王 君，龔雅靜，汪 泉，任 軍，楊智勇

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械學(xué)院 機(jī)器人技術(shù)研究中心，武漢 430068)

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基于歐拉法和消元法的平面六桿機(jī)構(gòu)分支識(shí)別*

王 君，龔雅靜，汪 泉，任 軍，楊智勇

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械學(xué)院 機(jī)器人技術(shù)研究中心，武漢 430068)

平面單自由度六桿機(jī)構(gòu)分支和奇異點(diǎn)是研究連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)連續(xù)性的重要指標(biāo)，針對(duì)Stephenson型單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)，提出一種識(shí)別機(jī)構(gòu)所有分支的方法?；跉W拉環(huán)方程，結(jié)合三角換元、多項(xiàng)式判別法，首先提出一種分析平面六桿機(jī)構(gòu)分支的理論方法，識(shí)別了機(jī)構(gòu)所有分支并得到抑制機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的所有奇異點(diǎn)。其次聯(lián)合Sylvester消元法，得到輸入輸出角同時(shí)在四桿鏈或不同時(shí)在四桿鏈條件下的輸入輸出關(guān)系曲線。最后通過實(shí)例分析與驗(yàn)證，結(jié)果表明此理論方法可準(zhǔn)確迅速地得到平面六桿機(jī)構(gòu)的可行運(yùn)動(dòng)域以及奇異點(diǎn)位置處機(jī)構(gòu)的所有構(gòu)型，為Stephenson型平面六桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了一個(gè)簡單有效的途徑。

平面六桿機(jī)構(gòu)；分支；奇異點(diǎn)；Sylvester消元法

0 引言

連桿機(jī)構(gòu)的連續(xù)性和平穩(wěn)性對(duì)于連桿機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性[1]是非常重要的，奇異點(diǎn)[2]是抑制了機(jī)構(gòu)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)的所有點(diǎn)的總稱，包括死點(diǎn)和分支點(diǎn)。機(jī)構(gòu)的奇異點(diǎn)位置是機(jī)構(gòu)在特定的幾何條件下的固有特性，不隨機(jī)構(gòu)的輸入輸出而改變，但機(jī)構(gòu)的分支特性曲線是隨輸入輸出而改變的。判定機(jī)構(gòu)的奇異點(diǎn)位置以及分支對(duì)于機(jī)構(gòu)的平緩運(yùn)動(dòng)有很大的幫助。平面單自由度六桿機(jī)構(gòu)是一種典型并聯(lián)連桿機(jī)構(gòu)，Stephenson六桿機(jī)構(gòu)是最典型的平面單自由度六桿機(jī)構(gòu)[3]之一。Ting K L、Wang J[4-6]等利用歐拉環(huán)方程以及半角公式，引入關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間的概念，根據(jù)平面六桿機(jī)構(gòu)環(huán)路相互作用提出了機(jī)構(gòu)死點(diǎn)判斷的代數(shù)方法。沈惠平[7]運(yùn)用POC法，對(duì)典型的多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)涮匦苑治?。韓建友[8]等基于解域綜合理論，根據(jù)解曲線的映射構(gòu)成平面六桿機(jī)構(gòu)的平面解域，從而判定機(jī)構(gòu)的分支及分支缺陷。然而，在實(shí)際運(yùn)用中，不同的輸入輸出對(duì)平面六桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)順序和運(yùn)動(dòng)曲線都有很大的影響。奇異點(diǎn)追蹤法[9]、自動(dòng)運(yùn)動(dòng)生成算法[10]、環(huán)路自動(dòng)生成法[11-13]為平面多桿機(jī)構(gòu)奇異點(diǎn)和分支識(shí)別提供了新的思路，但都是針對(duì)特定情況且主要解決機(jī)構(gòu)環(huán)路的識(shí)別問題。到目前為止，沒有一種具體的方法能得到平面六桿機(jī)構(gòu)所有分支和奇異點(diǎn)以及奇異點(diǎn)處各個(gè)連桿的角度位置。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，基于Stephenson型單自由度平面六連桿機(jī)構(gòu)，提出一種識(shí)別機(jī)構(gòu)的所有分支和奇異點(diǎn)以及所有奇異點(diǎn)處各個(gè)連桿的具體位置理論方法，幫助解決了不同輸入輸出條件下機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)中所有連桿的運(yùn)動(dòng)范圍和運(yùn)動(dòng)順序問題，為實(shí)際應(yīng)用中機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的路徑規(guī)劃提供了一定的幫助。

