【摘 要】高效的課堂教學(xué)離不開有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，而有效的教學(xué)設(shè)計(jì)的前提是把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。分式與整式的本質(zhì)區(qū)別在于給定字母值，代數(shù)式未必有值。把握好這一點(diǎn)，再引入概念、深化對(duì)概念的理解，進(jìn)而掌握新知、鞏固提高，簡(jiǎn)約高效的教學(xué)設(shè)計(jì)也就水到渠成了。

【關(guān)鍵詞】分式;數(shù)學(xué)本質(zhì);教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2016）03-0029-03

【作者簡(jiǎn)介】徐丹陽，浙江省溫州市第二中學(xué)（浙江溫州，325000）學(xué)科組長(zhǎng)，浙江省特級(jí)教師，正高級(jí)教師;浙江省骨干高級(jí)訪問學(xué)者、名師工作室指導(dǎo)師，浙江省教育廳課程分析教材編寫成員，溫州市首屆名師，浙江師范大學(xué)、溫州大學(xué)研究生導(dǎo)師。

分式與整式是兩種不同的代數(shù)式，“分式”一課的有效教學(xué)需要做到三點(diǎn)：一是突顯分式與整式的區(qū)別，突出分式的本質(zhì)，讓學(xué)生觀察到分式的特征，得出分式的概念;二是以自然、簡(jiǎn)潔、明了的方式，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從分?jǐn)?shù)到分式的一次螺旋式上升，感受從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程;三是讓學(xué)生通過研究解決問題的過程，探究分式有意義的條件。為此，應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生需要，通過設(shè)計(jì)目的性明確的簡(jiǎn)約有效的問題情境，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

一、概念引入

創(chuàng)設(shè)兩個(gè)教學(xué)游戲，引出分式的概念。

【游戲1】①寫一個(gè)代數(shù)式滿足：當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式的值為2。②寫一個(gè)代數(shù)式滿足：當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式的值為2;并且，當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值為1。③寫一個(gè)代數(shù)式滿足：當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式的值為2;并且，當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值為1;當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式的值為。

對(duì)于①，許多學(xué)生會(huì)想到是2x或x+1。對(duì)于②，學(xué)生一般會(huì)思考一會(huì)兒，思維在整式范圍內(nèi)轉(zhuǎn)悠，興奮地得出3-x，也會(huì)有少量學(xué)生發(fā)現(xiàn)，此時(shí)就可以進(jìn)入下一個(gè)游戲。如果沒有出現(xiàn)分式，就繼續(xù)第三個(gè)問題。

【游戲2】當(dāng)x=-3，-1，2，0…時(shí)，搶答求x+1，2x，3-x，的值。

學(xué)生將x的值代入以上四個(gè)代數(shù)式求值，在興奮搶答中，紛紛掉入圈套，大量出現(xiàn)當(dāng)x=0時(shí)=0的錯(cuò)誤。但很快會(huì)有“識(shí)貨”的孩子“發(fā)現(xiàn)真理”而興奮宣布：不對(duì)！分母是零！無意義！由此引入分式的概念：兩個(gè)整式相除，并且除式中含有字母，像這樣的代數(shù)式就叫分式。這類式子的特征是字母的某些取值使代數(shù)式無意義，原因在于分母含字母，取某值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)值是零的情況。

【設(shè)計(jì)意圖】綜觀當(dāng)下的諸多教材，對(duì)于“分式”一課均采用取材于生活實(shí)際，即列舉大量分式實(shí)例，通過列表達(dá)式的形式引入，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活的特點(diǎn)，這種做法固然是合乎大多數(shù)教師的口味，但對(duì)于初一學(xué)生，卻沒有什么吸引力。而我上面的設(shè)計(jì)從培養(yǎng)函數(shù)意識(shí)的角度，讓學(xué)生在初步感受對(duì)應(yīng)關(guān)系中，親自組建整式，并在整式不夠用時(shí)，讓分式自然地脫穎而出。更可貴的是，教師完全把發(fā)現(xiàn)的過程交由學(xué)生，讓學(xué)生一起來思考，不同層次的學(xué)生都有不同層次的發(fā)揮，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力無疑起到了很好的作用。

