楊麗 楊丹

摘 要：數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但是在抽象和?yán)謹(jǐn)?shù)谋澈髤s隱含著許多美的形式和美的內(nèi)容。我們通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)中美的形式和內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，有助于提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；審美意識(shí)；形式美；結(jié)構(gòu)美

中圖分類(lèi)號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）16-0192-03

Abstract： Mathematical knowledge is abstract， the understanding and application of mathematical knowledge is rigorous， but behind the abstract and rigorous implication of many forms of beauty and beauty of the content. Through the understanding of the form and content of mathematics in China， we can improve the understanding and application of mathematical knowledge.

Keywords： mathematics； aesthetic consciousness； formal beauty； structural beauty

“數(shù)學(xué)美”是以數(shù)及數(shù)理關(guān)系認(rèn)知物質(zhì)世界的反映。我們探索數(shù)學(xué)美，即是用審美思維和方式認(rèn)知數(shù)、數(shù)理關(guān)系及其內(nèi)在特有的規(guī)律和法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美觀，揭示數(shù)學(xué)審美價(jià)值，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

不夸張的講，數(shù)學(xué)可以詮釋世間萬(wàn)物，更能詮釋萬(wàn)物之美。比如對(duì)音樂(lè)而言，最簡(jiǎn)單的1、2、3、4、5、6、7已是音樂(lè)的化身，其變化讓我們感悟到無(wú)限音樂(lè)之美；就現(xiàn)代科技而言，數(shù)碼成像技術(shù)、計(jì)算機(jī)運(yùn)用等是對(duì)客觀物象進(jìn)行數(shù)字編碼以及依存于數(shù)學(xué)二進(jìn)制的規(guī)律，從而體現(xiàn)了現(xiàn)代科技之美；即或是歡樂(lè)童年、青春年華、遲暮之年等也是用數(shù)（年齡的變化）詮釋人生不可違背的生命法則；相對(duì)論電子波動(dòng)方程可以列入20世紀(jì)科學(xué)的最高成就之一，而促使狄拉克成就這一方程的初衷是基于方程的完美性和數(shù)學(xué)形式美的動(dòng)機(jī)，他曾經(jīng)說(shuō)“我的許多工作正是玩弄方程，并看它們給出些什么”“那是個(gè)漂亮的數(shù)學(xué)結(jié)果”；同樣，數(shù)學(xué)中不少猜想得以證明，往往是基于數(shù)學(xué)內(nèi)在的節(jié)奏、勻稱(chēng)、和諧的審美特質(zhì)，從而從相似性歸納、演繹出數(shù)學(xué)規(guī)律性等?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)不僅詮釋萬(wàn)物之美，更是人類(lèi)審美智慧的結(jié)晶，探索數(shù)學(xué)之美，有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解運(yùn)用，使之更好地服務(wù)于現(xiàn)代科技和社會(huì)。

