劉頓

摘要：抽象性是數(shù)學的一個重要的基本特征。數(shù)學抽象可以使教學內容更具數(shù)學味，使低年級學生的思維更加靈活。低年級數(shù)學教學要根據(jù)學生的年齡特點，注意把握具體與抽象之間的關系，需要教師在理解教學內容的基礎上，將數(shù)學抽象思想靈活應用到教學中，引導學生多操作、多比較、多思考，為學生后續(xù)的抽象思維學習奠定基礎。

關鍵詞：數(shù)學抽象;低年級數(shù)學;數(shù)學應用

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）12B-0055-03

一、數(shù)學抽象的概念解讀

1.數(shù)學抽象的內涵

抽象一詞在拉丁語中的本意是排除、抽取的意思。通常，人們認為抽象有兩種不同的意義：其一是用來形容遠離具體，因而不太容易理解的對象性質的程度;其二是指從具體情境中舍棄非本質屬性而抽取本質屬性的過程和方法。在小學數(shù)學教學中，抽象是一種基本且重要的思維過程和方法。正如鄭毓信教授所說，抽象性通常被認為是數(shù)學的基本特性。數(shù)學是從量的方面反應客觀存在的。在數(shù)學的抽象中，完全舍棄事物和現(xiàn)象的質的內容，僅此保留它量的內容。[1]

2.數(shù)學抽象的分類

數(shù)學抽象根據(jù)抽象對象的性質可分為表征型抽象、原理型抽象和建構型抽象。表征型抽象是對事物所表現(xiàn)出來的特征的抽象。[2]與此相關的學習有平面圖形或者是軸對稱的學習。而對事物內在因果性、規(guī)律性、關系性的抽象，稱為原理型抽象，比如低年級學習的1元=10角、1角=10分，中年級學習的三角形的內角和是180度等數(shù)學學習。最后建立在這些抽象基礎上的數(shù)學建構型活動就稱為建構型抽象，例如五年級學習的質數(shù)與合數(shù)的概念活動。

數(shù)學抽象還可以從抽象過程的特征上分為“理想化抽象”“等置抽象”“弱抽象”“強抽象”。理想化抽象是指從數(shù)學研究的需要出發(fā)，人們構造出一些理想化的對象的思維過程，例如在低年級解決問題中遇到的闊線圖，就是將具體情境轉化成數(shù)學關系。等置抽象是指依據(jù)某種等價關系抽取一類對象共同特征的抽象方法，例如在低年級的認識數(shù)中，一個梨子、一朵花、一支筆等這些在數(shù)量上都是1，從中就可以抽象出“自然數(shù)1”。弱抽象又稱“概念擴張式抽象”，即由原型中選取某一個特征或者側面加以抽象，從而形成比原型更為一般的概念或理論，而強抽象是指把一些新的特征加入某一概念中而形成的抽象過程。

二、數(shù)學抽象在低年級教學中的研究價值

1.數(shù)學抽象讓教學內容更加“數(shù)學化”

真正的數(shù)學課堂是“讓學真的發(fā)生”的課堂。教師在研究教學時，可以依據(jù)學生的已有知識儲備情況合理備課，深刻、客觀地解讀教材的內容。如果學生對具體的情境已經(jīng)有了充分的感知，具備了表象，教師就要合理安排時間進行適時的抽象。例如一年級學生在學習認識數(shù)字1到5時，先是觀察情境圖，找到數(shù)量為1的物體，再從現(xiàn)實情境中找到數(shù)量為1的物體。當學生找到大量的數(shù)量為1的物體之后，教師就可以將其抽象地概括為：“這些1個的物體我們都可以用1顆算珠表示，為了計數(shù)方便我們一般用‘1來表示1個的物體。”這里的1顆算珠相當于是表征的抽象。在教學10以內的加法算式時，教師可以引導學生從具體情境中學會思考。例如“左邊有3只雞，右邊有2只雞，一共有多少只？”這里求的是把左邊和右邊的數(shù)量部分合起來，就是用“3+2=5”來解答。但是，學生可能會在圖中整體數(shù)出有5只雞，而不一定會用算式來計算。這時，教師可以相機引導學生明白所有加法的算式都是用這樣的數(shù)學關系式“一部分 + 一部分=總數(shù)”來思考，啟發(fā)學生在腦海里抽象出這樣的數(shù)學模型，學會看到任何有關于求總數(shù)的問題都會想到用加法來計算。

2.數(shù)學抽象讓低年級學生思維更加“靈活化”

抽象性是判斷一個人的思維發(fā)展水平的一個很重要的特征。低年級的孩子處于前運算階段，需要用大量的操作活動或是生活經(jīng)驗去解決問題。所以，他們只有在具備大量的活動經(jīng)驗和生活經(jīng)驗的基礎上才會對所學內容進行抽象。同時，大量的操作活動也讓學生的思維更加的靈敏。例如，在低年級認識11—20個數(shù)的這節(jié)課中，教師并沒有直接告訴學生11-20這些數(shù)是怎么讀和怎么寫的，而是帶領學生在認識10的基礎上，嘗試通過擺小棒、數(shù)一數(shù)的方式掌握要領。教師將10個一根的小棒捆成一捆，表示為“1個10”，引導學生理解：這里的10個1是和1個10是相等的，即1個10里有10個1。如果接著再擺出12根，學生很容易地就會擺出： ? ? ?。有了這些基礎，當孩子看到12，就會想到它是由1個10和2個1組成的，就會對數(shù)有更直觀的理解?？梢姡ㄟ^動手操作的數(shù)數(shù)活動，學生的思維從直觀走向了抽象。

