王成會，莫潤陽，邊小兵

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院，陜西 西安　710062)

?

單擺的超大振幅振動

王成會，莫潤陽，邊小兵

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院，陜西 西安710062)

基于單擺的動力學方程和運動初始條件對單擺的大振幅振動進行了近似分析，介紹了一種估計擺振幅接近π的振動周期的解析方法. 結果表明，當擺振幅小于2.8rad時估計值偏離精確值較多，產(chǎn)生誤差的原因在于采用了線性近似.

單擺；大振幅振動；周期

在給定豎直面內運動的單擺作為一種簡單的物理模型[1]，對學生認識振動現(xiàn)象具有重要的意義. 首先，擺的運動現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中很常見，如秋千、鐘擺等. 學生熟悉擺的運動情景，從擺的運動入手構建振動物理模型有利于學生認識從生活到科學的抽象過程和方法，可幫助學生構建科學思維. 正因為如此，目前仍然有許多從事物理教學和科研的同行們不斷深入分析擺的運動特征[2-7]. 實際生活中地面上擺的運動受到很多因素的影響，如地球自轉、地球公轉、空氣阻力、懸線彈性形變等，可是當將擺的運動轉化成物理問題時，通常忽略這些因素的影響，將生活中的擺抽象成“理想擺(單擺)”，即由一根長度變化以及質量可忽略不計的長為l的細線(或輕桿)懸掛質量為m的擺球(質點)的運動，只考慮擺球受到懸線(或輕桿)拉力和重力作用的情形，此時擺球將在特定的豎直面內沿圓弧運動. 單擺的無阻尼振動的動力學方程為[1，2]

(1)

忽略單擺振動過程中阻力的影響，系統(tǒng)機械能守恒. 若選取單擺平衡位置為重力勢能零點，則有

(2)

(3)

該式為一橢圓積分[2]，直接計算通常比較困難，需要借助數(shù)學軟件通過數(shù)值積分實現(xiàn). 為方便人們估計單擺在大振幅振動時的周期，需要對式(1)和式(2)做近似分析，如將sinθ作泰勒展開保留角位移θ的高階項，利用逐級近似法可在一定精度上估計單擺振幅在(0，π/2)之間做大振幅振動時的周期變化[8，9]. 譚志中等利用局部常化三倍角公式給出近似估計單擺振動周期的修正方法[10]，并將結果同其他近似方法估計結果進行了比較. 然而，當振幅大于π/2時，前面的方法將不再適用.為此，我們需要發(fā)展更好的估計振幅大于π/2的擺周期的方法，而本文將介紹一種分析振幅θ0接近π時的單擺的運動和振動周期的方法.

當單擺振幅θ0無限趨近于π時，sin(θ0/2)≈1，故有

(4)

即為單擺運動角速度和角位移之間的關系. 當t=0，單擺經(jīng)過平衡位置，則有θ=0，對式(4)取正號在初始條件t=0，θ=0下積分[2]，有

θ(t)≈π-4arctan(e-ω0t)

(5)

此式表明，當t→-∞時，擺球角位移-π，而t→∞時，擺球角位移π. 從數(shù)學分析看，當單擺振幅無限趨近于π時，周期似乎是無窮大.然而，數(shù)值結果告訴我們，當ω0t=9時，arctan(e-ω0t)≈0.0001，隨著ω0t增加，arctan(e-ω0t)趨近于零，θ(t)無限趨近于π. 將式(4)對時間t求導，得

(6)

當t=0時，單擺處在平衡位置，其角速度為2ω0，當ω0t=π，即t=T0/2時，角速度約為0.17ω0，而當ω0t=2π，即t=T0時，角速度約為0.0075ω0，可見角速度在T0/2時間間隔(從T0/2變化到T0)內，角速度減小了約22/23，而角位移變化僅為0.17rad. 由此可見，當單擺做振幅趨近于π的大振幅振動時，單擺在從平衡位置向正最大角位移運動的過程中，在此過程后期的運動非常緩慢，故其周期為有限值，我們可借助于圖像分析技術研究角位移式(5)或角速度式(6)隨時間變化的趨勢,在一定精度范圍內估計單擺振幅無限趨近于π時的振動周期. 除圖像分析技術外，基于式(5)或式(6)，本文將介紹一種很好的解析方法分析擺作振幅超過π/2的振動時的運動行為和周期.

圖1給出了單擺振幅分別為3.1和3.0的振動相圖，如實a和虛線b所示. 比較曲線a和b發(fā)現(xiàn)當角位移|θ|<θC時兩曲線幾乎重合，此處θC為兩曲線重合區(qū)域角位移絕對值的最大值. 這表明當單擺作振幅趨近于π的大振幅振動時振幅變化對其振動周期的影響主要發(fā)生在角位移|θ|≥θC的范圍之內.