1 平面六桿機(jī)構(gòu)的奇異點(diǎn)識(shí)別

1.1 平面四桿鏈死點(diǎn)的識(shí)別

平面四桿鏈的分析是平面六桿機(jī)構(gòu)分析的基礎(chǔ)，圖1中的兩個(gè)機(jī)構(gòu)均由四桿鏈ABCD和外雙桿組EFG組成[14]。

圖1 平面六桿機(jī)構(gòu)

如圖1所示，根據(jù)歐拉公式，四桿鏈ABCD環(huán)方程為：

a2eiθ2+a3eiθ3=a1eiθ1+a4eiθ4

(1)

將上述環(huán)方程以逆時(shí)針方向分別向X、Y軸投影，可得：

cosθ4=(a2cosθ2+a3cosθ3-a1cosα)/a4

(2)

sinθ4=(a2sinθ2+a3sinθ3-a1sinα)/a4

(3)

根據(jù)三角函數(shù)平方和公式消去θ4，方程(1)整理得：

(4)

(5)

式中：

cosθ2-2a1a2sinθ2sinα;

B1=4a2a3sinθ2-4a1a3sinα;

cosθ2-2a1a2sinθ2sinα

若要四桿機(jī)構(gòu)在某構(gòu)型條件下能正常運(yùn)動(dòng)，A1≠0時(shí)，方程(5)的判別式必須滿足：

(6)

判別式Δ1是以θ2為自變量的方程。當(dāng)Δ1=0時(shí)，表示四桿機(jī)構(gòu)處在死點(diǎn)位置；當(dāng)Δ1>0時(shí)，θ3有兩個(gè)解，與之對(duì)應(yīng)是四桿鏈的兩種構(gòu)型，通過方程(7)及方程(8)可以求出。這種死點(diǎn)判別方法只基于輸入輸出關(guān)系。由方程(6)，可通過輸入角θ2得輸出角θ3：

(7)

(8)

1.2 二級(jí)桿組對(duì)平面六桿機(jī)構(gòu)的影響

(a) 極限位置1

(b) 極限位置2

(c) 極限位置3圖2 平面六桿機(jī)構(gòu)的3種極限位置

當(dāng)平面六桿機(jī)構(gòu)處于正常運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，外五環(huán)ABEFG可列歐拉方程:

a2eiθ2+a9ei(θ3+β)=a7+a5eiθ5+a6eiθ6

(9)

將上述方程分別向X、Y軸投影，并消去θ5可得三個(gè)角度(θ2、θ3、θ6)之間的相關(guān)關(guān)系，利用半角公式x5=tan(θ5/2)，得到關(guān)于x5的一元二次方程：

(10)

通過方程(10)，可得：

其中:

θ5[1]=2arctan(x5[1])

(11)

(12)

同樣，根據(jù)外五環(huán)歐拉環(huán)方程，可得θ6。

當(dāng)平面六桿機(jī)構(gòu)中外雙桿組處于極限位置時(shí)，會(huì)限制原平面六桿機(jī)構(gòu)中的構(gòu)成部分，也就是平面四桿鏈的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面六桿鏈處于極限位置1時(shí)，即二級(jí)桿組處于拉伸狀態(tài)時(shí)，其環(huán)方程為：

a2eiθ2+a9ei(θ3+β)=a7+(a5+a6)eiθ6

(13)

消去θ6，可得：

[a2cosθ2+a9cos(θ3+β)-a7]2+
[a2sinθ2+a9sin(θ3+β)]2-(a5+a6)2=0

(14)

同樣，平面六桿機(jī)構(gòu)處于另兩種極限位置2、3時(shí)，即二級(jí)桿組處于重疊狀態(tài)時(shí)，其歐拉方程為：

a2eiθ2+a9ei(θ3+β)=a7+|a5-a6|eiθ6

(15)

