白雪峰

[摘 要] 本文從“一題多解”和“一題多變”兩個(gè)方面闡述了平面幾何教學(xué)與研究的基本方式. 前者強(qiáng)調(diào)在多解過程中，綜合調(diào)用幾何知識(shí)，靈活運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法解決問題；后者關(guān)注基于問題的遺傳不變性和變異性，進(jìn)行變式拓展研究. 二者緊密聯(lián)系，相輔相成，相互促進(jìn)，都聚焦于學(xué)生“四能”提升、創(chuàng)新意識(shí)增強(qiáng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 靈動(dòng)深刻；銳利創(chuàng)新；思維品質(zhì)；探究歷程

“一題多解”和“一題多變”兩個(gè)方面闡述了平面幾何教學(xué)與研究的基本方式. “一題多解”強(qiáng)調(diào)的是在多解過程中，在綜合調(diào)用幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的過程；“一題多變”則關(guān)注的是對(duì)能夠保持“遺傳不變性”和發(fā)生“遺傳變異性”的問題開展深入探究，進(jìn)行變式和拓展的研究過程. 二者緊密聯(lián)系，相輔相成，相互促進(jìn)，都聚焦于學(xué)生“四能”提升、創(chuàng)新意識(shí)增強(qiáng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 下面就以一道平面幾何試題的研究為例，談?wù)勥@方面的思考與實(shí)踐.

試題呈現(xiàn)

試題 如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，求證：EC=2OF.

探究多解歷程回顧

為使多解過程更為簡(jiǎn)潔，證明方法更加突出，筆者將多次證明中都需要用到的條件先行證明，避免在多解過程中反復(fù)贅述.

如圖1，在正方形ABCD中，

因?yàn)閷?duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，

所以有AB=BC=CD=AD，（Ⅰ）

AB∥DC， AD∥BC，（Ⅱ）

AO⊥BD，AO=OC，即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，（Ⅲ）

△AOB和△BCO為等腰直角三角形. （Ⅳ）

因?yàn)锳E為∠BAC的平分線，

所以∠1=∠2. （Ⅴ）

因?yàn)椤?=∠1+∠4，∠5=∠2+∠6，

又∠4=∠6=45°，

所以∠3=∠5. （Ⅵ）

所以BE=BF. （Ⅶ）

說明 （1）以上結(jié)論（Ⅰ）至（Ⅶ）將在下面的證明中直接使用；（2）欲證EC=2OF，可證=或=2，這樣的變形處理可以使證明思路更為開闊.

方法1 （直接折半法）如圖2，取EC的中點(diǎn)G，連接OG，因?yàn)锳O=OC，CG=EG，所以O(shè)G∥AE. 所以==1. 所以O(shè)F=EG=EC. 所以EC=2OF.

方法2 （間接折半法）如圖3，取AE的中點(diǎn)G，連接OG，則OG=EC且OG∥EC①. 因?yàn)镺G∥BE，所以∠5=∠8. 又∠3=∠7，注意到∠3=∠5，所以∠7=∠8. 所以O(shè)G=OF②. 由①②可知EC=2OF.

方法3 （直接加倍法）如圖4，在OD上截取OG=OF，連接GC. 因?yàn)锳O=OC，OF=OG，∠AOF=∠COG，所以△AOF≌△COG. 所以∠FAO=∠GCO. 所以AE∥CG. 所以∠3=∠9，∠5=∠10. 注意到∠3=∠5，所以∠9=∠10. 所以BG=BC. 又因?yàn)锽F=BE，所以EC=FG. 所以EC=2OF.

方法4 （間接加倍法）如圖5，過點(diǎn)C作CG∥OF交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，因?yàn)锳O=OC，所以AF=FG，OF=CG. 因?yàn)锽F∥CG，所以∠3=∠CGE. 又∠3=∠5，∠5=∠CEG，所以∠CGE=∠CEG. 所以CG=CE. 所以EC=2OF.

方法5 （平行相似法）如圖6，過點(diǎn)B作BG∥AC，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則==，=. 所以=. 因?yàn)锽E=BF，所以EC=2OF.

方法6 （平行相似法）如圖7，過點(diǎn)B作BG∥AE，與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則==，=. 所以=. 因?yàn)锽E=BF，所以EC=2OF.

方法7 （平行相似法）如圖8，過點(diǎn)O，B，C分別向直線AE作垂線，垂足分別為G，H，K，則有OG∥HB∥CK. 所以=①，=②，==③. 由BE=BF以及①②可得=，即=④. 由③④可得=，所以EC=2OF.

說明 上述七種證明方法，從本質(zhì)上說都是作“輔助平行線”. 其中，前四種證法都用到了中位線定理或其逆定理，學(xué)生對(duì)此比較熟悉，而后三種證明方法則都采用了“平行相似法”，同時(shí)，需要學(xué)生觀察到兩次或三次三角形相似. 如果從另一種方向進(jìn)行思考，可以看出其中的第5和第6 兩種方法都是證明著名的梅涅勞斯定理的方法，下面我們直接利用該定理證明這個(gè)問題.

方法8 （應(yīng)用梅涅勞斯定理）如圖9，△OBC被直線EFA所截，由梅涅勞斯定理得··=1. 因?yàn)锽E=BF，CA=2AO，所以EC=2OF.

