楊熠

摘要：“幾何直觀”和“數(shù)感”雖是兩個不同領域的內容，但“幾何直觀”具有直觀的形象，可以解決抽象性的“數(shù)感”問題。教師可從“理解數(shù)的意義、把握數(shù)的大小、辨析運算定律、明晰數(shù)量關系”等四個方面利用“幾何直觀”培養(yǎng)學生數(shù)感。通過降低學生的思維難度，減少數(shù)學的抽象性，給學生提供一條更為明晰的思維路徑。

關鍵詞：小學數(shù)學；幾何直觀；數(shù)感；培養(yǎng)

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）25-0027-04

“數(shù)感”是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的十大核心關鍵詞之一，主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。眾多學者一致認為“數(shù)感”是一種直觀的感悟。史寧中教授認為：“數(shù)感是對數(shù)的感悟，它表現(xiàn)為對量與數(shù)的一種直觀能力?！闭矅颊J為：“狹義的數(shù)感就是數(shù)字感，即人腦對于數(shù)字或數(shù)字運算定律的直覺；廣義的數(shù)感就是數(shù)學感，即人腦對于數(shù)學對象的直覺?！比~蓓蓓認為：“數(shù)感是一種關于數(shù)字的直覺”。

數(shù)是對數(shù)量的抽象。數(shù)的意義、大小、運算、數(shù)量關系等都相對抽象，要培養(yǎng)直觀的“數(shù)感”，就需要通過直觀的手段。史寧中教授指出：“在教學中，要為學生提供豐富的情景，引導學生通過觀察，感悟量的多少，促進學生數(shù)感的發(fā)展?！?/p>

“幾何直觀”和“數(shù)感”雖是兩個不同領域的內容，但如果能利用圖形把抽象的數(shù)直觀地表示出來，搭建通往“數(shù)感”的橋梁，就能化抽象為形象，加深學生對數(shù)的理解和感悟。更重要的是，幾何圖形的直觀性能幫助學生在腦中建立起相關的模型，促使學生在以后遇到類似問題時能自覺地利用圖形進行思考，達到“學生自覺地感悟（或意識）”。本文將從“理解數(shù)的意義”“把握數(shù)的大小”“辨析運算定律”“明晰數(shù)量關系”等四個方面人手，闡述如何借助幾何直觀，培養(yǎng)學生數(shù)感。

一、借助直觀圖形，理解數(shù)的意義

理解數(shù)的意義是“數(shù)感”的主要表現(xiàn)，也是數(shù)學教學的重要任務?！读x務教育數(shù)學課程標準》在不同學段都提出了“理解數(shù)的意義”的目標，如第一學段提出：“經歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內數(shù)的意義”；第二學段提出：“理解分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的意義，了解負數(shù)的意義”等。數(shù)的意義本身是抽象的，學習時需要給學生提供具體的可供感知的素材。但隨著數(shù)的范圍的擴大，數(shù)與具體事物的對應會變得困難，影響學生對數(shù)的意義理解。

生活中的“數(shù)”總是和“量”緊密相連，不同的量會帶給學生不同的感受。如“1000”，1000粒大米和1000顆黃豆對學生造成的感覺是不一樣的。幾何圖形，正可以擺脫“量”的羈絆，讓學生把注意力更多的集中到“數(shù)”的層面。

教學中可以借助立方體來說明“一千”，借助直觀圖形，讓學生理解“千”作為計數(shù)單位和“個（一）、十、百”之間的關系，感受計數(shù)單位之間“滿十進一”的十進制計數(shù)法；并通過觀察1000與500、200、100之間的聯(lián)系，最小四位數(shù)和最大三位數(shù)之間的聯(lián)系等，幫助學生從多個角度理解“1000"，培養(yǎng)學生的數(shù)感。

（一）理解千與“百、十、個（一）”的關系

1.結合圖形（圖1）數(shù)數(shù)：一個一個數(shù)，10個一是十；十個十個數(shù)，10個十是一百；一百一百數(shù)，10個一百是一千。

2.師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是十個十個的。

生：10個一是十，10個十是一百，10個一百是一千。

生：都是10倍的。

生：……

（二）多角度理解“1000”

1.從1000里面去掉一層，還剩多少？再去掉100呢？……一直到去掉5個一百，還剩幾百？一千里面有幾個五百？……1000里面有幾個2007有幾個1007（圖2-a、2-b、2-c）

2.1000去掉1后還有多少？（圖2-d）（生：999）溝通“最小四位數(shù)和最大三位數(shù)”。請學生指出哪里是900，哪里是90，哪里是9。如果把這個“1”放回去，第一排9個加1個就滿十；這個十加上90就是100，100加上900就是一千。讓學生體會“滿十進一”。

當數(shù)的范圍擴大后，借助直觀圖形，對數(shù)進行分解與組合，用不同方法思考數(shù)、表示數(shù)，能加深學生對數(shù)的意義的理解。

二、結合直觀演示，把握數(shù)的大小

史寧中教授指出：數(shù)的關系的本質是數(shù)的大小。在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關系，不僅是理解數(shù)概念的需要，同時也會加深學生對數(shù)的實際意義的理解。結合直觀演示，動態(tài)展示“數(shù)”的形成及大小關系，能促進學生把握數(shù)的大小。

如“分數(shù)”，它既表示部分與整體之間的關系，又表示一個數(shù)。在教學“分數(shù)的意義”時，可以借助長方形和線段輔助教學，把“數(shù)”在“形”的一一對應中找出來，理解數(shù)的意義和大小。

（一）把一個長方形平均分成2份，每份就是這個長方形的1/2.