圖1　單擺大振幅振動的相軌跡曲線a:θ0=3.1，　曲線b: θ0=3.0

(7)

當θ20≈π時，近似有

(7a)

(8)

根據(jù)無阻尼擺振動的對稱性知，若能估計單擺從θC變化至θ10所用時間t2，則此時單擺周期為T=4(t2+t1). 設α=π-θ，當有α<<1時，代入式(1)，有[2]

(9)

(10)

(11)

(12)

故

(13)

利用角速度變化關系，結合式(6)和式(11)可同樣得到式(13)給出的周期表達式. 從式(10)和式(11)可以看出，在一級近似條件下，單擺在其振動正負最大位移附近角位移和角速度隨時間成指數(shù)增加或減小，但π-θ10越小，形成較大角位移變化所耗時間就越長，因此θ10越大，單擺的周期越長.

圖2給出了分別用式(3)和式(13)計算得到的單擺大振幅振動周期變化趨勢圖.周期計算式(3)為一橢圓積分，由于在推導過程中沒有引入任何近似處理，故本文將式(3)數(shù)值積分后得到的周期值作為精確值和近似計算式(13)進行比較.圖2中符號‘◆’代表由式(3)得到的周期值，曲線代表式(13)計算得到周期值.結果表明，若單擺振幅大于2.8rad，可用式(13)在一定精度范圍內估算單擺大振幅振動周期. 可是，當單擺振幅小于2.8rad時，式(13)估算得到的單擺大振幅振動期小于式(3)計算所得周期，估計值偏小包含兩個方面的原因:1) 隨著θ10減小，cos(θ10/2)增大，因此采用式(8)估計得到的t1值偏??；2) 隨著θ10減小，α增大，此時sinα≈α-α3/6，代入式(1)，可得

(14)

利用逐級近似法，設α=α1+α2，有一級近似解為α1=(π-θ10)coshωt，式中ω=ω0+Δω，代入式(14)，得二級近似解滿足的方程為

(15)

上式coshωt系數(shù)為零，得

(16)

(17)

因此，當θ10減小時，近似有

(18)

式中k<1，故式(18)估算的t2值大于式(12)估算得到的t2值，即當θ10減小時，由線性近似得到的式(12)估計值t2偏小.

圖2　單擺大振幅周期變化趨勢圖.

結論:本文對單擺做振幅大于π/2的振動做了近似分析，介紹了一種估計大振幅振動周期的方法，并對此方法的可靠性進行了理論分析.結果表明，本文給出的周期估算式(13)在單擺振幅大于2.8rad時給出振動周期值和式(3)給出的擺周期值相比，相差較小，且振幅越接近π，估計值越接近(3)式給出的擺周期值; 而當單擺振幅小于2.8rad時估計值小于(3)式給出的擺周期值，差別形成原因在于分析過程中采用了線性近似.

[1]漆安慎，杜嬋英.力學[M].2版.北京：高等教育出版社，2005：283-327.

[2]EugeneIButikov.Oscillationofasimplependulumwithextremelylargeamplitudes[J].EurJPhys，2012，33(6): 1555-1563.

[3]JoseFlores，GuillermoSolovey，SalvadorGil.Variablemassoscillator[J].AmJPhys,71(7): 721-725.

[4]BorisKorsunsky.Awesomeoscillations[J].PhysTeach，2008，46: 260.

[5]JohnDGarrison.Onthesolutionoftheequationfordampedoscillation[J].AmJPhys，1974，42: 694.

[6]EduardoERodrigue，GabrielAGesnouin.Effectivemassofanoscillatingspring[J].PhysTeach，2007，45(2): 100-103.

[7]YavorKostov，RagibMorshed，BarbaraHoling，etal.Period-speedanalysisofapendulum[J].AmJPhys，2008，76(10): 956-962.

[8]陳文濤，龔善初. 單擺振動分析[J]. 湖南理工學院學報(自然科學版)，2008，21(1): 66-70.

[9]龔善初. 利用線化和校正法求非線性單擺運動的周期[J]. 大學物理，2006，25(2): 16-18.

[10]譚志中，羅利進. 用局部?；督枪窖芯繂螖[周期[J]. 大學物理，2007，26(11): 25-33.

Oscillationofasimplependulumwithextremelylargeamplitude

WANGCheng-hui,MORun-yang,BIANXiao-bin

(SchoolofPhysics&InformationTechnology,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an,Shaanxi710062,China)

Basedonthedynamicalequationsandtheinitialconditions,theoscillationofasimplependulumwithlargeamplitudeisanalyzedapproximately.Amethodisintroducedtoestimatetheperiodofasimplependulumwithanextremelylargeamplitudewhosevalueisapproachingπ.Theresultsshowthatthedeviationbetweentheexactvalueandestimatedvalueoftheperiodincreaseswiththedecreaseoftheoscillationamplitude.Thelinearapproximationleadstotheincrementoftheerrors.

simplependulum;largeamplitudeoscillation;period

2015-05-26；

2015-08-05

陜西師范大學教學改革項目資助

王成會(1974—)，女，重慶萬州人，陜西師范大學物理學與信息技術學院副教授，博士，主要從事力學和理論力學教學研究工作，碩士生導師.

O313

A

1000- 0712(2016)01- 0011- 04