一、樹(shù)立數(shù)學(xué)審美觀

著名的雕塑家羅丹說(shuō)過(guò)：“美是到處都有的，對(duì)于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)。”在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，人們往往處于嚴(yán)謹(jǐn)、理性的分析、判斷、推理的數(shù)學(xué)思維狀態(tài)，難免讓人覺(jué)得數(shù)學(xué)是那么的高深而不可親近，甚至于覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，更談不上有何美的感受。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)概念、數(shù)理關(guān)系背后，存在著無(wú)盡的審美現(xiàn)象，只不過(guò)我們?nèi)狈?duì)數(shù)學(xué)的審美認(rèn)知和審美需求。數(shù)學(xué)審美過(guò)程是將數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律外化的過(guò)程，是將數(shù)理邏輯轉(zhuǎn)化為現(xiàn)象感知的過(guò)程，從審美的角度來(lái)認(rèn)知數(shù)學(xué)現(xiàn)象和本質(zhì)，樹(shù)立數(shù)學(xué)審美觀，有助于開(kāi)闊視野，活躍數(shù)學(xué)思維。比如：圓的審美意義，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從數(shù)學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱(chēng)之美與和諧之美，認(rèn)為一切平面圖形中最美的是圓形，這個(gè)審美認(rèn)識(shí)無(wú)不令人嘆服，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越藝術(shù)家的審美感受。事實(shí)如此，如果在圓所在的平面，以圓心為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)至任何角度，都與原圖重合。可見(jiàn)圓是平面中最完美的對(duì)稱(chēng)圖形。從視覺(jué)現(xiàn)象而言，圓又是最為簡(jiǎn)潔、完整的圖形。同樣，人們又延伸其“圓滿”的人文意義，放大其審美價(jià)值。即或是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10…在數(shù)學(xué)思維中包含自然數(shù)、奇偶數(shù)、等差關(guān)系、極限變化等不同的含義和數(shù)理關(guān)系，但只要納入視覺(jué)領(lǐng)域，就會(huì)立刻產(chǎn)生形態(tài)大小、物象多少、圖形變化、漸變與延伸等審美關(guān)系和無(wú)窮盡的對(duì)象化的審美客體，這就是數(shù)學(xué)中最質(zhì)樸的審美認(rèn)知。反之，探討數(shù)學(xué)的審美性，有助于形成不同的數(shù)學(xué)思維，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

二、強(qiáng)化數(shù)學(xué)審美意識(shí)

在認(rèn)識(shí)中，人們習(xí)慣性地把數(shù)學(xué)思維等同于邏輯思維、理性思維，而認(rèn)為形象思維、感性思維與數(shù)學(xué)無(wú)緣。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維并不排斥其它思維方式，只不過(guò)由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)使邏輯思維、理性思維與形象思維、感性思維等在數(shù)學(xué)思維中呈現(xiàn)出主次、強(qiáng)弱、顯性與隱性等差異，而不是非此即彼的關(guān)系。審美活動(dòng)是形象思維、感性思維的表現(xiàn)形式。在數(shù)學(xué)中，存在無(wú)盡的審美要素、審美關(guān)系和審美空間。比如：所有可圖示化的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是通過(guò)視覺(jué)形象來(lái)進(jìn)行分析、判斷和思維的，視覺(jué)形象的呈現(xiàn)、聯(lián)系與變化關(guān)系都對(duì)應(yīng)于內(nèi)在的數(shù)理、比例、尺度和規(guī)律等，這些不僅是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是美學(xué)問(wèn)題，涉及形式、結(jié)構(gòu)、和諧、節(jié)奏、韻律等審美表現(xiàn)。相反，如果我們從形式、結(jié)構(gòu)、和諧、節(jié)奏等的內(nèi)在審美特質(zhì)出發(fā)來(lái)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維能力。

三、數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)美的含義十分寬泛，具有含蓄性，不像數(shù)學(xué)概念那樣具有明確定義。從哲理上講，數(shù)或數(shù)理關(guān)系可從內(nèi)在特質(zhì)與形式表現(xiàn)兩方面詮釋萬(wàn)物之美。所以，數(shù)學(xué)美體現(xiàn)于兩方面：一是體現(xiàn)于數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)的外在美，比如：三角函數(shù)的雙曲線的形式結(jié)構(gòu)很美；二是體現(xiàn)于內(nèi)在的規(guī)律、秩序和節(jié)奏美。同樣，三角函數(shù)的雙曲線從視覺(jué)形式看很美，但它更是對(duì)一種變化過(guò)程與趨勢(shì)的美學(xué)反映。當(dāng)然，對(duì)于藝術(shù)而言，諸如音樂(lè)的節(jié)奏與韻律、人體的比例與尺度、建筑的結(jié)構(gòu)與造型等我們很容易去感知與理解。對(duì)于數(shù)學(xué)而言，就需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，而且不是單純?nèi)フJ(rèn)知某種數(shù)學(xué)審美現(xiàn)象，而是將審美意識(shí)體現(xiàn)于數(shù)學(xué)思維過(guò)程，以期最大化地實(shí)現(xiàn)其審美價(jià)值和功能。這里，作者結(jié)合長(zhǎng)期的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，僅從美的形式、美的結(jié)構(gòu)以及意境美幾方面來(lái)看數(shù)學(xué)之美。