（二）把一個長方形平均分成3份，每份就是這個長方形的1/3.

……

這樣不但幫助學生理解了分數(shù)的意義，還能讓學生直觀地感受到分數(shù)的大小。接著再深入一步，把分數(shù)在數(shù)軸上表示出來，形成完整的數(shù)的序列。

（三）如下圖（圖3-a、圖3-b、圖3-c、圖3-d）一個長方形就代表1，2個長方形就代表2，三個長方形就代表3.

1.

2.加上數(shù)字：

3.讓學生在圖中找到1/2和1/3。

（四）把長方形逐漸壓縮，成為一條線，形成數(shù)軸，構建數(shù)的體系。

（五）讓學生找一找1/4在哪里，再思考，1/10可能在哪里？

數(shù)字之間的關聯(lián)與順序是數(shù)感的重要體現(xiàn)。通過“數(shù)”與線段上點的對應，結合直觀演示，完整的數(shù)序列就直觀地呈現(xiàn)在學生的面前了，掃清了對數(shù)大小理解的障礙，還為后續(xù)的學習及大小比較等做了鋪墊。endprint

三、依托圖形表征，辨析運算定律

運算定律是在抽象的數(shù)的基礎上對數(shù)之間關系的再抽象，運算律的運用是數(shù)感形成的標志。靈活分辨和運用運算定律，對學生來說是一件困難的事。究其原因，在于沒有一種形象直觀的表征方式能讓學生體會不同運算定律之間的區(qū)別。對運算定律進行圖形表征，讓學生在應用時能自覺地在腦中產生相對應的圖形模型，有助于加強學生對運算定律意義的理解，正確辨析。

如乘法結合律與乘法分配律，可以這樣教學：

（一）把4個長25、寬7的長方形排成一排，組成的大長方形的面積是多少？請先畫圖，再列式說明。（得到兩種圖形：圖4-a和圖4-b）

得到4×25×7或25×（4×7）

比較：哪種方法計算時更簡便？

（二）兩個分別是長25寬4，長7寬4的長方形組成一個大長方形，大長方形的面積是多少？請畫出示意圖（圖5），并列式計算，得到25×4+7×4或（25+7）×4.

（三）比較兩道題目和圖形，有什么發(fā)現(xiàn)？讓學生理解乘法結合律相當于求若干個相同長方形的總面積，乘法分配率相當于求由兩個一邊相等的小長方形組成的大長方形的面積。

（四）試著用圖形語言去解釋算式：63×25+37×25，63×37×25.比較這兩個算式的區(qū)別。

通過聯(lián)系、溝通圖形表征與算式表征，幫助學生深入理解運算定律，產生自覺利用圖形進行辨析的意識，大大減少了兩者混淆的情況。

四、建立直觀模型。明晰數(shù)量關系

數(shù)學的“解決問題”是對生活現(xiàn)象的高度抽象，抽象的數(shù)量關系導致學生在理解上的困難。

現(xiàn)行小學數(shù)學教材弱化了數(shù)量關系的教學，要求學生在具體的問題情境中去探索、去發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關系。這固然可以起到避免思維固化與模式化的作用，但一定程度上也提高了學習難度。教學中應建立直觀模型，明確地表示出數(shù)量之間的關系，降低思維難度，獲得解決問題的方法和能力。

線段圖是“幾何直觀”應用的典范。除了線段圖，教學中還可以根據(jù)題目和學生的思維發(fā)展情況，適度借助其它幾何圖形，更好地直觀展示出題目數(shù)量之間的關系。

如“一桶水連桶共重16千克，倒掉半桶水后連桶重9千克，水和桶分別重多少千克？”。這樣的題目變換數(shù)字后，在二年級到六年級都會出現(xiàn)。對于低年級學生來說，難度較大，即便是加上線段圖的輔助都還比較抽象。我在教學中給學生提供了如下的圖形（圖6）：

通過圖形演變，學生會發(fā)現(xiàn)16-9在解決這個問題中的作用。再讓學生列式，結合圖理解每一步算式的意思，鞏固解題方法。學生一般還能想到其它的解法：9-16÷2=1，1×2=2，16-2=14.或9×2-16=2，16-2=14.讓學生根據(jù)思路畫出圖形，把解題思路形象化，進行鞏固。

直觀圖形的使用不僅能幫助學生理解題意，解決問題，更是幫助學生建立起了解決問題的直觀模型。到了高年級，遇到類似“一桶水連桶共重17.75千克，把水倒出1/2后，重12.25千克，空桶重多少千克？”的題目，學生也能通過畫圖輕松解答了。

數(shù)學的直觀，是開啟兒童學習數(shù)學大門的鑰匙。根據(jù)教學內容，借助幾何直觀，能降低學生的思維難度，減少數(shù)學的抽象性，給學生的思維發(fā)展提供明晰的路徑。教師應深入理解幾何直觀與數(shù)感的本質，巧妙借助幾何圖形，把抽象的數(shù)的意義、大小、運算、數(shù)量關系等直觀地表示出來，幫助學生建立自覺理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識，培養(yǎng)學生數(shù)感。

【責任編輯 王悅】endprint