陳忻鍇

【摘要】本文從多個(gè)角度出發(fā)，全面地探索了定義證明法、單調(diào)性有界法、泰勒公式求解法以及柯西收斂準(zhǔn)則法等多種不同有效的數(shù)列極限求解方法，旨在為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供更多的可行性參考，提高高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 極限求解 單調(diào)性

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）49-0119-02

一、定義證明法

定義證明法是解決高等數(shù)學(xué)當(dāng)中數(shù)列極限求解問(wèn)題的基本方法。高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的數(shù)列極限定義為“設(shè){xn}為實(shí)數(shù)數(shù)列，a為定數(shù)。那么，對(duì)于任何給定的正數(shù)ε，總有正整數(shù)N，使當(dāng)limxn=a或者xn→a，其中n→∞。”[1]，可以通過(guò)這一定義證明數(shù)列的極限。

例1：設(shè)xn>0，并且limxn=a，a>0（n→∞），求證lim = （n→∞）

解：∵limxn=a，∴？坌ε>0?！弋?dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|<ε，此時(shí)， = ε< ε，∴l(xiāng)im = 。

二、單調(diào)性有界定理法

除了應(yīng)用定義法進(jìn)行數(shù)列極限求解之外，單調(diào)性有界定理同樣也是證明極限存在的一項(xiàng)有效方法。根據(jù)單調(diào)性有界定理可以得出，單調(diào)性遞增有上界或者單調(diào)性遞減有下界時(shí)，數(shù)列必定存在著極限值。利用單調(diào)性有界定理對(duì)數(shù)列的極限進(jìn)行證明時(shí)，只能證明該數(shù)列的存在性，但是若想進(jìn)一步求出數(shù)列的解，需要結(jié)合方程思想。

例2：數(shù)列y1= ，y2= ，y3= ，…yn= ，其中a>0，證明數(shù)列{yn}收斂。

解：根據(jù)已知條件可以得出，數(shù)列yn屬于單調(diào)遞增數(shù)列，因此，只需要證明yn有上界，就可以得出數(shù)列{yn}收斂。由已知條件得出，y

根據(jù)前文提出的論據(jù)可以得出，若想要在證明數(shù)列極限之后，進(jìn)一步分析出limyn=1，（n→∞），可以利用方程1 =1+a，求出滿足條件的1即可得出最終的結(jié)果。

三、泰勒公式求解法

在對(duì)數(shù)列的極限進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中，可以應(yīng)用到泰勒公式。根據(jù)歸結(jié)原則，將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限，之后，根據(jù)泰勒公式或者是麥克勞林展開(kāi)式，替代數(shù)列當(dāng)中的部分函數(shù)。此種方式可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算程序的目的。根據(jù)之前數(shù)列極限求解的表達(dá)公式，以及給定的極限，為后續(xù)的計(jì)算工作提供便利。在具體的操作和計(jì)算環(huán)節(jié)中，需要充分地關(guān)注到展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)確定，并且要注意分子與分母無(wú)窮小的階數(shù)。通過(guò)化簡(jiǎn)表達(dá)式的方式，完成無(wú)窮小階數(shù)的計(jì)算。

例3：計(jì)算lim ，其中n→∞。

解：原式= =- π 。

四、柯西收斂準(zhǔn)則法

柯西收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列是否具有收斂性的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。當(dāng)推導(dǎo)出的數(shù)列具有單調(diào)性，但是不能明確地判斷單調(diào)性正確與否時(shí)，可以應(yīng)用此種方法。柯西收斂準(zhǔn)則的優(yōu)勢(shì)在于，計(jì)算的過(guò)程不需要完全地依賴極限定義當(dāng)中的極限值。在應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則時(shí)，只需要根據(jù)數(shù)列本身具有的特征，就可以對(duì)數(shù)列的收斂還是發(fā)散性特征進(jìn)行判斷。

例4：xn= ，其中數(shù)列{pn}與{qn}均滿足qn+1=pn+qn，并且p1=q1=1，pn+1=pn+2qn，計(jì)算limxn，其中n→∞。

解：因?yàn)閤1+ =1，xn+1= = =1+ =1+ >1，

所以，|xn+1-xn|= < < →0，其中n→∞。

根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則可以得出，當(dāng)數(shù)列{an}收斂時(shí)，limxn=A，那么數(shù)列的兩邊取極限值，可以得出A=± ，因?yàn)閤n≥1，所以A= ，所以limxn= 。在應(yīng)用此種方法對(duì)數(shù)列的極限證明并且求解極限值時(shí)，還可以結(jié)合常系數(shù)線性遞推公式等方法。通過(guò)將一種或者多種數(shù)列求解的方法相互結(jié)合，有利于提升高等數(shù)學(xué)當(dāng)中數(shù)列極限求解的效率。在實(shí)際的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，學(xué)生需要在教師的指導(dǎo)和幫助下，積極地分析出不同數(shù)列極限求解方法的適應(yīng)情況，在不同的問(wèn)題當(dāng)中，選擇最適合的數(shù)列極限求解方法，不僅可以提升問(wèn)題的解決的效率，而且還能提高最終結(jié)果的準(zhǔn)確度。

總結(jié)

綜上所述，通過(guò)系統(tǒng)地分析和研究了集中不同的數(shù)列極限求解方法，本人不僅鍛煉了綜合性的數(shù)學(xué)思維，而且還提升了從多個(gè)角度思考和解決問(wèn)題的能力。數(shù)列極限求解不僅對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究工作有重大幫助，而且對(duì)于本人在學(xué)習(xí)其他學(xué)科時(shí)，也具有積極的指導(dǎo)作用。通過(guò)利用批判性思維以及求索精神，期望能夠在今后的學(xué)習(xí)和生活中，發(fā)現(xiàn)更多未知的知識(shí)，為日常學(xué)習(xí)和生活帶去積極的影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]廖紅菊.求無(wú)窮多項(xiàng)和或積的極限之方法與技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（23）：91-92.