說明 方法8應(yīng)用梅涅勞斯定理證明上述問題，可以不必添加任何輔助線，由一個(gè)式子便達(dá)到證明目標(biāo)，過程簡(jiǎn)單明了，在推廣過程中，為了減少篇幅，筆者就采用梅涅勞斯定理證法.

方法9 （應(yīng)用等腰三角形）如圖10，過點(diǎn)A作AG∥DB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有四邊形AGBD為平行四邊形. 所以AG=BD=AC， GB=AD=BC，∠GAE=∠3. 注意到∠3=∠5，所以∠GAE=∠5. 所以GA=GE. 又GA=AC=2AO=2OB=2OF+2FB，GE=GB+BE=BC+BE=BE+EC+BE=2BE+EC，BF=BE，所以EC=2OF.

說明 在方法9中，應(yīng)用△GAE為等腰三角形，GA=GE，然后利用線段的等量代換得到結(jié)論，由此我們又可以想到一種證明方法.

方法10 （應(yīng)用等腰三角形）如圖11，因?yàn)锳D∥BC，所以∠5=∠DAF. 又∠3=∠DFA，∠5=∠3，所以∠DAF=∠DFA. 所以DA=DF. 因?yàn)镈A=BC=BE+EC，DF=DO+FO=OB+OF=OF+BF+OF=2OF+BF，又BE=BF，所以EC=2OF.

方法11 （應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理）如圖12，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)G，因?yàn)椤?=∠2，∠1=∠G，所以∠2=∠G. 所以AC=CG. 又∠AOF=∠ECG=90°，所以Rt△AOF∽R(shí)t△GCE. 所以===. 所以EC=2OF.

方法12 （應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理）如圖13，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，因?yàn)锳E為∠BAC的平分線，易證Rt△ABE≌Rt△AGE，所以AG=AB=AO. 又EG∥FO，所以==，EG=OF. 又因?yàn)椤螪BC=∠GEC=∠GCE=45°，所以EC=EG=·OF=2OF.

方法13 （應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理）如圖14，過點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)PF交AC于點(diǎn)Q，則有PQ∥BC，F(xiàn)P=FO. 易證Rt△FPB≌Rt△FOQ，所以FB=FQ=BE. 因?yàn)镻Q∥BC，所以=，=. 所以=，即=. 所以BE2=EC·OF①. 因?yàn)椤螦BD=45°，所以Rt△BPF是等腰直角三角形. 所以BF2=PB2+PF2=2PF2=2OF 2 ②. 由①②可得2OF 2=EC·OF，所以EC=2OF.

方法14 （應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理）如圖15，在△ABO中，AF為∠BAO的平分線，所以=①. 在△ABC中，AE為∠BAC的平分線，所以==②. 由①②得=. 因?yàn)锽E=BF，所以EC=2OF.

點(diǎn)評(píng) 在以上14種證明方法中，有三種沒有添加任何輔助線而證得結(jié)論，而這三種方法又都比較簡(jiǎn)便. 認(rèn)真觀察圖形，分析圖形特征，力爭(zhēng)不用添加輔助線進(jìn)行證明，這樣的證明方法往往比較優(yōu)雅.

探究原幾何題的變化歷程

在原題中，AE為∠BAC的平分線，我們分裂AE得到∠BAC的等角線，即點(diǎn)E1，E2在BC上，且∠BAE1=∠CAE2 . 用這種方法來拓展原問題，得到具有保持遺傳不變性的結(jié)論，也會(huì)得到發(fā)生遺傳變異性的結(jié)論.

拓展1 如圖16，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E1，E2在BC上，且∠BAE1=∠CAE2，AE1，AE2分別與BO交于點(diǎn)F1和點(diǎn)F2 .

求證：（1）E1C·E2C=4OF1·OF2；

（2）+≥1.

證明 如圖16，因?yàn)椤螦OF2=∠ABE1=90°，∠BAE1=∠CAE2，所以∠AF2D=∠AE1B. 因?yàn)椤螦F2O=∠F1F2E2，所以∠AE1B=∠F1F2E2 . 所以F1，E1，E2，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓. 所以BE1·BE2=BF1·BF2 .

（1）△OBC被直線E1F1A所截，由梅涅勞斯定理可得··=1，所以=①. 同理，△OBC被直線E2F2A所截，由梅涅勞斯定理可得··=1，所以=②. 由①×②可得4==1，所以E1C·E2C=4OF1·OF2 . 當(dāng)?shù)冉蔷€AE1，AE2重合為∠BAC的平分線AE（點(diǎn)F1與點(diǎn)F2重合為點(diǎn)F）時(shí)，EC2=4OF 2，即EC=2OF.

（2）由①+②可得2+=+=≥==2，所以+≥1，當(dāng)且僅當(dāng)∠BAC的內(nèi)等角線重合為它的平分線時(shí)取“=”.

當(dāng)∠BAC的平分線分裂為它的外等角線時(shí)，圖形變化奇異，得到下面的問題.

拓展2 如圖17，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E1，E2在CB，BC的延長(zhǎng)線上，且∠BAE1=∠CAE2，直線AE1與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F1，直線AE2與DB交于點(diǎn)F2.

求證：（1）E1C·E2C=4OF1·OF2；

（2）+≥1.

參照拓展1的證明，有興趣的讀者可以嘗試證明，這里不再贅述.