與平常的列舉大量分式實(shí)例引入分式相比，同樣是獲取不同代數(shù)式，但效果大不一樣。一方面，這樣簡(jiǎn)約的設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的游戲挑戰(zhàn)心理，不斷升級(jí)的難度激起學(xué)生克服困難的極大熱情，而每一次的成果又能促使其對(duì)下一輪挑戰(zhàn)抱有更大的熱情。而平常的列舉式引入，是一種零散的平淡無奇的無目的的工作。另一方面，從結(jié)果上看，列舉大量分式實(shí)例引入，盡管學(xué)生眼前是許多分式，但與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)并無關(guān)聯(lián)。而本設(shè)計(jì)由字母與代數(shù)式數(shù)對(duì)的取值不同，引起代數(shù)式表達(dá)式的變化，讓學(xué)生看到分式奇妙一角，緊接而來的代數(shù)式求值，讓學(xué)生清晰地走進(jìn)整式與分式的分水嶺——存在一個(gè)x的值使得代數(shù)式無意義！打破原有的“給定字母值必有代數(shù)式值可求”的經(jīng)驗(yàn)，這正是“分式與整式”本質(zhì)的區(qū)別，也是最需要學(xué)生領(lǐng)悟的邏輯關(guān)系處。

筆者特別注重教學(xué)引入環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，認(rèn)為課堂教學(xué)的引入需要考慮下列三個(gè)方面：1.如何引導(dǎo)學(xué)生思考;2.思考什么內(nèi)容;3.從何入手。本節(jié)課的教學(xué)將培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)意識(shí)作為教學(xué)的起點(diǎn)和核心點(diǎn)，設(shè)計(jì)求值游戲以學(xué)定教。喚起學(xué)生由直覺思維走向自覺思考，簡(jiǎn)約不簡(jiǎn)單。學(xué)生思維從無序到有序的發(fā)展過程，是享受數(shù)學(xué)美的過程，通過深入思考，喚起了學(xué)生自覺提出問題的積極性，從而進(jìn)入“為什么代數(shù)式無意義”的探討。我們知道研究問題比解決問題更重要，以上精心設(shè)計(jì)的“引入環(huán)節(jié)”，所激發(fā)的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，在相當(dāng)程度上決定了整節(jié)課分式的學(xué)習(xí)效益和效率。

二、概念理解

加深學(xué)生對(duì)分式概念的理解，要從兩個(gè)方面進(jìn)行。一是設(shè)計(jì)探究活動(dòng)讓學(xué)生類比分?jǐn)?shù)和分式，進(jìn)而體會(huì)分式的意義;二是讓學(xué)生將分式納入已有的多項(xiàng)式、單項(xiàng)式、整式、代數(shù)式等知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

探究活動(dòng)1：已知老師原地起跳，3秒鐘跳的高度為46厘米，t秒鐘跳的高度為59厘米，5秒鐘跳的高度為h厘米，①求老師跳高的平均速度;②若t=4，h=75，那么老師跳了m秒，會(huì)跳多高呢？

根據(jù)上述條件，對(duì)于問題①，學(xué)生會(huì)很自然地列出代數(shù)式;;，此時(shí)不應(yīng)當(dāng)滿足于此，而應(yīng)讓學(xué)生辨別哪些是分式，以此鞏固分式的概念。對(duì)于問題②，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)分?jǐn)?shù)都近似于15，即老師的平均速度約為15厘米每秒，m秒跳的高度是15m厘米。所以，老師的平均速度可以表示為分式：。這里要提醒學(xué)生一個(gè)重要的結(jié)論：分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性。

探究活動(dòng)2：合作討論多項(xiàng)式、單項(xiàng)式、整式、代數(shù)式和分式的結(jié)構(gòu)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生畫出如下的關(guān)系圖。

【設(shè)計(jì)意圖】由于分式是分?jǐn)?shù)的代數(shù)化，所以其性質(zhì)與運(yùn)算是完全類似的。因此，我們的設(shè)計(jì)十分注重觀察、歸納、類比、猜想等思維方法的應(yīng)用。如：在分式的探索過程中，采用了觀察、類比的方法，通過觀察、猜想讓學(xué)生在討論、交流中獲得分式的概念，分式表達(dá)式也是通過抽象、概括獲得的。這樣，既滲透了常用的數(shù)學(xué)思維方法，又培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)合理推理能力;更重要的是學(xué)生在獲得這些知識(shí)時(shí)，形成了自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這是非常重要的。

經(jīng)歷本環(huán)節(jié)后，學(xué)生能感受分式與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別，清楚分式源于分?jǐn)?shù)，又比分?jǐn)?shù)更具有一般性。緊接著的任務(wù)是體會(huì)分式的模型思想，進(jìn)一步掌握分式成立的條件。

三、掌握新知

上面的教學(xué)過程中已經(jīng)突出了分式的特點(diǎn)，下面設(shè)計(jì)5道例題來研究分式成立的條件。

例1：下列的式子中哪些是整式，哪些是分式？

例2：請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)添加一個(gè)代數(shù)式，使得原式成為分式。