經(jīng)過三角消元后可得：

(16)

EG兩點(diǎn)距離為：

(17)

2 輸入輸出關(guān)系識(shí)別

上述情況將Stephenson型單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)分為四桿鏈以及二級(jí)桿組，分別解釋了其對(duì)平面六桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的抑制作用。由于將機(jī)構(gòu)拆分，整個(gè)機(jī)構(gòu)的分支識(shí)別以及輸入輸出關(guān)系識(shí)別可分為兩種情況：①輸入輸出角同在四環(huán)鏈；②輸入輸出角不同在四環(huán)鏈。

2.1 輸入角及輸出角同在四環(huán)鏈ABCD

當(dāng)四桿鏈處于正常運(yùn)動(dòng)時(shí)無死點(diǎn)限制時(shí)，機(jī)構(gòu)在此兩極限的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，是可以完全旋轉(zhuǎn)的。聯(lián)立方程(4)、方程(14)及方程(16)可得輸入角及輸出角在四環(huán)鏈時(shí)，Stephenson型單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)的有效分支。

在此情況中，可得θ2、θ3、θ4兩兩之間的相關(guān)關(guān)系。如圖3所示，是圖1所示某Stephenson型單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)的θ2-θ3的分支曲線，其中曲線1是方程(14)所示的極限位置曲線，即二級(jí)桿組處于圖2a所示的拉伸狀態(tài)；曲線2是方程(16)所示的極限位置曲線，即二級(jí)桿組處于圖2b或圖2c所示的拉伸狀態(tài)；曲線3是方程(4)所示的四桿鏈輸入輸出分支。圖3中，曲線3與曲線2有6個(gè)交點(diǎn)，與曲線1沒有交點(diǎn)。這6個(gè)交點(diǎn)將平面六連桿的運(yùn)動(dòng)曲線分成1-2、3-4、5-6三個(gè)有效運(yùn)動(dòng)部分，曲線上的每一點(diǎn)表示θ2、θ3的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過圖3及極限位置交點(diǎn)，可以得到平面六桿機(jī)構(gòu)的分支和每個(gè)分支的運(yùn)動(dòng)范圍和分支的運(yùn)動(dòng)順序。根據(jù)方程(6)，可得四桿鏈的死點(diǎn)m、n，其中m在有效分支3-4中，n在有效分支1-2中，因此四桿鏈死點(diǎn)m、n均有效。

圖3 θ2-θ3輸入輸出曲線圖

2.2 輸入角及輸出角不同在四環(huán)鏈ABCD

上述分析過程中通過消元法消掉θ5及θ6，而當(dāng)輸入角或輸出角不在四環(huán)鏈時(shí)，需消去其他無關(guān)角。如當(dāng)以θ6為輸入角，θ2為輸出角時(shí)，在外五環(huán)ABEFG中，建立歐拉環(huán)方程，消去θ5，可得θ2、θ3及θ6之間的相關(guān)關(guān)系，在此形式下，聯(lián)立方程(5)、方程(10)，采用Sylvester消元法，建立6階方陣：

(18)

(19)

再利用半角公式，令x6=tan(θ6/2)，x2=tan(θ6/2)，帶入方程(17)，可得：

(20)

當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)處于分支點(diǎn)位置時(shí)，以θ6為自變量，θ2為因變量時(shí)，方程(18)的判別式必須滿足：

Δf=N(x6)/M(x6)≥0

(21)

其中，N(x6)=0、M(x6)≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于分支點(diǎn)位置。如圖4所示，為圖1所示某Stephenson型單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)的θ2-θ6的輸入輸出關(guān)系曲線，圖3與圖4機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)一致，雖然輸入輸出變化了，但機(jī)構(gòu)仍然是6個(gè)分支點(diǎn)，根據(jù)圖4，也可判別機(jī)構(gòu)的3個(gè)分支:1-2、3-4、5-6。