（一）形式美

形式美主要從感官而言。許多數(shù)學(xué)圖形和數(shù)學(xué)公式都表現(xiàn)出極強(qiáng)的形式美感，這有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知和理解。譬如：有人做過(guò)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生分別學(xué)習(xí)勾股定理a2+b2=c2和歐拉公式ei？仔+1=0，看學(xué)生能否體驗(yàn)到其中的美。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)勾股定理較容易感受到美，認(rèn)為它很奇妙，且容易記憶和運(yùn)用。對(duì)于歐拉公式，盡管有著很好的統(tǒng)一性和奇異性，它將數(shù)學(xué)中最常用的5個(gè)常數(shù)0，1，i，e，？仔用極為簡(jiǎn)單的方式聯(lián)系到了一起，在歷史上受到過(guò)很多人的贊美，但是，由于學(xué)生不了解這個(gè)公式的由來(lái)和其中包含的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)這個(gè)公式反應(yīng)漠然[1]。

1. 漸變

指客觀對(duì)象或某種現(xiàn)象逐漸的、有規(guī)律性的變化。對(duì)于藝術(shù)而言，漸變是藝術(shù)家從事藝術(shù)創(chuàng)作普遍遵守的法則，其審美性體現(xiàn)于一種強(qiáng)烈的空間感、運(yùn)動(dòng)感和無(wú)限延伸的張力，比如鐵路邊電線桿出現(xiàn)近大遠(yuǎn)小的變化，汽車(chē)行駛逐漸遠(yuǎn)去的過(guò)程，飛機(jī)聲音的變大與消失，溫度的逐漸升高等現(xiàn)象，就是一種典型的漸變效果。這種效果廣泛運(yùn)用于現(xiàn)代繪畫(huà)與設(shè)計(jì)中。在數(shù)學(xué)中，許多概念和邏輯規(guī)律包含了這種漸變的審美意義。比如：等比數(shù)列、等差數(shù)列、極限概念等。同樣，對(duì)于再簡(jiǎn)單不過(guò)的1、2、3、4、5…，而言，我們賦予它不同的度量關(guān)系，就可產(chǎn)生多少、大小、遠(yuǎn)近、輕重、高低等具體可感的、漸變的審美現(xiàn)象，從而豐富了對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

2. 變化與統(tǒng)一

變化與統(tǒng)一是形式美的總法則，是對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的具體化。在藝術(shù)表現(xiàn)過(guò)程中，變化與統(tǒng)一常常成為指導(dǎo)藝術(shù)創(chuàng)作和衡量藝術(shù)效果的標(biāo)尺。比如：大小、黑白、明暗、疏密等變化關(guān)系，相似形狀、鄰近色、環(huán)境色等的統(tǒng)一關(guān)系。同樣，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域大部分概念和結(jié)構(gòu)體系都以變化與統(tǒng)一的關(guān)系存在。比如：平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線定理，從結(jié)構(gòu)上都可以統(tǒng)一于圓冪定理，但又各有變化。解析幾何中的拋物線、雙曲線都統(tǒng)一于圓錐曲線，從視覺(jué)上相似，但內(nèi)容上不相同。如有限與無(wú)限、曲線與直線、切線與割線的轉(zhuǎn)化的概念對(duì)比等。

我們之所以要探索或放大這些審美關(guān)系，因?yàn)樗兄谖覀儗?duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)的奧妙，將數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛運(yùn)用于現(xiàn)代科技和社會(huì)發(fā)展中。

