章瀏兵

摘 要：基于對數(shù)學(xué)教學(xué)淺表化、接受化、快餐化等教學(xué)現(xiàn)象的批判與反思，數(shù)學(xué)教學(xué)必須建構(gòu)超越表層符號學(xué)習(xí)的深度學(xué)習(xí)方式。深度學(xué)習(xí)有著較大的實(shí)踐探索空間，教師可以多維度激發(fā)、多向度建設(shè)、多方位助推，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識意義建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；應(yīng)然之道；實(shí)然之器

基于對兒童數(shù)學(xué)教與學(xué)碎片化、淺表化、接受化等教學(xué)現(xiàn)象的批判和反思，催生兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的范式轉(zhuǎn)型，數(shù)學(xué)教學(xué)必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度體驗(yàn)、深度聯(lián)結(jié)、深度應(yīng)用，這就是“深度學(xué)習(xí)”。所謂“深度”，從內(nèi)涵上講，是指觸及事物本質(zhì)、本真、關(guān)系的程度，因此，深度學(xué)習(xí)就是一種體驗(yàn)性、意義性、建構(gòu)性、理解性、本質(zhì)性、結(jié)構(gòu)性、反思性、遷移性等的學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力、思維力、想象力、遷移力等。聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“核心素養(yǎng)”，必須建構(gòu)超越表層符號的深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

一、深度學(xué)習(xí)：超越表層符號學(xué)習(xí)的應(yīng)然之道

華中師范大學(xué)郭元祥教授從知識的“符號”“邏輯”“意義”三方面論述“深度學(xué)習(xí)”。他認(rèn)為，“有效教學(xué)必須超越表層的符號教學(xué)，由符號教學(xué)走向邏輯教學(xué)和意義教學(xué)的統(tǒng)一，這種教學(xué)就是一種深度教學(xué)”。數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)常陷入這樣的“怪圈”，即知識教學(xué)止于符號表征、缺少邏輯關(guān)聯(lián)、忽視意義關(guān)懷。具體體現(xiàn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識常常是“知其然”而“不知其所以然”，沒有建構(gòu)動態(tài)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不能對知識的橫向、縱向聯(lián)系有清晰的認(rèn)知，對數(shù)學(xué)知識缺乏應(yīng)有的情意體驗(yàn)等。那么，對于學(xué)生來說，什么是“深度學(xué)習(xí)”？筆者認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)的意義有三：一是理解數(shù)學(xué)學(xué)科的知識本質(zhì)、知識聯(lián)系；二是理解數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想、方法與精神；三是形成對數(shù)學(xué)學(xué)科的基本意義、價(jià)值。

首先是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)及結(jié)構(gòu)。學(xué)生不僅理解數(shù)學(xué)知識“是什么”，而且洞察數(shù)學(xué)知識“為什么”；不僅洞悉數(shù)學(xué)知識的“源”與“流”，把握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈、前世今生，而且能主動將知識點(diǎn)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，形成數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性理解。這是一種從“知識點(diǎn)”到“知識塊”再到“知識群”的建構(gòu)過程。只有這樣，學(xué)生才能“既見樹木，更見森林”。

其次是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想、方法與精神。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，知識只是貫穿其中的明線，數(shù)學(xué)的思想、方法與精神是一條暗線，更是數(shù)學(xué)的“內(nèi)核”，具有統(tǒng)攝性、引領(lǐng)性作用。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想、方法、精神也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要標(biāo)識。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想方法有哪些呢？東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本思想有三：抽象、推理與模型?；诔橄?，教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中抽取事物共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征；基于推理，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會歸納與演繹；基于模型，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言概括或描述事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式。

再次是數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)價(jià)值和人文意義。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是形成對數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值體認(rèn)。數(shù)學(xué)既是對生活和世界的理性建構(gòu)，又是對秩序和模式的一種追求。教學(xué)中，教師要讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)：即數(shù)學(xué)不僅具備實(shí)用的工具價(jià)值（如運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題），而且具有極高的審美價(jià)值（如數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、嚴(yán)謹(jǐn)美、和諧美等），甚至還有道德價(jià)值（如數(shù)學(xué)的人格陶冶、心靈凈化等）。只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中超越了功利、超越了工具，而形成對數(shù)學(xué)之美的體認(rèn)、對數(shù)學(xué)之善的追尋時(shí)，數(shù)學(xué)才真正走進(jìn)了學(xué)生的靈魂深處。

