步感知三種變換的本質屬性，能畫出簡單變換圖形，滲透平移和旋轉的數(shù)學思想.

教學支持條件分析

本設計把現(xiàn)代信息技術（多媒體課件）與實物教具（透明紙、卡通圖片）相結合作為學生學習數(shù)學和解決問題的工具，注重生活中的現(xiàn)象和簡單幾何圖形的運動，注重使學生經(jīng)歷觀察、探索圖形的運動和圖案設計等活動，充分利用這部分內容的特點，將觀察、操作等實踐活動，以及實踐活動中的思考與交流貫穿于教學過程的始終，使學生空間觀念的培養(yǎng)、推理能力和對圖形美的感受等得到大力的發(fā)展，讓學生體會圖形運動與現(xiàn)實世界的廣泛聯(lián)系，體驗圖形運動的數(shù)學內涵和文化價值，積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展良好的空間觀念和一定的創(chuàng)新意識.

根據(jù)實驗內容、實驗目標，結合七年級學生的認知特點，本節(jié)課主要采用“觀察—操作—體驗—歸納—應用”的導學方式，以探索三大運動特征為主線，進行本實驗課的教學.

課堂簡錄

1.觀察與思考

（1）觀看剪紙動畫.

師：首先，請同學們欣賞一段剪紙動畫片.

視頻內容為格林童話《灰姑娘》，視頻略.

師：同學們聽過這段童話故事嗎？在動畫中有我們學過的數(shù)學知識嗎？

師：同學們在動畫中看到了哪些運動的方式？

生1：動畫中小仙女飛行時的運動方式是平移.

生2：鐘擺的運動方式是旋轉.

生3：灰姑娘換上新衣后的運動方式是翻折.

（2）列舉生活實例.

師：在我們身邊有許多種圖形運動的方式，在初中階段只研究其中三種最基本的運動——平移、翻折與旋轉.你能舉出生活中平移、翻折或旋轉的例子嗎？

生4：風車在旋轉.

生5：鐘表的指針也是旋轉.

生6：電梯門打開是平移.

生7：我們打開書本時紙張的運動是翻折.

（3）交流討論.

師：同學們找到了那么多運動的例子，老師也找了一些.

教師課件演示平移、翻折、旋轉的實例各三種.

師：在其中找一個你感興趣的運動方式，說一說它有什么特征.

學生獨立思考，小組討論.

生8：我發(fā)現(xiàn)圖形的旋轉都要繞著一個點.

生9：翻折都有一條“軸”.

生10：平移可以向下、可以向上，在同一平面內圖形向任意方向平移.

師：同學們通過觀察，發(fā)現(xiàn)了平移、翻折、旋轉的某些特征，通過實驗操作，大家一定會有更多發(fā)現(xiàn)！

2.操作與畫圖

實驗1：圖1中的小猴子①可以通過一定的運動與另一只小猴子②重合嗎？動手試一試.

圖1

小組1展示：可以.把圖1中的小猴子①先向右平移，再旋轉一下，最后再翻折就可以重合了.

小組2展示：我們組的方法和他們不一樣.我們先把小猴子向下平移，再翻折，翻折后向右平移，最后旋轉一次.

小組3展示：我們組發(fā)現(xiàn)將圖中的小猴子①先沿一條斜著的線翻折，再向右下方平移就可以到達另一個小猴子的位置.

師：同學們通過動手操作，經(jīng)歷了卡通圖片的平移、翻折和旋轉，讓我們進入數(shù)學世界，網(wǎng)格中圖2的三角形①經(jīng)過一定的運動可以與②，③，④的三角形重合嗎？請看清楚要求完成實驗2.

圖2

實驗2：圖中的三角形①能夠依次運動到圖②、圖③、圖④的位置嗎？用透明紙把圖①描出來，動動看！

生11：將圖中的三角形①先向右移，再翻折（生11的操作是把這張透明紙直接拿起、翻到另一面），最后旋轉（旋轉的操作沒用輔助工具，不準確）.

師：同學們與這位同學的操作一樣嗎？

生：有些不一樣.

生12：圖中的三角形①先向右平移5格為圖②；再用尺子壓住這條網(wǎng)格線（即對稱軸），將②翻折就得到③；用筆尖壓住③與④的公共點，將透明紙上的三角形按順時針方向旋轉180°即可.

師：剛才兩位同學進行了操作過程的展示，其中生12更是詳細地描述了運動的路徑.從他們的操作和描述中，大家發(fā)現(xiàn)平移、翻折、旋轉還有哪些特征？

生13：旋轉要有旋轉角度和旋轉方向.

生14：平移時距離是重要的特征.

師：如果老師按照剛才生12描述的運動方式，描述以下網(wǎng)格中的四邊形進行了怎樣的運動，你能畫出其運動后的圖形嗎？完成實驗3.

實驗3：按任務要求，畫出圖3中①運動后的圖形.

圖3

①將圖①向上平移4格；

②將平移后的圖形沿虛線翻折；

③將翻折后的圖形繞點A逆時針旋轉90°.

