趙思林+李雪梅

摘要：APOS理論是由美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論.但由于目前基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計較少，本文以“函數(shù)概念”的教學(xué)設(shè)計為例，通過對APOS理論的解讀、對函數(shù)概念教學(xué)的解讀，設(shè)計了基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計，即“憶”—“讀”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.目的是在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程中展示知識獲得的4個階段，并在實踐的基礎(chǔ)上針對教學(xué)設(shè)計提出了相關(guān)建議，突破教學(xué)難點.

關(guān)鍵詞：APOS理論；函數(shù)概念；“八步”教學(xué)設(shè)計

目前對函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計很多，但基于某種學(xué)習(xí)理論是函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計卻很少.基于這個現(xiàn)狀，在APOS理論的指導(dǎo)下對函數(shù)概念進(jìn)行“八步”教學(xué)設(shè)計，旨在為APOS理論的具體應(yīng)用以及概念教學(xué)方法提供參考.

一、APOS理論的概述

APOS理論的由美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，被譽為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一，它包含活動（Action）、程序（Process）、對象（Object）和圖式（Schema）4個階段[1].

活動階段數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，操作運算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為.學(xué)生要親自參與，通過實際經(jīng)驗來獲得知識.

過程階段不斷重復(fù)這種操作，學(xué)生從中不斷反思，于是就會在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，即形成一種過程模式.這種過程模式使得操作呈現(xiàn)出自動化的表現(xiàn)形式，而不再借助于外部的不斷刺激.

對象階段當(dāng)學(xué)生意識到可以把這個過程看做一個整體，并意識到可以對這個整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作的時候，其實已經(jīng)把這個過程作為一個一般地數(shù)學(xué)對象，形成一個“實體”.這時不但可以具體地去指明它所具有的各種性質(zhì)，也可以此為對象具體地去實施各種特定的數(shù)學(xué)演算.

圖式階段個體對操作、過程、對象以及他自己頭腦中的原有的相關(guān)方面的問題圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精選就會產(chǎn)生出新的問題圖式，這種圖式的作用和特點就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個圖式，從而就會做出不同的反應(yīng).顯然，個體的思維和認(rèn)識狀況在這種持續(xù)建構(gòu)中已經(jīng)上升到更高的層次，即對有關(guān)概念進(jìn)行了更高層次的加工和心理表征.

二、基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計

1 函數(shù)概念的“八步”教學(xué)設(shè)計與簡要說明

下面給出函數(shù)概念的“八步”教學(xué)設(shè)計（或稱“八環(huán)節(jié)”）的流程圖，如圖1，并對“八步”教學(xué)設(shè)計的含義作初步說明.

函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計中的“八步”是指：“憶”—“讀”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.下面對這“八步”的含義作初步說明.

“憶”是指回憶初中函數(shù)的概念及其相關(guān)知識點，幫助學(xué)生提取已有的知識，為新課的學(xué)習(xí)做好知識儲備，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

“讀”是指對給出的例子的品讀，找出每個實例中所隱含的核心內(nèi)容，為進(jìn)一步抽象概括得到函數(shù)概念提供支持.通過“讀”的形式，培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀理解的能力.

“思”是指通過對所給3個實例的分析，引導(dǎo)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言來刻畫實例，為用對應(yīng)描述變量之間的依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)學(xué)生分析問題和提取信息的能力.

“辨”是指通過對3個實例的歸納總結(jié)，概括出3個例子中所蘊含的相同點和不同點，進(jìn)而抽象出函數(shù)概念的“粗”定義，通過學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納和概括，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和概括抽象能力.

“定”（即定義）是指函數(shù)概念的形式化定義，即“精”定義.對函數(shù)概念進(jìn)行準(zhǔn)確的定義，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化、符號化、精確化等過程.

“懂”是指對定義的理解，理解是記憶的基礎(chǔ)，理解是應(yīng)用知識的前提，只有通過對概念的深刻理解，才能使所學(xué)知識意義化、系統(tǒng)化、條理化[2].這一步通過一系列問題：即在函數(shù)概念中，你認(rèn)為有哪些是關(guān)鍵詞？函數(shù)的構(gòu)成要素有哪些？ 怎樣理解函數(shù)的概念呢？

怎樣理解函數(shù)定義中符號fx和y=fx的意義呢？達(dá)到突破難點的目的，使學(xué)生真正“懂”得函數(shù)概念.