圖4 θ2-θ6輸入輸出曲線圖

同樣，以θ2為輸入角，θ5為輸出角時(shí)，以上述方法消去θ6，可得θ2-θ5輸入輸出關(guān)系曲線。根據(jù)上述理論分析，得到了以不同輸入輸出為基礎(chǔ)的各個(gè)角度的輸入輸出曲線圖。

3 機(jī)構(gòu)分支及奇異點(diǎn)判斷實(shí)例

如圖1所示的平面六桿機(jī)構(gòu)，其尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 平面六桿機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)

根據(jù)實(shí)例中平面六桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，可得當(dāng)輸入角及輸出角同在四環(huán)鏈內(nèi)時(shí)，兩兩之間的輸入輸出關(guān)系。如圖5所示，是實(shí)例中平面六桿機(jī)構(gòu)θ2-θ4輸入輸出關(guān)系曲線。根據(jù)2.1節(jié)分析過程，曲線3與曲線1、2分別交于12個(gè)點(diǎn)交點(diǎn)，其將平面六桿的運(yùn)動(dòng)曲線分成1-2、3-4、5-6、7-8、9-10、11-12六個(gè)有效運(yùn)動(dòng)部分。其中，1、4、5、8、9、12點(diǎn)表示二級(jí)桿組處于重疊狀態(tài)；而2、3、6、7、10、11點(diǎn)位置表示二級(jí)桿組處于拉伸狀態(tài)。

圖5 θ2-θ4輸入輸出曲線圖

如圖6所示，是θ2-θ5輸入輸出關(guān)系曲線，其輸入輸出不同時(shí)在四環(huán)鏈，首先根據(jù)方程(5)及方程(10)，得到6階方陣，進(jìn)而根據(jù)方程(19)，可得兩者之間的關(guān)系。

圖6 θ2-θ5輸入輸出曲線圖

在兩兩連桿輸入輸出關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程(7)、方程(8)及方程(11)、方程(12)，得到二級(jí)桿組處于極限位置時(shí)，各個(gè)連桿的角度，如表2所示。表2中各個(gè)分支點(diǎn)與圖5及圖6中所示的分支點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。以θ2為例，可知，在機(jī)構(gòu)的一個(gè)輪回運(yùn)動(dòng)中，12個(gè)分支點(diǎn)將機(jī)構(gòu)分成6個(gè)可行運(yùn)動(dòng)域，根據(jù)圖5可知以θ2為輸入角時(shí)機(jī)構(gòu)的分支運(yùn)動(dòng)順序，并且，6個(gè)分支θ2的運(yùn)動(dòng)范圍分別是：-12.29°～9.36°、0.22°～24.61°、42.92°～74.44°、97.30°～127.14°、233.46°～263.17°、279.26°～283.08°。同理，可得到其余各桿在各個(gè)分支的運(yùn)動(dòng)范圍。

表2 二級(jí)桿組處于極限位置

當(dāng)Δ1=0時(shí)，四桿鏈處于極限位置,根據(jù)方程(6)可得可得四桿鏈的兩個(gè)死點(diǎn)位置，其中m點(diǎn)處θ2的角度為283.23°、n點(diǎn)處θ2的角度為-13.39°。如圖5所示，n點(diǎn)屬于1-2有效運(yùn)動(dòng)部分，而m點(diǎn)不屬于任何有效部分，因此m點(diǎn)不為整個(gè)六桿機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)。當(dāng)六桿機(jī)構(gòu)處于n點(diǎn)處，根據(jù)方程(11)、方程(12)，θ5有兩個(gè)解，也就是此時(shí)二級(jí)桿組EFG有兩種不同的構(gòu)型，如表3所示，當(dāng)四桿鏈處于死點(diǎn)位置時(shí)，各個(gè)連桿的角度。

表3 四桿鏈死點(diǎn)