師：同學們已經(jīng)在網(wǎng)格上完成了畫圖（圖略），介紹一下自己的做法吧.

生15：把四邊形的四個頂點分別向上平移四格，再把它們連起來就是平移后的四邊形.

師：同學們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，圖形的運動可以轉化為點的運動，所以只找了四個關鍵點的運動，真棒！翻折及旋轉后的四邊形如何畫？

生16：只要分別將四個點翻折就行，數(shù)一數(shù)它們分別離虛線有幾格，在虛線右面數(shù)相同的格數(shù)就可以確定這四個點.

生17：我是將其中一條線段按要求旋轉，再想象出整個四邊形.

生18：其實用刻度尺和三角板就可以畫了.先用三角板量出直角，再用刻度尺度量，使旋轉前后兩條線段一樣長就行.

師：同學們太棒了，找到了在網(wǎng)格中將圖形平移、翻折、旋轉的方法.

師：我們剛才找到了平移、翻折、旋轉各自有哪些特征，觀察你在網(wǎng)格中畫出的圖形，這三種運動有什么共同的特征嗎？

生：平移、翻折和旋轉都不改變圖形的形狀，也不改變圖形的大小！

3.動畫揭秘與創(chuàng)作

師：請同學們猜一猜，視頻里網(wǎng)格中的小魚（如圖4）為什么“游”起來了？

圖4

生：是小魚在向右平移.

師：其實同學們剛才看到了若干張靜止的圖片（如圖5），每張圖片中的小魚都依次向右平移了一格，它們快速的消失、出現(xiàn)，就形成了同學們看到的微型動畫，其實這也是動畫制作的原理之一.

圖5

師：大家能利用手中的卡通圖片（如圖6），通過圖形的平移翻折和旋轉，制作一個動畫小故事嗎？

圖6

學生故事略.

評析

數(shù)學實驗是指通過動手、動腦“做”數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數(shù)學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動．因此，數(shù)學實驗應著力于學生的學，鼓勵學生以類似科學實驗的方式進行主動探索，強調從做中學、從實驗中學，通過學生主動的“做”或“實驗”等探究過程，掌握數(shù)學知識，積累基本的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)創(chuàng)新精神、動手能力和解決問題的能力．

平移、翻折、旋轉是初中階段研究的三種圖形運動方式，也是三種基本圖形變換，用運動的眼光看圖形是學生學習的難點.本節(jié)課通過創(chuàng)設動畫情境以及三個實驗操作活動，以學生喜聞樂見的“動畫片”為載體，為學生創(chuàng)設了欣賞、描述、操作、歸納等實驗任務，借助卡通圖片、透明紙、網(wǎng)格紙等工具，讓學生經(jīng)歷圖形的平移、翻折和旋轉的過程，為學生積累了豐富的實驗活動經(jīng)驗，培養(yǎng)了學生的空間想象能力，發(fā)展空間觀念和創(chuàng)新意識.

1.在生動有效的情境中激發(fā)學生數(shù)學實驗的興趣

動畫片伴隨著每一個孩子的成長，而動畫的制作對于學生來說卻是遙遠而陌生的，情境利用了一小段動畫故事，讓學生感到動畫制作并不神秘，與數(shù)學也有著緊密的關系.為了避免復雜的運動方式干擾學生的認識，在動畫中只出現(xiàn)了平移、翻折、旋轉這三種基本的圖形運動方式，為后續(xù)第五個環(huán)節(jié)中的動畫揭秘與創(chuàng)作埋下伏筆.

此動畫情境揭示了學習的主題——圖形的平移、翻折、旋轉，生動而有趣，激發(fā)了學生進行數(shù)學實驗活動的興趣.

2.在豐富的操作過程中為學生積累數(shù)學實驗活動經(jīng)驗

（1）卡通圖片操作實驗，數(shù)學經(jīng)驗的產(chǎn)生離不開生活經(jīng)驗.

實驗1選用了學生喜聞樂見的卡通素材.讓學生根據(jù)生活經(jīng)驗操作“小猴子卡片”，經(jīng)歷卡通圖片平移、翻折、旋轉的過程，這其實就是動畫的簡單制作，再次為后面的創(chuàng)作任務進行有效鋪墊.雖然此時學生的操作不一定準確，也無法用語言進行數(shù)學化的描述，但在操作過程中學生能夠感受生活中的平移、翻折、旋轉往往不是孤立存在的，而是相互區(qū)別又相互滲透的.

（2）借助透明紙操作實驗，調動多個感官獲得數(shù)學經(jīng)驗.