“用”是指應(yīng)用，用數(shù)學(xué)知識解決新的數(shù)學(xué)問題時應(yīng)當(dāng)考慮怎樣用、何時用等問題？函數(shù)概念的應(yīng)用十分廣泛，實際運用時一般不是簡單的直接用定義，而是著眼于間接性的用，變用及創(chuàng)造性地用等.

“悟”是指感悟數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，掌握數(shù)學(xué)思想就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.函數(shù)概念蘊涵豐富的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，類比思想等.

2 基于APOS理論的函數(shù)概念“八步”教學(xué)設(shè)計與設(shè)計意圖分析

第一階段觀察與操作（活動階段）——表現(xiàn)為主的感性認(rèn)識

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個核心概念，它的學(xué)習(xí)橫跨初高中兩個階段.為了讓學(xué)生在一步步的操作中獲得對函數(shù)概念的初步認(rèn)識，選取了三個生活中學(xué)生熟知的實例——炮彈發(fā)射問題、臭氧層空洞問題、恩格爾系數(shù)問題，讓學(xué)生可通過具體實例更為直觀地感知函數(shù)的概念.這是APOS理論的活動階段.

依據(jù)函數(shù)概念的“八步”教學(xué)設(shè)計，提出了如下教學(xué)建議，并對每一步都說明設(shè)計意圖.

第一步：“憶”

函數(shù)概念是高中學(xué)習(xí)的難點，通過讓學(xué)生回憶初中函數(shù)的概念，把握函數(shù)的核心思想，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念打下基礎(chǔ).

問題1同學(xué)們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)”，大家能說出初中函數(shù)的概念嗎？能否舉幾個函數(shù)的具體例子.

設(shè)計意圖讓學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念，把握其內(nèi)涵，為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

問題2同學(xué)們，y=1 x∈R是函數(shù)嗎？

（用初中函數(shù)的概念不能回答這個問題，要解決這個問題就要引入更加確切的語言來表達(dá)函數(shù)的概念，從而引入新課）endprint

設(shè)計意圖幫助學(xué)生提取已有的知識，為新課的學(xué)習(xí)做好知識儲備.通過設(shè)置問題“y=1 x∈R是函數(shù)嗎”，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，使其處于“憤”的狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生以最佳狀態(tài)進(jìn)入新課的學(xué)習(xí).

第二步：“讀”

通過閱讀現(xiàn)實生活中的實例，讓學(xué)生初步感知數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系，

例1一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到底面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m，且炮彈距底面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2.

問題3如果用t表示時間，h表示炮彈距底面的高度，兩個量t，h能構(gòu)成函數(shù)嗎？t和h的變化范圍分別是什么？

例2近幾十年來，大氣層中的臭氧層迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題，下圖中的曲線現(xiàn)實了南極上空臭氧層空洞的面積從1979—2001年的變化情況.

問題4如果用t表示時間，S表示臭氧層空洞面積，這里的變量t，S之間是否是函數(shù)關(guān)系，它們各自的變化范圍是什么？試用集合A，B表示.

用集合A，B表示變量t，S的變化范圍為：

A=t1979≤t≤2001，B=S0≤t≤26.

例3國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高，下表中恩格爾系數(shù)隨時間變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著的變化.

“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

問題5如果用t表示時間，S表示恩格爾系數(shù)，兩個量t，S能構(gòu)成函數(shù)嗎？t和S的變化范圍用集合A，B表示分別是什么？

用集合A，B表示變量t，S的變化范圍為：

A=t1991≤t≤2001，B={S|379≤S≤538}.

設(shè)計意圖從實例中體會到函數(shù)可以用解析式、圖像、圖表來刻畫，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，靈活應(yīng)變的能力.

第二階段綜合分析（過程階段）——思維活動為主的理性思考

通過對3個實例是否構(gòu)成函數(shù)，及其變量的變化范圍的討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考兩個變量之間是否存在某種一一對應(yīng)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言來刻畫實例.學(xué)生對函數(shù)概念的理解由感性上升到理性.這是過程階段.

