徐建東

[摘 要] “問題是數(shù)學(xué)的心臟”，弗賴登塔爾說過：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)‘數(shù)學(xué)化.” 課本上的過分“成熟”的題目使學(xué)生跳過了“數(shù)學(xué)化”的過程，不利于全面地培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中“提出問題的意識”幾乎被忽略，導(dǎo)致學(xué)生只會被動地做題，而不會主動地提出問題. 學(xué)生認為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)會解題，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得枯燥無味. 如果我們在教學(xué)中能把“數(shù)學(xué)問題”還原為“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，可以讓學(xué)生從“數(shù)學(xué)事實”開始，先自己“提出問題”，然后再“解決問題”，讓他們深度地參與“數(shù)學(xué)活動”，增強“數(shù)學(xué)體驗”，促進領(lǐng)悟與反思.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)現(xiàn)象；問題意識；自主探究

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，弗賴登塔爾說過：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)‘數(shù)學(xué)化. ”課本上的絕大多數(shù)數(shù)學(xué)題都把問題給定了，這種過分“成熟”的題目使學(xué)生跳過了“數(shù)學(xué)化”的過程，不利于全面地培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中“提出問題的意識”幾乎被忽略，導(dǎo)致學(xué)生只會被動地做題，而不會主動地提出問題. 久而久之，學(xué)生認為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)會解題，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得枯燥無味. 如果我們在教學(xué)中能把“數(shù)學(xué)問題”還原為“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，可以讓學(xué)生從“數(shù)學(xué)事實”開始，先自己“提出問題”然后再“解決問題”，讓他們深度地參與“數(shù)學(xué)活動”，增強“數(shù)學(xué)體驗”，促進領(lǐng)悟與反思.

筆者結(jié)合高三專題復(fù)習(xí)教學(xué)，嘗試用“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”啟發(fā)學(xué)生“問題意識”的所思所悟整理成文，與同行交流.

概念界定

1. 數(shù)學(xué)現(xiàn)象

把客觀事實呈現(xiàn)給學(xué)生，讓他們用數(shù)學(xué)的觀點進行觀察和探究，這個事實就成了學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 這里的“客觀事實”可以是生活中的事實，也可以是數(shù)學(xué)中的事實，也可以是為了教學(xué)而虛構(gòu)的事實，但其中的數(shù)學(xué)問題是隱含的而不是外顯的，其中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是符合學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的. 總之，在數(shù)學(xué)化之前的那個素材，就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象.

2. 問題意識

指問題成為感知和思維的對象，從而在心里造成一種懸而未決但又必須解決的一種心理狀態(tài). 本文中的“問題意識”是指學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光，從所給現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、進行描述以及用數(shù)學(xué)方法解決和評價的心理趨向.

課堂摘錄

引例：（南京市、鹽城市2015屆高三第一次模擬考試卷第13題）已知函數(shù)f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，當x∈（0，2]時， f（x）=2x-1，函數(shù)g（x）=x2-2x+m，如果對任意的x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]使得f（x1）=g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

教師：我們有沒有處理過此類問題的經(jīng)歷？通過這種經(jīng)歷我們是否已積累了一定的經(jīng)驗？

學(xué)生：之前經(jīng)歷過的，基本的經(jīng)驗是分析兩個函數(shù)在各自指定區(qū)域內(nèi)的值域間的關(guān)系.

教師：那么我們不妨記函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域為Df，函數(shù)g（x）在[-2，2]上的值域為Dg，下一步應(yīng)該如何處理？

學(xué)生：應(yīng)該只要滿足Df？哿Dg.

教師：不錯，我們的判斷是正確的！但是為什么是這個結(jié)論呢？能分析得更詳細一點嗎？

學(xué)生：原題等價于，對于Df中的任意的函數(shù)值f（x1），在Dg中必定能找到一個值g（x2），滿足f（x1）=g（x2），也即Df？哿Dg.

教師：大家聽明白了嗎？分析得非常好！下面請大家將此題解答完整. （學(xué)生解答，教師巡視并作個別輔導(dǎo)）

解答：因為x∈（0，2]時， f（x）=2x-1為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當x∈（0，2]時， f（x）=2x-1∈（0，3].

又因為f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，所以當x∈[-2，2]時， f（x）∈[-3，3]，即Df=[-3，3].

因為g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，又x∈[-2，2]，

所以g（x）∈[m-1，m+8]，即Dg=[m-1，m+8].

因為對任意的x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]使得f（x1）=g（x2），

所以m-1≤-3，m+8≥3？圯-5≤m≤-2.

教師：通過大家的努力，此問題得以順利解決. 但是解決這個問題并不是我們的目的，我們要以此問題為載體，通過對它的解決，掌握與此相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法；通過對本問題的研究，進一步得到解決此類問題的一般性方法，將來面對此類問題，我們都能解決它們了.