三、數(shù)學抽象在低年級教學中具體的應用

1.計算課中的數(shù)學抽象

無論是哪個年級的學生來說，計算最重要的就是理解算理，掌握算法。算理是算法的基礎，算法是算理的物化表現(xiàn)，兩者并重。算法抽象要充足，它分為三個不同的層次：第一個層次是行為，行為的目的在于能夠獲得計算結果、積累活動經(jīng)驗，這些是必不可少的;第二個層次是表象，表象的目的在于對行為操作活動的內化和壓縮，過渡到半具體半抽象的過程;第三個層次是符號，目的在于能夠看著算式說出計算結果，也就是式的運算，它的作用在于能夠抽象算法。

例如在教學“兩位數(shù)加整十數(shù)、一位數(shù)”時，教師出示45+30，先讓學生匯報不同的算法，有的是撥計數(shù)器的，有的是擺小棒的，還有的是用口算方法“40+30=70，70+5=75”。這些是學生較為熟悉的解決計算題的方法，同樣這也是理解算理的基礎。學生通過比較幾種算法的相同點后會抽象出：無論哪一種方法其實都是先把幾十和幾十合起來，再把它們的和與剩下的幾個一相加。行為操作的充分體驗后是表象操作階段。這個階段要求學生不再借助手中的學具，而是根據(jù)行為操作的結論，直接觀察圖片思考算法。教師在屏幕中直接出示算式以及相應的小棒圖，啟發(fā)學生看著圖說出具體的計算過程，在說的過程中將算法逐步內化。最后一個階段，要求學生不操作也不看圖，直接看著屏幕中的加法算式說一說具體的計算過程。這就是操作的第三個層次——符號操作。學生經(jīng)歷了三個層次的操作，將算理與算法逐步抽象出來。

2.認識圖形課中的數(shù)學抽象

表象是感性認識的一種高級形式，它是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁。因此學習者在概念形成的過程中，建立事物的共同屬性是尤為重要的。例如在最初學習二年級下冊“角的初步認識”時，大部分學生對于角的概念是模糊的，會認為某一個點就是角，這是孩子的元認知。為了便于學生理解“角是有兩條邊和一個頂點的，并且這兩邊所夾的部分才是一個角”這一特征，需要讓學生經(jīng)歷概念從模糊到清晰的過程，所以為他們提供了幾種材料（兩根小棒、釘子板、毛線、白紙），學生可以任意選擇其中的一種材料制作一個角。在制作的過程中，學生逐步體會到：用小棒做角時需要將兩邊靠在一起就會形成一個頂點;在用釘子板拉角時，認識到毛線必須拉直才會形成角，說明角的兩邊是直直的;在畫角的過程中，同時也體會到如上的兩種特征。因此，再次讓學生指角時，就不會出現(xiàn)指某個點的情況了。學生從具體的操作活動中，進一步抽象出角的概念及特征。很多認識圖形的教學設計都是借助于大量直觀的操作體驗，使學生逐步感受特征，再逐步抽象出圖形的。

3.認識進率課中的數(shù)學抽象

進率一般都是在組織學生在實際操作以及數(shù)數(shù)的過程理解的。在一年級涉及的課有“認識人民幣”，在二年級的課中有“時、分、秒”“認識分米和毫米”。這些都是我們生活當中經(jīng)常接觸到的事物，它們來源于生活，是一種生活經(jīng)驗的積累。例如在教學“認識人民幣”一課時，基于學生都有買東西的經(jīng)驗，教師設問：“大家那會怎么付1元呢？”學生可能會有“1個1元、2個5角、5個1角和1個5角，10個1角”的方法。經(jīng)過比較，學生會發(fā)現(xiàn)它們都代表1元，區(qū)別就在于有的是用元表示的，有的是用角表示的。因此，學生在接下來的學習中，會有意識地進行“1元=10角，1角=10分”類似的轉化，即有了操作的經(jīng)驗下抽象出的進率。

總而言之，低年級學生的數(shù)學抽象能力的養(yǎng)成并不是一蹴而就的。教師應根據(jù)學生的年齡特點，注意把握具體與抽象之間的關系，有目的、有方法地引導學生去多操作、多比較、多思考，為學生后續(xù)的抽象思維學習奠定基礎。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學[M].南京：江蘇教育出版社， 2008：2.

[2]劉娟娟.數(shù)學抽象在數(shù)學教學中的應用[J].教育研究與評論， 2012（8）：4.

責任編輯：李韋

Application of Mathematics Abstraction in Underclass Mathematics Teaching

Liu Dun

（Nanjing Jinling Huiwen Primary School， Nanjing 210000， China）

Abstract： Abstraction is an important feature of mathematics， which can make teaching contents more interesting and make underclass students thinking more flexible. Teachers need to deal with the relationship between concreteness and abstraction according to students ages. Also， teachers need to understand the teaching contents and flexibly apply the abstract ideas to daily teaching practice so that they can guide students to do more operation， more comparison and more thinking to lay a solid foundation for students abstract thinking learning in the future.

Key words： mathematics abstraction; underclass mathematics; mathematics application