第三步：“思”

問題6在例1中，如果把t的取值范圍看成集合A，h的取值范圍看成集合B，對集合A中每一個元素t與集合B中的元素有什么關(guān)系呢？

于是，有：

①t的變化范圍是數(shù)集A=t0≤t≤26；

②h的變化范圍是數(shù)集B=h0≤h≤845；

③對于A中的任意一個時間t，按照對應(yīng)關(guān)系h=130t-5t2都有唯一的高度h和它對應(yīng)，從而構(gòu)建了從A到B的一個對應(yīng)f：A→B.

設(shè)計意圖從實例中找出函數(shù)可以用解析式來刻畫，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題的能力，靈活應(yīng)變的能力.

問題7在例2和例3中，對集合A中每一個元素x與集合B中的元素有什么關(guān)系？

對于A中的任意一個時間t，按照某一對應(yīng)關(guān)系都有唯一的S和它對應(yīng)，從而構(gòu)建了從A到B的一個對應(yīng)f：A→B.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言來刻畫實例通過語言之間的轉(zhuǎn)化，變一種說法，牽出對應(yīng)這一說法，為用對應(yīng)描述變量之間的依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)學(xué)生分析問題和提取信息的能力.

第四步：“辨”

問題8以上3個實例有什么相同點？不同點？

相同點：通過歸納概括，可以得到： 在集合A中每取一個數(shù)，按照一定的對應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)，構(gòu)建了從A到B的一個對應(yīng)f：A→B.即：

（1）都有兩個非空數(shù)集A，B；

（2）兩個數(shù)集間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系；

（3）對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)，數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng).

不同點：（1）實例1是用解析式刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系；

（2）實例2是用圖象刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系；

（3）實例3是用表格刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計意圖由前面3個實例，抽象概括出函數(shù)概念的本質(zhì)，借助3個集合單值對應(yīng)關(guān)系圖，這樣處理有利于形成知識的正遷移.通過學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納、概括，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.

第三階段建構(gòu)理論（對象階段）——數(shù)學(xué)的表示與應(yīng)用

在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生抽象、總結(jié)、概括函數(shù)的概念，即得到函數(shù)概念的準(zhǔn)確定義，并在此基礎(chǔ)上對函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞、構(gòu)成要素、符號進(jìn)行解讀，逐個擊破難點，使學(xué)生更加深刻的理解函數(shù)概念.這是對象階段.

第五步：“定”（即定義）

問題9你能用集合的觀點給函數(shù)重新下個定義嗎？（得出函數(shù)的概念）

函數(shù)概念：設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對應(yīng)集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=fx，x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fxx∈A叫做函數(shù)的值域.

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)是實現(xiàn)從“描述性定義”到嚴(yán)格的符號化定義的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

第六步：“懂”

問題10在這個定義中，你認(rèn)為有哪些是關(guān)鍵詞？函數(shù)的構(gòu)成要素有哪些？ 怎樣理解函數(shù)的概念呢？

概念中的關(guān)鍵點：

①A，B是非空數(shù)集；

②對應(yīng)關(guān)系f可以通過解析式、圖象、列表來表示；

③任意、存在、唯一；

④符號“y=fx”的含義；endprint

⑤函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.

問題11怎樣理解函數(shù)定義中符號fx和y=fx的意義呢？

對符號fx的理解：符號fx不能理解為f與x相乘，因為f本身不是數(shù)，可將抽象符號f（x）與學(xué)生“加工”的經(jīng)驗聯(lián)系起來，幫助學(xué)生理解符號f（x）.如果把函數(shù)f比喻為“加工機(jī)器”.輸入原料x，通過“加工機(jī)器”f輸出唯一確定的產(chǎn)品fx.也可以把函數(shù)fx看成是“計算機(jī)器”f對x實施的“一系列運算”.例如，fx=x2-2x+3可以看成f對x實施了“平方，減2倍，再加3”這一系列運算.這對學(xué)生理解函數(shù)f和函數(shù)值的計算都是非常有實效的.

對符號y=fx的理解：因為y表示x的函數(shù)，且f（x）表示x的函數(shù)，所以y=fx.

設(shè)計意圖通過對函數(shù)概念及函數(shù)構(gòu)成要素的分析，深入理解函數(shù)概念中的難點知識.

通過逐步解析，理解“關(guān)鍵詞”、“函數(shù)構(gòu)成要素”、“符號fx和y=fx的意義”等難點.對難點逐個擊破，使學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念.

第四階段形成圖式（圖式階段）——辨析與反思

最后設(shè)計不同層次例題和練習(xí)，學(xué)生從不同背景下理解函數(shù)概念，通過對函數(shù)概念的多角度思考，完善函數(shù)概念認(rèn)知圖式.這是圖式階段.