二、深度學(xué)習(xí)：超越表層符號學(xué)習(xí)的實(shí)然之器

為了突破學(xué)生表層符號學(xué)習(xí)的“怪圈”，引領(lǐng)學(xué)生超越“淺化學(xué)習(xí)”“被動學(xué)習(xí)”，教師必須引導(dǎo)學(xué)生建立一種能夠切入學(xué)生靈魂的教學(xué)模式，這就是“深度學(xué)習(xí)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以多維度激發(fā)，盤活學(xué)生的“內(nèi)源動力”；多向度建設(shè)，把握數(shù)學(xué)的“學(xué)科本質(zhì)”；多方位助推，豐富有效的導(dǎo)學(xué)方式。

（一）多維度激發(fā)：盤活學(xué)生的“內(nèi)源動力”

深度學(xué)習(xí)是一種“內(nèi)源性學(xué)習(xí)”。教學(xué)中，教師要充分激發(fā)學(xué)生的內(nèi)源動機(jī)，給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以“良性刺激”“新異刺激”，讓學(xué)生飽含好奇心、探究心和創(chuàng)造心。教學(xué)中，教師可以運(yùn)用興趣激活、任務(wù)驅(qū)動和活動引領(lǐng)等方式。

1. 興趣激活

有學(xué)者認(rèn)為，教師在課堂上最應(yīng)該做的事情就是激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。如果學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有興趣的支持，那么學(xué)習(xí)的內(nèi)源動力就會稍縱即逝。教學(xué)中教師要活化資源、趣化探究，努力讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)好玩”。學(xué)生有了“玩好數(shù)學(xué)”的內(nèi)在學(xué)習(xí)需求，也就有了最原始的學(xué)習(xí)心理狀態(tài)。如一位教師教學(xué)《圓的認(rèn)識》時(shí)，和學(xué)生一起“玩畫圓”，通過多層次設(shè)計(jì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟圓的本質(zhì)。首先是徒手畫圓，學(xué)生認(rèn)識到圓是一種曲線圖形，無論多努力都畫不好；其次讓學(xué)生借助工具畫圓，幫助學(xué)生建立半徑、直徑的概念；再次讓學(xué)生觀看操場畫圓視頻，深度思考圓心、半徑的概念；最后分組比賽畫圓，有的提供皮筋，有的提供線，學(xué)生由此獲得了圓的本質(zhì)深度體驗(yàn)。通過“玩”，抽象的數(shù)學(xué)知識變得可感可觸摸。

2. 任務(wù)驅(qū)動

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，“任務(wù)驅(qū)動”不僅是一種具體的學(xué)習(xí)方式，同時(shí)也是一種教學(xué)思想。運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動，不僅可以幫助學(xué)生明晰學(xué)習(xí)目標(biāo)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且能夠充分發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性潛質(zhì)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)空，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》，筆者運(yùn)用兩個(gè)任務(wù)驅(qū)動學(xué)生的數(shù)學(xué)探究。任務(wù)一：用自己喜歡的方法探究“三角形內(nèi)角和”（友情提醒：可以采用“量角法”“撕角法”“折角法”等）。任務(wù)二：自學(xué)“帕斯卡與三角形內(nèi)角和的故事”，運(yùn)用演繹和完全歸納推理證明“三角形內(nèi)角和是180度”。其中“任務(wù)一”是開放性的，是一種探究性學(xué)習(xí)；“任務(wù)二”是聚焦性的，是一種驗(yàn)證性學(xué)習(xí)。這樣的任務(wù)驅(qū)動提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，數(shù)學(xué)教學(xué)水到渠成。

3. 活動引領(lǐng)

活動是智慧的根源，也是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)方式。通過豐富的數(shù)學(xué)活動，能夠激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)對學(xué)生的吸引力。高質(zhì)量的數(shù)學(xué)活動不僅僅是機(jī)械地記憶、模仿，更為重要的是引領(lǐng)學(xué)生動手實(shí)踐、積極探索，促進(jìn)學(xué)生學(xué)力提升。如教學(xué)《平行四邊形的面積》，我校一位教師設(shè)計(jì)了三個(gè)活動，活動一是“用數(shù)方格”的方法計(jì)算面積；活動二是合作探究平行四邊形的面積公式；活動三是運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。學(xué)生在每一次活動中或操作，或表達(dá)，或補(bǔ)充，或爭論，小組間充滿生命的活力與互動。endprint

（二）多向度建設(shè)：把握數(shù)學(xué)的“學(xué)科本質(zhì)”

