□邵文鴻 毛大平

（杭州市富陽區(qū)永興學校初中部，浙江杭州 311400）

課改前沿

初中數(shù)學拓展性課程的有效實施

□邵文鴻 毛大平

（杭州市富陽區(qū)永興學校初中部，浙江杭州 311400）

初中數(shù)學拓展性課程的有效實施，需要從教學目標的設定、教學內(nèi)容的展開、教學模 式 的 選取三 個 方面進行 .拓展性 教 學 目標更 多 地定位在“運用 ”、“ 探 索”、“關 聯(lián) 結(jié) 構(gòu)”、“拓 展 抽象結(jié)構(gòu)”，教學內(nèi)容的展開，應從知識點、思想與方法三個方面，以及教學效果、教學效益、教學效率三個維度建構(gòu)，教學模式則根據(jù)數(shù)學學科的特點，采用活動探究等多種模式結(jié)合，從而達到提升學生數(shù)學思維能力發(fā)展的目的.

初中數(shù)學；拓展性課程；實施

2015年9月，浙江省教育廳發(fā)布的《關于建設義務教育拓展性課程的指導意見》，把義務教育課程分為基礎性課程和拓展性課程兩大類，基礎性課程指國家和地方課程標準規(guī)定的統(tǒng)一學習內(nèi)容，拓展性課程指學校自主開發(fā)開設、供學生自主選擇的課程，這是義務教育課程體系建設的一大創(chuàng)新.它對拓展性課程的基本原則、課程的建設、課程的實施、課程的評價都提出綱領性的指導.現(xiàn)在筆者從教學目標的設定、教學內(nèi)容的展開、教學模式的選取三個方面，例談初中數(shù)學拓展性課程開發(fā)的有效實施.

一、教學目標的設定

從描述結(jié)果目標、過程目標和結(jié)構(gòu)特征的三種目標分類分析，由于受教學時間與空間、教學評價體系的影響，基礎性課程教學目標都定位在比較淺的層次，如了解、理解、掌握，經(jīng)歷、體驗，前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)、多點結(jié)構(gòu)的層次.拓展性課程則更多關注學生的差異性和選擇性，體現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程和應用過程，關注數(shù)學思考和問題解決的評價，則將目標定位在運用、探索、關聯(lián)結(jié)構(gòu)、拓展抽象結(jié)構(gòu).

案例 1：《從勾股定理到圖形面積關系的拓展》（八年級上冊）第2章閱讀材料

作為基礎性課程的教學目標：

（1）了解《幾何原本》第六卷命題 31的內(nèi)容.

（2）理解以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關系.

作為拓展性課程的教學目標：

（1）經(jīng)歷以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關系的證明過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想，積累面積關系證明中問題解決的經(jīng)驗.

方干又有七律詩《題龍泉寺絕頂》和《再題龍泉寺上方》。據(jù)嘉泰《會稽志》：“(龍泉寺)東晉咸康二年建。唐會昌五年廢，大中五年重建。咸通二年改今額?！盵10]卷八因而可以據(jù)此判斷在咸通二年(861)方干52歲之后至少曾經(jīng)兩次造訪會稽龍泉寺并且留下詩篇。

（2）在探索的過程中發(fā)現(xiàn)和得出規(guī)律：“在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和.”

教學評析：基礎性課程對閱讀材料的教學目標定位是比較低的，它對《幾何原本》第六卷命題31的內(nèi)容僅僅要求是“了解”，它對“以直角三角形的三條邊為邊，向形外分別作正方形、正三角形、半圓存在的面積關系”只需要是“理解”，達到“多點結(jié)構(gòu)”的理解水平，也就是學生回答問題時能找到向外所作的三個正方形之間的面積關系，三個正三角形之間的面積關系，三個半圓之間的面積關系，但未能將所有找到的特征綜合起來，不能發(fā)現(xiàn)《幾何原本》第六卷命題31的結(jié)論.而這則閱讀材料作為拓展性課程進行開發(fā)時的教學目標定位要求比較高，它需要“經(jīng)歷”面積證明的過程，“體會”數(shù)形結(jié)合的思想，“探索”《幾何原本》第六卷命題31的規(guī)律，達到“關聯(lián)結(jié)構(gòu)”的理解水平，也就是學生能將特殊圖形的面積關系進行整合，形成完整的知識結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》第六卷命題31的結(jié)論.