第七步：“用”

例題是為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)定義而設(shè)置的，既考慮了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性.

典例解析已知函數(shù)fx=x+3+1x+2.

（1）求函數(shù)fx的定義域；

（2）求f-3， f23的值；

（3）當(dāng)a>0時，求fa， fa-1的值.

思考怎樣求函數(shù)的定義域？fx與fa有何區(qū)別與聯(lián)系？

點撥fa表示當(dāng)自變量x=a時函數(shù)fx的值，是一個常量，而fx是自變量x的函數(shù)，它是一個變量，fa是fx的一個 特殊值.

設(shè)計意圖通過例1使學(xué)生學(xué)會求簡單函數(shù)的定義域，以此更好地突出重點.例1表明當(dāng)對應(yīng)法則確定后，對應(yīng)定義域內(nèi)的一個數(shù)，只要將它代入解析式，就可求出它所對應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)一步體會函數(shù)符號的含義.

練習(xí)請大家根據(jù)所學(xué)的函數(shù)定義分析初中學(xué)習(xí)過的幾個具體函數(shù)？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的描述性定義上升到集合與對應(yīng)刻畫的定義，加深對函數(shù)概念的理解，鞏固所學(xué)知識.

第八步：“悟”

“悟”是熟悉思想的感悟和提煉.教師可引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)概念教學(xué)中主要有以下幾種思想：類比思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想等.

類比思想：類比初中函數(shù)的概念，為高中函數(shù)概念的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

分類討論思想：通過對3個實例的解讀，分別探討了函數(shù)不同的表達(dá)形式（解析式、圖像、圖表），并在此基礎(chǔ)上概括抽象了3個實例間的共性和特性，從而進(jìn)一步抽象得到函數(shù)的概念.

數(shù)形結(jié)合思想：函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，多處運用到數(shù)形結(jié)合的思想.

設(shè)計意圖依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》提出的：“概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).通過典型例子…使學(xué)生體會蘊含在其中的思想方法…[3]”.教師在進(jìn)行教學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，體會數(shù)學(xué)知識中所蘊含的思想方法，幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課的主要內(nèi)容，加深印象.

布置作業(yè)

1復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

2必做題：教材第19頁練習(xí)第1、2題，第24頁習(xí)題12第4題.

3選做題：老師板書.

設(shè)計意圖及時復(fù)習(xí)所學(xué)，使其融匯貫通；必要練習(xí)，加深對概念本質(zhì)的理解；通過分層作業(yè)體現(xiàn)了學(xué)生課外探究具有選擇性、多樣性，從而滿足各個層次學(xué)生的需求，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展，體現(xiàn)了新課標(biāo)中“以學(xué)生發(fā)展為本”的理念.

四、教學(xué)設(shè)計反思

整個教學(xué)設(shè)計重視學(xué)生的親身體驗，借助學(xué)生的生活經(jīng)歷，將新知識與學(xué)生已有知識和經(jīng)驗聯(lián)系起來.并且注重挖掘數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實背景，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的抽象過程，問題情境的設(shè)置形成逐層深入，環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，以問題解決為線索，引導(dǎo)學(xué)生主動討論、積極探索，引導(dǎo)學(xué)生從實際背景、圖象等多方面理解函數(shù)的本質(zhì).并在教學(xué)過程中通過具體函數(shù)來理解函數(shù)的一般概念，強(qiáng)調(diào)對函數(shù)本質(zhì)的理解.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了“特殊—一般——特殊”的過程，豐富了其數(shù)學(xué)思維，對比了初高中函數(shù)概念，上升了對函數(shù)的認(rèn)知.在這個過程中，倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)在實踐中完成學(xué)生自身知識的建構(gòu).

APOS理論對函數(shù)概念教學(xué)具有十分重要的指導(dǎo)意義，關(guān)于在教學(xué)中如何利用好APOS理論，提出了以下建議：（1）教師要合理運用和開發(fā)教材，根據(jù)學(xué)生的思維活動設(shè)計教學(xué)活動；（2）教師要通過各種反饋信息，了解學(xué)情，反思教學(xué)；（3）教師在教學(xué)中要注意滲透數(shù)學(xué)思想，要增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

參考文獻(xiàn)：

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