以網(wǎng)格紙作為平臺，借助透明紙這一工具，讓學生經(jīng)歷三角形的平移、翻折和旋轉.在操作透明紙進行三角形的運動時，學生需要關注三角形的各個頂點在運動前后的位置，自然地將注意力從圖形的運動轉化為點的運動；進行翻折時為了使三角形完全重合，不得不尋找能夠幫助操作的工具（尺子）“壓”住網(wǎng)格線（即對稱軸），這一操作再一次幫助學生深刻體會到了軸對稱的關鍵特征.同樣，旋轉時學生自發(fā)地使用筆尖按住一點（即旋轉中心）進行操作.左右手配合操作，動腦尋找方便操作的工具，動口嘗試描述，這些都為今后的圖形運動的研究積累了有效的數(shù)學實驗活動的經(jīng)驗.

（3）網(wǎng)格紙畫圖操作實驗，數(shù)學化的操作培養(yǎng)學生能力.

實驗3中，學生需要運用上一實驗獲得的經(jīng)驗脫離透明紙這一輔助工具完成畫圖.此時學生已經(jīng)意識到：圖形的運動實際上就是點的運動，畫圖時只需找出關鍵點運動后的位置即可.此外，學生在展示如何將一個點繞旋轉中心逆時針旋轉90°時，脫離網(wǎng)格紙這一輔助工具，使用了三角板和刻度尺進行畫圖.這一步操作說明學生從實驗操作中意識到了旋轉性質“對應點到旋轉中心距離相等”，運用此性質進行畫圖.七年級的學生在一堂數(shù)學實驗課上能夠通過觀察、操作、體驗，獨立探究出八年級教材中的性質、結論，這是本節(jié)課的一大成功之處.

與實驗1操作卡通圖片相比，此時的操作是學生在感悟到平移、翻折、旋轉的本質屬性之后的操作.如果說實驗1動畫操作時學生的認識是模糊的，是不太準確的，是在生活經(jīng)驗下的操作，而在此時的動畫操作學生的認識就是逐步清晰的，是比較準確的、數(shù)學概念形成后應用于實際的操作.

3.在精心設置的問題串中不斷引導學生歸納與概括，滲透“抽象”的數(shù)學思想

數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展必須依賴基本的數(shù)學思想.史寧中先生認為，數(shù)學的基本思想有三類：抽象、推理、模型.在本節(jié)課中，體現(xiàn)最為明顯的當屬抽象的基本

思想.從學生的現(xiàn)實世界出發(fā)，觀察剪紙動畫片、尋找并觀察生活中的平移、翻折和旋轉，運動卡通圖片并嘗試描述方法，運動透明紙上的三角形并嘗試描述路徑，在網(wǎng)格中畫圖后結合圖形再次尋找特征，在這些活動的背后，其實都在做同一件事，也就是反復幫助學生進行抽象，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程.

（1）在觀察中描述三種運動的特征，經(jīng)歷從生活到數(shù)學的第一次抽象.

讓學生從切身生活經(jīng)驗出發(fā)舉例說明生活中平移、翻折、旋轉的例子，結合課件中提供的感性認識材料，從豐富的外延入手，讓學生觀察、討論、嘗試描述這三種基本運動，尋找平移、翻折、旋轉的本質屬性，經(jīng)歷從生活到數(shù)學的概念抽象的過程.這是建立在學生觀察上的第一次抽象，學生找到了圖形旋轉時會有一個“點”，翻折時一定有一條“線”，平移運動是發(fā)生在同一平面內，平移要有平移的方向.

（2）借助透明紙的操作活動觀察三角形運動，通過語言描述運動路徑進行第二次抽象.

課例中實驗2完成了從實際問題到數(shù)學問題的抽象過程，引導學生進入到數(shù)學內部來看圖形的運動變換，學生在語言描述過程中已觸及到平移、翻折、旋轉的某些本質屬性，如描述旋轉時要說明旋轉方向與旋轉角度，描述平移要說明平移的距離，這是本節(jié)課的第二次抽象.在課堂中，授課教師對學生感悟到的本質屬性及時加以提煉、板演，加深了學生對三角形平移、翻折、旋轉的過程的理解，較好地培養(yǎng)了學生的數(shù)學語言表達能力和空間觀念.

（3）在網(wǎng)格紙這一平臺上畫圖，觀察三種運動后的圖形并尋找共性，進行本節(jié)課的第三次抽象.

在傳統(tǒng)的教材編排中，學生要歷經(jīng)三個學期逐步認識圖形的平移、翻折和旋轉，而本實驗課將三個基本的運動方式放在一起讓學生進行操作與感受，就可以幫助學生更方便地提煉出這三種運動的個性和共性.情境、實驗1、實驗2的活動中學生能夠抽象出這三種運動分別有哪些特征，在實驗3的操作后，結合卡通圖片、透明紙上的三角形、網(wǎng)格紙中的四邊形這些活動經(jīng)驗，學生就可以尋找到平移、翻折、旋轉的共同特征——這三種基本的圖形運動都不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.

參考文獻：

［1］董林偉.數(shù)學實驗：促進初中生數(shù)學學習的一種有效方式［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2012（5）：2-5.

［2］董林偉.初中數(shù)學實驗教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2013.

收稿日期：2015—11—26

作者簡介：劉倩（1981—），女，中學一級教師，主要從事數(shù)學教育與中學教學研究.