二、教學內(nèi)容的展開

拓展性課程教學內(nèi)容的展開需要從知識點、思想和方法這三個方面做到優(yōu)質(zhì)高效，優(yōu)質(zhì)高效的拓展性課堂需要以有效教學的三個衡量維度（教學效益、教學效果和教學效率）進行建構(gòu)［3].教學效益指的是學生通過課堂教學后學到的東西是有價值的.教學效果指的是學生通過課堂教學后獲得實際的發(fā)展.教學效益指的是教學效果與時間和精力投入的比.這三者之間是環(huán)環(huán)相扣、螺旋上升的關系.教學內(nèi)容的載體是拓展性課程的知識點、數(shù)學思想和數(shù)學方法.

案例 2：《美妙的鑲嵌》（九年級上冊）第 3章閱讀材料

問題1：通過欣賞生活中美妙的鑲嵌，請思考用一種全等的多邊形密鋪有哪些情況？

問題 2：用一種正多邊形密鋪有哪些情況?

問題 3：用兩種正多邊形密鋪有哪些情況？

問題4：用三種及以上正多邊形密鋪有哪些情況？

問題5：學生根據(jù)自己的特長和愛好，選擇其中的一種成果整理形式進行分享交流.

形式1：利用全等三角形或全等四邊形拼出美妙的圖案.

形式 2：將問題（2）（3）（4）或（5）的分析過程整理出來，并配上相應的密鋪，形成小論文.

形式3：對問題（4）給出不同的解法.

形式 4：提出新的問題，比如：（5，5，10）只滿足在一個點處密鋪，不能在平面上密鋪，并用圖例展示.

教學評析：優(yōu)質(zhì)高效的拓展性課堂教學需要課堂教學效益精準化，它需要教師把握《美妙的鑲嵌》課堂教學的核心知識點：平面內(nèi)正多邊形的鑲嵌方案.案例通過5個問題的設計，牢牢地將學生思維的發(fā)生發(fā)展過程與平面內(nèi)圖形的鑲嵌數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程結(jié)合起來，在這個過程中積累計算一種正多邊形鑲嵌，兩種正多邊形鑲嵌，三種正多邊形鑲嵌方案的問題解決經(jīng)驗，學會建立方程、不等式模型解決實際問題的思想方法.課堂教學效果需要實效化，正如案例中教師通過核心問題的設計，經(jīng)過學生合作交流、教師適時點撥、學生成果分享，讓學生很好地掌握平面內(nèi)正多邊形組合鑲嵌方案的計算方法，起到很好的教學實效，體現(xiàn)教師從關注教學任務的完成度轉(zhuǎn)向關注學生學習的達成度，關注學生知識、能力和品格的實際變化.教學效益需要最優(yōu)化，它通過三個課時的探究學習，學生完整經(jīng)歷平面內(nèi)正多邊形的鑲嵌由簡單到復雜的問題解決過程，培養(yǎng)學生在問題解決過程中進一步發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的能力，培養(yǎng)學生運算和推理的能力，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展.