深度學(xué)習(xí)需要學(xué)生能夠深入地把握、理解數(shù)學(xué)“學(xué)科本質(zhì)”。要引導(dǎo)學(xué)生深度感受、體驗(yàn)、理解數(shù)學(xué)知識，深度聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)知識，深度反思數(shù)學(xué)知識。通過多向度建設(shè)，將學(xué)生置身于數(shù)學(xué)的思考與實(shí)踐場中，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的被動“接受者”成長為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動“建構(gòu)者”“探索者”“享受者”。

1. 注重“變”

深度教學(xué)要突出知識的本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生清晰地把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵與外延，促進(jìn)學(xué)生對本體性知識的理解。教學(xué)中教師可以通過各種變式，引導(dǎo)學(xué)生鑒別差異。通過分類和聚類，讓學(xué)生對知識獲得深度體驗(yàn)。如教學(xué)《平移和旋轉(zhuǎn)》中的“平移”時(shí)，筆者讓學(xué)生通過平移點(diǎn)、平移線、平移圖三個(gè)層次的平移活動，滲透“平移”的本質(zhì)。通過變化中的滲透，學(xué)生對平移的認(rèn)識不再僅僅局限于感性的、描述性的認(rèn)識上——如直直的、平平的、向同一方向的運(yùn)動，而是有了深度理解——等距運(yùn)動。由此，學(xué)生對學(xué)校升國旗和奧運(yùn)會領(lǐng)獎(jiǎng)臺升國旗的區(qū)別有了深刻認(rèn)識。只有學(xué)生深刻理解了“平移”的不斷變化、豐富的過程（包括方向、距離等），學(xué)生才能對生活中的平移現(xiàn)象做出精準(zhǔn)判斷。

2. 注重“聯(lián)”

數(shù)學(xué)知識是一個(gè)系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的整體。在教學(xué)中，教師不僅要重“變”，還要重“聯(lián)”，要引導(dǎo)學(xué)生瞻前顧后、左顧右盼，洞察數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。如筆者教學(xué)《圓柱和圓錐》時(shí)，為了讓學(xué)生觸類旁通，筆者分四個(gè)層次展開教學(xué)：一是“變一變”，通過多媒體課件，將長方形、圓形、三角形、梯形等平面圖形垂直向上平移，分別形成長方體、圓柱體、三棱柱、四棱柱等形體，幫助學(xué)生建構(gòu)“直棱柱”的概念。由此，學(xué)生深度體驗(yàn)到平面圖形和立體圖形并不是孤立的兩個(gè)世界；二是“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”，將長方形、直角三角形、半圓形分別以其中一條邊為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生展開動態(tài)想象；三是“切一切”，將長方形、長方體等沿著水平、豎直方向切，讓學(xué)生深度理解“一刀兩邊”“一刀兩面”；四是“削一削”，運(yùn)用多媒體課件將圓柱體、正方體等分別削成最大的圓錐和最大的四棱錐，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)能讓學(xué)生洞察數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)、生成點(diǎn)和生發(fā)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維。

3. 注重“統(tǒng)”

如何超越數(shù)學(xué)“單子式”教學(xué)的現(xiàn)狀？筆者認(rèn)為，教師不僅要重“聯(lián)”，更要重“統(tǒng)”。所謂“統(tǒng)”，即是將數(shù)學(xué)的下位知識納入上位知識中，以此形成一個(gè)包攝力、概括力都很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)。只有這樣，學(xué)生才能立足于更高的“大觀點(diǎn)”，審視數(shù)學(xué)知識，駕馭數(shù)學(xué)知識。例如教學(xué)《梯形面積后》，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動態(tài)想象：當(dāng)梯形的上底慢慢變小，變?yōu)?時(shí)，梯形演變成什么圖形？當(dāng)梯形的上底慢慢變大，變成和下底相等時(shí)，梯形演變成什么圖形？經(jīng)過這樣的想象，學(xué)生將平行四邊形、三角形、梯形等的面積公式都納入了梯形面積公式中，成為梯形變形時(shí)的一種特殊情況。這樣的教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的普遍聯(lián)系，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美。

（三）多方位助推：豐富有效的“導(dǎo)學(xué)方式”

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不僅依賴于學(xué)生的學(xué)，更依賴于有效地“導(dǎo)”。教學(xué)中，教師要多方位助推，豐富“導(dǎo)學(xué)方式”，如可以用目標(biāo)引導(dǎo)、用問題引導(dǎo)、用圖形引導(dǎo)。通過“導(dǎo)”，打造一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“磁場”，增加學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“磁力”，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“磁性”。由此，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能像呼吸一樣自然，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)也才能真正發(fā)生。