綜上可知，在此機(jī)構(gòu)參數(shù)下，根據(jù)提出的理論方法，分別得到輸入輸出(θ2、θ4)同在四環(huán)鏈的輸入輸出關(guān)系曲線圖，輸入輸出(θ2、θ5)不同在四環(huán)鏈輸入輸出關(guān)系曲線圖。兩圖相對(duì)應(yīng)，都能得到平面六桿機(jī)構(gòu)的6個(gè)分支以及12個(gè)分支點(diǎn)，說明機(jī)構(gòu)的分支個(gè)數(shù)在一定參數(shù)下是確定的，不隨機(jī)構(gòu)的輸入輸出而改變，但機(jī)構(gòu)的分支特性跟隨機(jī)構(gòu)的輸入輸出改變而改變。另外，對(duì)四桿鏈ABCD進(jìn)行分析，可得機(jī)構(gòu)在有效分支中的死點(diǎn)n兩種不同的構(gòu)型下，機(jī)構(gòu)的各個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)角度，由表3可知，兩種構(gòu)型下，θ2、θ3、θ4角度不變，也就是說，此死點(diǎn)處，四桿鏈的構(gòu)型不變，根據(jù)θ5、θ6的變化，表明此死點(diǎn)處二級(jí)桿組的構(gòu)型是變化的?？傮w來說，此方法可準(zhǔn)確得到平面六桿機(jī)構(gòu)的所有分支、奇異點(diǎn)以及奇異點(diǎn)處所有連桿的位置。

4 結(jié)論

(1)建立歐拉環(huán)方程，對(duì)平面四桿鏈進(jìn)行了識(shí)別，提出一種簡單可行的方法對(duì)平面四桿鏈的死點(diǎn)進(jìn)行了識(shí)別，并對(duì)五環(huán)鏈建立了歐拉方程，得到當(dāng)五桿鏈處于極限位置時(shí)的環(huán)方程，將兩環(huán)相結(jié)合，可迅速得到平面六連桿機(jī)構(gòu)分支及抑制運(yùn)動(dòng)的分支點(diǎn)；

(2)利用Sylvester消元法，對(duì)兩種不同條件下的平面六桿機(jī)構(gòu)輸入輸出進(jìn)行了識(shí)別，證明了機(jī)構(gòu)的分支點(diǎn)位置以及分支是確定的，不隨機(jī)構(gòu)的輸入輸出的改變而改變，同時(shí)，根據(jù)分支識(shí)別圖和極限位置點(diǎn)可得到整個(gè)機(jī)構(gòu)各個(gè)分支的運(yùn)動(dòng)順序及各個(gè)分支中各個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)范圍；

(3)通過實(shí)例檢驗(yàn)，得到平面六桿機(jī)構(gòu)的所有奇異點(diǎn)以及奇異點(diǎn)處連桿的具體角度位置，證明了該方法的正確性和有效性，為進(jìn)一步研究同類型的平面多桿機(jī)構(gòu)提供了一定的理論依據(jù)，有助于探討平面多桿機(jī)構(gòu)研究的一般方法研究。

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(編輯 李秀敏)

The Branch Identification of Planar Six-bar Linkages Based on Eulier’s Formula and Elimination Method

WANG Jun，GONG Ya-jing，WANG Quan，REN Jun，YANG Zhi-yong

(Center for Robotics Research, School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China)

Singularity and branch are the important indexes to study the motion continuity of one-DOF planar six-bar linkages. This paper presents a theoretical method for the analysis of single-degree-of freedom Stephenson planar six-bar linkages. Firstly, based on Eulier’s formula, trigonometric polynomial and polynomial discriminant, this paper proposes a method to identify all branches and singularities of planar six-bar linkages. Secondly, with Sylvester’s elimination method, the input and output curves are obtained. Finally, an example is given to demonstrate this method. The results reveal that this method can accurately get all the feasible motion field and all angles of planar six-bar linkages at the singular positions. This method provides a simple and effective way for the design of planar six-bar linkages.

planar six-bar linkage; branches; singularities; Sylvester elimination method

1001-2265(2017)07-0077-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.018

2017-03-14；

2017-03-21

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51405140)；湖北省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2015CFA112)；湖北省教育廳優(yōu)秀中青年科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(T201505)

王君(1977—)，男，湖北蘄春人，湖北工業(yè)大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)及機(jī)器人技術(shù)，(E-mail)junwang@mail.hbut.edu.cn。

TH112.1;TG659

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