楊鋒

[摘? 要] 布魯納曾說任何知識(shí)都可以一定方式教給任何年齡段的兒童，這句教育名言，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了體現(xiàn). 原本應(yīng)當(dāng)作為大學(xué)高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，已在高中階段走過了十個(gè)年頭. 導(dǎo)數(shù)教學(xué)的成功，給我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了一定的啟示. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)可以用一定方式教給學(xué)生“上層”的數(shù)學(xué)內(nèi)容，以幫助高中學(xué)生開拓解題視野，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并對(duì)未來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)工作.

[關(guān)鍵詞] 內(nèi)容下移;教學(xué)方向;教學(xué)反思;導(dǎo)數(shù)

早些年讀美國大教育家布魯納的《教育過程》一書時(shí)，對(duì)于他書中提出“任何知識(shí)都可以一定方式教給任何年齡段的兒童”相當(dāng)不理解. 怎么可能讓一個(gè)小孩能理解函數(shù)甚至是微積分的知識(shí)呢？直到高中數(shù)學(xué)中有導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)后，通過教學(xué)筆者終于明白，布魯納所謂的“任何知識(shí)可以教給任何年齡段的兒童”這句話的關(guān)鍵在于“以一定的方式”. 通過對(duì)高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)過程的反思，我們提出內(nèi)容下移：數(shù)學(xué)教學(xué)的一種可行方向.

內(nèi)容下移：源自于導(dǎo)數(shù)教學(xué)成功推行的啟示

導(dǎo)數(shù)內(nèi)容原本是作為高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，供大學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使用，然而隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展，它逐步下移作為高中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容. 它的下移，為我們對(duì)高等數(shù)學(xué)中的其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行下移教學(xué)提供了啟示.

雖然導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容自上世紀(jì)末就已經(jīng)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中了，但當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)部分僅是學(xué)生自學(xué)閱讀的材料，而不作為高考的考點(diǎn). 所以在這段時(shí)間中，只能算作導(dǎo)數(shù)下移的嘗試階段. 直至2008年開始，導(dǎo)數(shù)正式奠定其高考必考知識(shí)點(diǎn)的地位，才算導(dǎo)數(shù)下移教學(xué)真正實(shí)施階段.高等數(shù)學(xué)中對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義是“設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，若自變量在x0處取增量Δx時(shí)，y取對(duì)應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）;按照高等數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯，導(dǎo)數(shù)的講解是必須建立在極限概念的基礎(chǔ)上. 然而，極限概念的完整定義對(duì)于高中學(xué)生而言，顯然不在他們的最近發(fā)展區(qū)內(nèi). 這并不意味著在高中階段就不能進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的下移教學(xué)，十年的教學(xué)歷程，充分表明高中階段的學(xué)生完全有能力接受導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容. 只不過我們并不是以高等數(shù)學(xué)中的極限作為導(dǎo)數(shù)教學(xué)的切入口，而是用學(xué)生生活中經(jīng)常遇到的平均變化率為跳板，向瞬時(shí)變化率過渡，逐步地向?qū)W生展示了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì). 其實(shí)，在由平均變化率向瞬時(shí)變化率過渡的過程中所用逼近思想就是一種具有通俗意義的、能夠直觀觀察到的極限，也許這樣的教學(xué)安排，淡化了所謂定義的嚴(yán)密性，但它并沒有背離導(dǎo)數(shù)原有的意義，而是一種直觀和通俗的，能夠讓學(xué)生理解講法表達(dá)導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).

這或許就印證了布魯納所說的那句名言“任何知識(shí)都能以一定的方式去教給任何年齡段的學(xué)生.”恰恰也是十年導(dǎo)數(shù)教學(xué)的成功，給我們數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了啟示. 高等數(shù)學(xué)中的那些種種復(fù)雜的內(nèi)容是否都能換一種面貌與高中的學(xué)生“見面”呢？這些能夠換個(gè)面貌與高中學(xué)生見面的數(shù)學(xué)知識(shí)是否有沒有必要都講呢？以布魯納的教育理論為依據(jù)，我們認(rèn)為高等數(shù)學(xué)中的很多復(fù)雜數(shù)學(xué)內(nèi)容都可以用一定的形式來講給高中學(xué)生，但由于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容有其固有的范圍限制，所以我們所選取的“上層”數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)以能夠服務(wù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)為依據(jù).

案例枚舉：數(shù)學(xué)課堂中常見“內(nèi)容下移”教學(xué)

高中數(shù)學(xué)課堂講解“上層”數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)當(dāng)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，以此為標(biāo)準(zhǔn)筆者在數(shù)學(xué)課堂經(jīng)常會(huì)講如下的“上層”知識(shí).

“內(nèi)容下移”數(shù)學(xué)教學(xué)的反思

導(dǎo)數(shù)在高中階段的成功教學(xué)，為我們的內(nèi)容下移教學(xué)提供啟示，然而，在進(jìn)行內(nèi)容下移教學(xué)的過程中，需要我們教師依照一切選擇都以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展服務(wù)為標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)在講解的時(shí)候不能完全按照高等數(shù)學(xué)中的原樣表述，而應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)馗膿Q形式進(jìn)行教學(xué).

首先，進(jìn)行內(nèi)容下移教學(xué)應(yīng)當(dāng)以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展服務(wù)為標(biāo)準(zhǔn). 眾所周知數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)，然而為了更好地發(fā)展學(xué)生的這六大素養(yǎng)，選擇一定上層知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)是有必要的，因?yàn)檫@些上層知識(shí)需要學(xué)生更高水平的數(shù)學(xué)思維，然而選擇應(yīng)當(dāng)有一定的限度，并不是所有的上層數(shù)學(xué)知識(shí)都可以進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課堂. 我們的選擇應(yīng)當(dāng)是與高中數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)聯(lián)的，并且在學(xué)生所能夠接受的范圍內(nèi)的知識(shí).倘若選擇的知識(shí)是與高中數(shù)學(xué)知識(shí)無關(guān)的，那就無從談起下移教學(xué)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)了;倘若選擇的知識(shí)不在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，則學(xué)生是無法理解的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力自然也不可能實(shí)現(xiàn).

其次，對(duì)選擇的內(nèi)容要做適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)變，從而幫助學(xué)生去理解，為后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 例如，上述三個(gè)案例中我們直接敘述極限、內(nèi)積與范數(shù)及仿射變換的定義，顯然以高中階段學(xué)生的知識(shí)背景是無法理解的. 如果不改變其形式，也就失去了我們進(jìn)行內(nèi)容下移教學(xué)的初衷——為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，為學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展服務(wù). 正如我們導(dǎo)數(shù)的教學(xué)一樣，我們并不是將導(dǎo)數(shù)教學(xué)的基礎(chǔ)建立在極限的基礎(chǔ)上，而是用變化率作為橋梁，以趨向于的字眼讓學(xué)生去體會(huì)導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，在這樣的過程中學(xué)生能夠直接體會(huì)逼近思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.有了這樣的數(shù)學(xué)思想作為基礎(chǔ)，在后繼高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，遇到極限概念時(shí)，學(xué)生就不會(huì)感到突兀，感到難以接受了.