三、教學模式的選取

教學模式是在一定教學思想、教學理論指導下，教學活動諸要素依據(jù)一定教學目標、教學內(nèi)容及學生認知特點所形成的一種相對穩(wěn)定而又簡化的教學結(jié)構(gòu).教學模式的形成和發(fā)展，有它一定的條件和原因，目前主要有以下六種教學模式：（1）以教師講授為主，系統(tǒng)傳授與學習書本知識；（2）圍繞學習者為中心來設計教與學的活動，讓學習者在活動中學習；（3）設置個性化的學習情境，但是嚴格控制學習者學習進程的自學輔導；（4）提供結(jié)構(gòu)化的學習材料，教師作為組織者啟發(fā)學生從探索、發(fā)現(xiàn)中學習；（5）師生創(chuàng)設一定的情境活動，讓學生在情境中默會學習；（6）教師組織以行為技能訓練為主，學生在示范模仿中學習［4].拓展性課程教學更多的會選取第二種和第四種教學模式，或者是多樣綜合的教學模式.

案例 3：《撲克牌的旋轉(zhuǎn)》（九年級上冊）第3章探究活動

書本探究活動：能通過圖形的旋轉(zhuǎn)，使圖形A與圖形B重合嗎？如果用兩種圖形的運動呢？比如旋轉(zhuǎn)和軸對稱，旋轉(zhuǎn)和平移等.用撲克牌試一試，說出一種方法.

教學設計：

活動一：學生利用幾何畫板進行拖動，解答上述兩個問題.

活動二：教師將兩張撲克牌分開放，問：現(xiàn)在能用兩次變換嗎？能將兩次變換改成一次嗎？學生在幾何畫板上拖動試驗.

活動三：在活動過程中提出問題：兩個全等的幾何圖形能否通過一次圖形變換就能重合？

活動四：得出結(jié)論：如果平面上兩個全等的圖形，方向一致時，通過旋轉(zhuǎn)使得一條對應邊重合，則其余各個角，各條線段都重合.方向相反時，有可能可以通過軸對稱變換使得重合.也就是說，在平面上的兩個全等圖形，要么經(jīng)過一次全等變換，要么經(jīng)過兩次全等變換就可以重合.而且，這里的三角形可以推廣到四邊形、五邊形……n邊形.

教學評析：教學模式不能單一化、程式化，由于教學活動的復雜性、教學目標的多樣性、教學內(nèi)容和學生認知特點的豐富性，決定教學模式既豐富多樣又整體綜合.正如《撲克牌的旋轉(zhuǎn)》案例，作為基礎性課程的探究活動，教師會選用教學模式（1），以教師講授為主，系統(tǒng)傳授和學習書本知識.但作為拓展性課程的內(nèi)容，則會選用教學模式（4），提供書本探究活動“撲克牌的旋轉(zhuǎn)”這個結(jié)構(gòu)化材料，引導學生從“通過圖形的旋轉(zhuǎn)，使圖形A與圖形B重合”發(fā)現(xiàn)和提出問題：“兩個全等的幾何圖形能否通過一次圖形變換就能重合.”在探索的過程中教師既重視設計活動，引導學生主動積極地從活動中學習，也重視利用學生已有知識，在教師啟發(fā)誘導下通過動手操作、觀察、思考、討論、再實驗等途徑，研究問題，發(fā)現(xiàn)事物變化的起因和內(nèi)在聯(lián)系，從中找出兩個全等圖形重合需要兩次或一次全等變換的規(guī)律，從而獲得知識并發(fā)展能力.在這個學習過程中也運用了教學模式（2），以學習者為中心，從活動中學習.這就是拓展性課程教學模式選取的特點，它往往需要綜合地選用多種教學模式，但我們要始終抓住數(shù)學學科教學的特點，培養(yǎng)學生數(shù)學思維 .

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012：72.

［2］張祥文 .《學習質(zhì)量評價：solo分類理論（可觀察的學習成果結(jié)構(gòu)）》簡介［J］.地理教學，2016（15）：48.

［3］裴昌根，宋乃慶.基于核心素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)高效課堂教學探析［J］.課程·教材·教法，2016（11）：45-49.

［4］王策三.教學認識論［M］.北京：北京師范大學出版社，2002：164-165.

* 本文系 2015 年度浙江省教研重點課題“以學科素養(yǎng)為核心的初中數(shù)學校本選修課程群的構(gòu)建”（課題批準號01362）階段研究成果.