例3：成立有條件嗎？

例4：對(duì)于分式，（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，分式有意義？（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為零？

例5：鞏固練習(xí)（1）當(dāng)x ?時(shí)，分式有意義;

（2）當(dāng)x ?時(shí)，分式有意義;

（3）當(dāng)b ?時(shí)，分式有意義;

（4）當(dāng)x ?時(shí)，分式有意義;

（5）當(dāng)x、y滿足關(guān)系 ?時(shí)，分式有意義;

（6）當(dāng)x= ?時(shí)，分式的值等于0。

特別聲明：在本文中，若沒有特別說明，分式的字母取值都不使分母為零。

【設(shè)計(jì)意圖】例1目的是初步讓學(xué)生學(xué)會(huì)從形式上判斷分式。例2則緊抓分式的分子與分母的共性與異性，回歸概念，揭示分式的本質(zhì)屬性。例3是對(duì)上面兩個(gè)例題的解后反思與總結(jié)。例4強(qiáng)調(diào)當(dāng)分子等于0且分母不等于0時(shí)分式的值為0。例5通過變換問題的背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。

四、鞏固提高

至此，分式的基本知識(shí)就教學(xué)完畢了，下面需要設(shè)計(jì)例題鞏固知識(shí)。對(duì)于例題的設(shè)計(jì)可以開放條件和結(jié)論讓學(xué)生進(jìn)行仿寫。例如：對(duì)于分式，可設(shè)計(jì)的問題有：①當(dāng)x取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)分式的值是多少？②當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值是1？仿照于此，可以讓學(xué)生就分式提出問題。

分式最終是表示具體情境中數(shù)量的模型，為了體現(xiàn)這一點(diǎn)，還應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)應(yīng)用題通過實(shí)際問題來鞏固分式意義。

例如，甲乙兩人從一條公路的某處出發(fā)，同向而行，已知甲每小時(shí)行a千米，乙每小時(shí)行b千米（a>b）。如果乙提前1小時(shí)出發(fā)，那么甲追上乙需要多少時(shí)間？若取a=b，此時(shí)表示的實(shí)際意義是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】以上練習(xí)鞏固針對(duì)性強(qiáng)，通過仿寫來開放條件和結(jié)論，不僅可以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，使學(xué)生熟練地掌握解決這一類問題的方法，為運(yùn)用分式概念提供范例，其解法體現(xiàn)了解決這一類問題的通性通法，蘊(yùn)含了解決問題的基本數(shù)學(xué)思想和方法，能做到高效練習(xí)。

本課教學(xué)通過培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)意識(shí)，凸顯教學(xué)的最本質(zhì)內(nèi)容，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從分式與整式的本質(zhì)區(qū)別中突圍。在給出分式的概念時(shí)，通過觀察、歸納，抓住分式的實(shí)質(zhì)，總結(jié)出整式與分式的異同，通過設(shè)計(jì)含有矛盾沖突的問題，突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，得出分式的概念，講清楚學(xué)生觀察到的分式特征;在知識(shí)歸納與方法提升方面，旨在養(yǎng)成有效的思維習(xí)慣，不斷實(shí)踐，給所有學(xué)生以表達(dá)的機(jī)會(huì)，學(xué)會(huì)總結(jié)提煉，這些都是本課的亮點(diǎn)。

在教學(xué)過程中，教師的主要作用是組織學(xué)生開展有效的探索，其目的是讓學(xué)生自然地、自覺地把分式新知納入到原來的知識(shí)體系中，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。活動(dòng)的目的是讓學(xué)生通過經(jīng)歷探究、思考、抽象、預(yù)測(cè)、推理、反思等過程，逐步達(dá)到對(duì)分式概念的意會(huì)、感悟，并能積累解決和分析問題的基本經(jīng)驗(yàn)，將這些經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過程中，不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)而不斷解決問題。學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)高效。在以上問題情境的創(chuàng)設(shè)中，類比的思想被廣泛應(yīng)用，學(xué)生不斷地用類比思想去探索新知，在學(xué)習(xí)分式時(shí)，用分?jǐn)?shù)來類比，這個(gè)類比的過程并不是簡(jiǎn)單地照搬照抄的過程，而是一個(gè)讓學(xué)生感悟的過程，是從相似點(diǎn)中“悟”到不同點(diǎn)。

總之，唯有深度解讀分式概念，教師擺脫以課堂講授新知為主、學(xué)生被動(dòng)聽講的局面，用較大的精力投入教材解讀，讓課堂中有愉悅高效的學(xué)習(xí)情境，滿足學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課堂的需求，方能達(dá)到簡(jiǎn)約高效的課堂教學(xué)的目標(biāo)。