3. 系列化

系列化是藝術(shù)表現(xiàn)中強(qiáng)化相似性的審美原則，即具有相同基本結(jié)構(gòu)和屬性的客體重復(fù)出現(xiàn)，起到強(qiáng)化視覺(jué)效果突出內(nèi)在特質(zhì)的作用。比如日常生活中人們使用的各種商品，絕大部分是以系列化方式開(kāi)發(fā)和銷(xiāo)售的：化妝品按男性系列、女性系列，季節(jié)系列，香味系列，價(jià)額系列，款式系列等來(lái)開(kāi)發(fā)和銷(xiāo)售就是如此。最為耳熟能詳?shù)摹捌放啤倍?，就是產(chǎn)品系列化的存在方式。同樣，不同的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，其內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系往往構(gòu)成從公理到定理，再到推論、誘導(dǎo)公式等系列結(jié)構(gòu)。如：三角函數(shù)源于對(duì)角、邊關(guān)系的研究，其本質(zhì)是任何角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。三角函數(shù)的定理、推論、基本公式（誘導(dǎo)公式、和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式、萬(wàn)能公式等）很多、很復(fù)雜，但只要從系列化角度去理解和把握其內(nèi)在規(guī)律就使問(wèn)題簡(jiǎn)單化了。所以，感知三角函數(shù)定理、推論、誘導(dǎo)公式等體現(xiàn)出來(lái)的系列化的形式美感，有助于我們掌握三角函數(shù)的本質(zhì)，有助于提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。

（二）結(jié)構(gòu)美

結(jié)構(gòu)美主要探討事物內(nèi)在的特質(zhì)與骨骼。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒曾作過(guò)論述：“數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是指一種內(nèi)在的美，它來(lái)自各部分的和諧秩序，并能為純粹的理智所領(lǐng)會(huì)，可以說(shuō)，正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，使我們面對(duì)一個(gè)秩序井然的整體，能夠預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)定理?！盵2]

任何審美對(duì)象其背后都由內(nèi)在結(jié)構(gòu)做支撐，即審美表現(xiàn)包含現(xiàn)象美和內(nèi)在美，內(nèi)在美即結(jié)構(gòu)美，對(duì)結(jié)構(gòu)美的探討是當(dāng)代藝術(shù)的重要審美活動(dòng)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)各領(lǐng)域有其明顯的結(jié)構(gòu)體系，但對(duì)這種結(jié)構(gòu)體系的認(rèn)知與研究往往是放在科學(xué)與邏輯范疇，而未放在藝術(shù)領(lǐng)域去感知，好在大家對(duì)數(shù)學(xué)中存在的結(jié)構(gòu)美的研究逐漸受到重視。數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)美體現(xiàn)為兩方面，一是指結(jié)構(gòu)的規(guī)律、秩序、比例與和諧關(guān)系等特質(zhì)。如：秩序性是數(shù)列的結(jié)構(gòu)美，比例是黃金分割的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)稱(chēng)性是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的結(jié)構(gòu)美等。二是指結(jié)構(gòu)的關(guān)系美，就這一點(diǎn)而言，數(shù)學(xué)中“群”的概念就是最好的理解。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)關(guān)系的是“群”的概念，群結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)已滲透到數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域。無(wú)論是幾何學(xué)還是代數(shù)學(xué)等都可以按照不同的群結(jié)構(gòu)加以分類(lèi)，從結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于對(duì)某種數(shù)學(xué)特質(zhì)和關(guān)系的理解，因?yàn)閿?shù)學(xué)特質(zhì)和關(guān)系往往是以一種體系呈現(xiàn)，任何體系都存在于某種同構(gòu)性的或相似性的結(jié)構(gòu)中，所以在研究問(wèn)題時(shí)只要抓住一種結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析即可，結(jié)構(gòu)分析法是數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)方法，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美同樣體現(xiàn)于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的嚴(yán)謹(jǐn)與和諧。比如：高等數(shù)學(xué)是利用極限這個(gè)工具去研究函數(shù)的各種特性，所以高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排順序上也體現(xiàn)明顯的結(jié)構(gòu)關(guān)系：從函數(shù)（研究對(duì)象）到極限論（研究工具）到微分（函數(shù)的變化率）再到積分（相反問(wèn)題）及其它們的應(yīng)用。這種整體結(jié)構(gòu)從概念、定理、性質(zhì)及其運(yùn)用等體現(xiàn)出的嚴(yán)謹(jǐn)和諧的特點(diǎn)，如同五言律詩(shī)和七言律詩(shī)最基礎(chǔ)的平仄結(jié)構(gòu)是其結(jié)構(gòu)美的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)美體現(xiàn)于對(duì)任何公理、定理的內(nèi)涵表述的高度概括性，同樣，由公理、定理推演出龐大的理論體系，有其內(nèi)在嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，其形式表現(xiàn)極具相似性，這種極為簡(jiǎn)潔的形式關(guān)系和相似性說(shuō)明內(nèi)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)美。