教師：請同學(xué)們結(jié)合本題，嘗試歸納一個一般性的結(jié)論.

學(xué)生：（結(jié)論1）記函數(shù)f（x）在D1上的值域為Df，函數(shù)g（x）在D2上的值域為Dg，如果對任意的x1∈D1，總存在x2∈D2使得f（x1）=g（x2），則有Df？哿Dg.

教師：很好，我們得到了一個一般性的結(jié)論，那么我們能否對上題作適當?shù)淖兓?，形成新問題，嘗試解決并歸納出一般性的結(jié)論呢？我們學(xué)生可以分成提問組和解答組，提問組的同學(xué)將原問題進行改編，解答組的同學(xué)負責解答，解答完后提問組可以作點評，之后兩組協(xié)助歸納出一般性的結(jié)論.

學(xué)生自行分組，進入探究過程，發(fā)言踴躍，通過整理、歸納，得到了如下的變題：

已知函數(shù)f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，當x∈（0，2]時， f（x）=2x-1，函數(shù)g（x）=x2-2x+m，

變題1：對任意x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題2：對任意x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]，使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題3：存在x1∈[-2，2]，對任意x2∈[-2，2]，都有f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題4：存在x1∈[-2，2]，對任意x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題5：對任意x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題6：對任意x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題7：存在x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

變題8：存在x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)m的取值范圍.

師生通過對上述變題的一一解答，并作一般性的歸納，整理后摘錄如下：

記函數(shù)f（x）在D1上的值域為Df，函數(shù)g（x）在D2上的值域為Dg，

結(jié)論2：對任意x1∈D1，總存在x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），則有f（x）min≥g（x）min.

結(jié)論3：對任意x1∈D1，總存在x2∈D2，使f（x1）≤g（x2），則有f（x）max≤g（x）max.

結(jié)論4：對任意x1∈D1，任意x2∈D2，都有f（x1）≥g（x2），則有f（x）min≥g（x）max.

結(jié)論5：對任意x1∈D1，任意x2∈D2，都有f（x1）≤g（x2），則有f（x）max≤g（x）min.

結(jié)論6：對任意x1∈（D1∩D2），都有f（x1）≥g（x1），則有（f（x）-g（x））min≥0.

結(jié)論7：對任意x1∈（D1∩D2），都有f（x1）≤g（x1），則有（f（x）-g（x））max≤0.

結(jié)論8：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2），則有Df∩Dg≠ .

結(jié)論9：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2），則有f（x）max≥g（x）min.

結(jié)論10：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≤g（x2），則有f（x）min≤g（x）max.

結(jié)論11：存在x1∈D1，使得f（x1）=m，則有m∈Df.

結(jié)論12：存在x1∈D1，使得f（x1）≥m，則有m≤f（x）max.

結(jié)論13：存在x1∈D1，使得f（x1）≤m，則有m≥f（x）min.

以上結(jié)論都是在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下由學(xué)生群體自行歸納整理出來的，對學(xué)生來講本堂課收獲頗豐，在學(xué)生積極主動的參與過程中并沒有感到結(jié)論的突兀、學(xué)習(xí)的無味，相反學(xué)生的思維活躍、發(fā)言踴躍，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的很多結(jié)論其實我們都可以自行探究得到，數(shù)學(xué)并沒有這么枯燥！

對教學(xué)的思考與感悟

教學(xué)中要重視問題意識的培養(yǎng)，汪秉彝教授說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)要不斷喚起學(xué)生的好奇心、質(zhì)疑、批判和探究的意識，恰當?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生提出問題，并以問題驅(qū)動教學(xué). ”所以要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的解構(gòu)或重組；要讓他們有充分自主的時間和空間，以顯現(xiàn)他們的獨創(chuàng)性，促進其創(chuàng)新意識的養(yǎng)成；在喚醒他們的問題意識以后，他們所進行的數(shù)學(xué)活動往往就是數(shù)學(xué)化和在數(shù)學(xué)內(nèi)的求解，其中有探究精神的培養(yǎng)，也有雙基的體現(xiàn)，都應(yīng)當由他們自主或協(xié)作完成. 不到他們“山窮水盡”之時，教師不可越俎代庖.

“問題意識”一定是學(xué)生自己產(chǎn)生的，而不是教師告知的. 教師所能做的事情就是提供一個合適的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，以作為學(xué)生活動的起點. 因此，準確地理解什么是“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，準確地發(fā)現(xiàn)及向?qū)W生提供“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，是對教師的基本要求. 從目前“問題教學(xué)”和“情境教學(xué)”的大環(huán)境來看，教師已經(jīng)有很好的基礎(chǔ)，但是也需要一些新思路. 因此，這也是向教師提出了一個非常高的要求.