1. 目標(biāo)導(dǎo)學(xué)

目標(biāo)是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。以目標(biāo)為依據(jù)，用目標(biāo)導(dǎo)學(xué)，要把握目標(biāo)的適切度。掌握學(xué)習(xí)理論的創(chuàng)始人布盧姆將教學(xué)目標(biāo)從低級到高級依次分為：識記、理解、應(yīng)用、分析、綜合和評價(jià)。應(yīng)該說，“識記、理解”是低階的基礎(chǔ)性目標(biāo)，而“應(yīng)用、分析、綜合和評價(jià)”則屬于高階的深度學(xué)習(xí)目標(biāo)。換言之，學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不應(yīng)是機(jī)械識記、模仿，簡單地提取，而應(yīng)對知識有所批判、有所創(chuàng)造。專家認(rèn)為，元認(rèn)知、創(chuàng)造性思維等都屬于高階學(xué)習(xí)活動。例如教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》，學(xué)生根據(jù)這樣的目標(biāo)由淺入深，展開深度學(xué)習(xí)。目標(biāo)1：了解分?jǐn)?shù)加減法法則。目標(biāo)2：掌握通分的方法。目標(biāo)3：閱讀資料，畫圖解析計(jì)算過程。這樣的目標(biāo)定位，準(zhǔn)確把握了學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，預(yù)判易錯(cuò)點(diǎn)、易漏點(diǎn)，學(xué)生在目標(biāo)導(dǎo)學(xué)下愉快分享。

2. 問題導(dǎo)學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“起搏器”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將學(xué)生置身于問題情境之中，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)求知欲，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)。基于教師對數(shù)學(xué)教材的建構(gòu)、把握，讓教師預(yù)設(shè)有意義、有價(jià)值的問題是至關(guān)重要的。有時(shí)候，教師甚至可以設(shè)定環(huán)環(huán)相扣的問題串、問題鏈。如教學(xué)《三角形的面積》，由于學(xué)生已經(jīng)有了探究平行四邊形和梯形面積的活動經(jīng)驗(yàn)，因此教師可以運(yùn)用問題導(dǎo)引學(xué)生探究。問題1：怎樣推導(dǎo)三角形面積？（引出轉(zhuǎn)化的思想）問題2：用兩個(gè)完全相同的三角形可以拼成一個(gè)什么圖形？問題3：拼成的圖形和原圖形之間有著怎樣的關(guān)系？問題4：三角形的面積公式是什么？在問題導(dǎo)引下，學(xué)生的學(xué)習(xí)是開放的，體驗(yàn)是深刻的。

3. 導(dǎo)圖導(dǎo)學(xué)

“導(dǎo)圖”是一種可視化的導(dǎo)學(xué)工具，有實(shí)物圖、線段圖、箭頭圖等。導(dǎo)圖是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“導(dǎo)航儀”“路線圖”，能夠讓學(xué)生“看不見的思維”觸手可及、有跡可循。教學(xué)中，教師可以運(yùn)用導(dǎo)圖將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行直觀展現(xiàn)、集約統(tǒng)整。導(dǎo)圖猶如一根拐杖，能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從朦朧走向清晰，導(dǎo)圖又猶如一把鑰匙，能夠開啟學(xué)生的問題解決之門。如學(xué)生解決復(fù)雜的倒推問題：一杯果汁，小明先喝一半，又喝剩下的一半還多40毫升，最后杯子里還有20毫升。原來這杯果汁有多少毫升？學(xué)生在解決問題的過程中不能厘清題目中的復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。為此，筆者運(yùn)用導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生思考，導(dǎo)圖如圖1：

學(xué)生依據(jù)導(dǎo)圖，清晰地看到喝果汁的過程。他們迅速還原，形成了解決問題的思路。德國著名物理學(xué)家、思想家愛因斯坦說，“我不用語音思考問題，而是運(yùn)用一幅幅能動的、跳動的圖像來思考”。深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠識圖、制圖、用圖，能夠健康用腦、友善用腦及和諧用腦。

著名學(xué)者成尚榮先生說，“教學(xué)改革絕不能止于有效教學(xué)，教學(xué)的根本性變革在于以學(xué)生的‘學(xué)為核心”。深度學(xué)習(xí)是開放而富有活力的，它貴在參與、重在思考、妙在引領(lǐng)、巧在拓展。教學(xué)中，通過多維度激發(fā)、多向度建設(shè)和多方位助推，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的意義建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。endprint