（三）意境美

數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，人們往往不假思索地認(rèn)為數(shù)學(xué)思維就是邏輯思維，事實(shí)上這是機(jī)械的認(rèn)識(shí)，形象思維先于邏輯證明，邏輯思維往往是基于形象和空間意境之上的，或者說(shuō)是基于美感直覺(jué)的幫助，盡管這種直覺(jué)往往是無(wú)從解釋的，但在數(shù)學(xué)思維中，會(huì)產(chǎn)生無(wú)限接近結(jié)論的思維與方法。

例如：已知平面上有直線L及其同側(cè)的兩點(diǎn)A、B，在直線L上求一點(diǎn)，使從X軸看A、B所張的視角最大。相信大家頭腦中首先瞬間浮現(xiàn)的是平面、直線和兩點(diǎn)處于某種空間狀，形成一種畫(huà)面感，在這個(gè)意境中不斷調(diào)整、分析、判斷其相互的對(duì)應(yīng)的某種視覺(jué)關(guān)系，從而感知視角變化，整個(gè)過(guò)程都是形象思維過(guò)程，之后才去作邏輯證明。這種呈現(xiàn)于意識(shí)中的畫(huà)面感、空間感、運(yùn)動(dòng)感等是美的，不僅有助于人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與理解，更大大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

四、結(jié)束語(yǔ)

樹(shù)立數(shù)學(xué)審美意識(shí)，盡管數(shù)學(xué)美是個(gè)模糊且含蓄的問(wèn)題，是認(rèn)知者個(gè)體的內(nèi)在感受和體悟，不像數(shù)學(xué)問(wèn)題那樣可以得到邏輯證明。但是“人們或者因?yàn)楦械綌?shù)學(xué)是美的而愛(ài)好數(shù)學(xué)，或者因?yàn)閻?ài)好數(shù)學(xué)而認(rèn)為數(shù)學(xué)是美的。”這已經(jīng)說(shuō)明了探索數(shù)學(xué)審美的意義。同時(shí)，要樹(shù)立良好的數(shù)學(xué)觀，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間形態(tài)等關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，進(jìn)而產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)性、應(yīng)用性以及審美性的探索的需求和必要。再者，在數(shù)學(xué)審美教學(xué)中，要培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)和習(xí)慣，形成數(shù)形結(jié)合的思維方式，掌握這種最為直接和樸實(shí)的思維方式，把抽象的概念、關(guān)系、結(jié)構(gòu)等對(duì)象化、客觀化、具體化、直覺(jué)化，就凸顯了數(shù)學(xué)美的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊澤忠.從數(shù)學(xué)美感的產(chǎn)生看數(shù)學(xué)美教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（2）：5-7.

[2]徐本順.數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M].南京：江蘇教育出版社，1990：59.