程驕陽，許 斌，賀 佳

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410082； 2.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門，361021；3.華僑大學(xué) 福建省結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)重點實驗室，福建 廈門，361021)

基于重大工程結(jié)構(gòu)在強動力荷載下的動力響應(yīng)監(jiān)測數(shù)據(jù)進行損傷識別，是土木工程領(lǐng)域前沿課題之一。在強動力荷載作用后，根據(jù)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)信息，運用一定的優(yōu)化算法或分析手段識別結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化位置和程度，進而對結(jié)構(gòu)中是否有損傷產(chǎn)生、損傷的定位和類型、損傷的嚴重程度進行判別，甚至評估結(jié)構(gòu)的剩余壽命，是實現(xiàn)土木工程結(jié)構(gòu)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵問題之一[1]。結(jié)構(gòu)在強動力荷載作用下發(fā)生損傷時，往往會呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性特征，通過識別非線性恢復(fù)力不僅可以獲取損傷的發(fā)展過程還可對結(jié)構(gòu)耗能進行定量評估。識別結(jié)構(gòu)的非線性行為而不是傳統(tǒng)基于振動測量的結(jié)構(gòu)識別算法中的剛度，對結(jié)構(gòu)災(zāi)后損傷識別具有重要意義。

結(jié)構(gòu)的非線性行為相對更為復(fù)雜，而且由于結(jié)構(gòu)材料和結(jié)構(gòu)體系的多樣性，結(jié)構(gòu)非線性行為呈現(xiàn)出較大的差異性。較線性系統(tǒng)而言，結(jié)構(gòu)非線性行為識別方法的研究時間相對較短，研究成果相對不成熟。針對非線性系統(tǒng)識別，最早的相關(guān)研究可以追溯到20世紀70年代[2]，之后，Masri和Caughey提出了著名的恢復(fù)力曲面法[3]，并推廣應(yīng)用到多自由度動力系統(tǒng)的非線性識別[4]。Yang和Ibrahim提出了相對更加簡易的基于冪級數(shù)算法來識別振動系統(tǒng)的非線性行為[5]。Mohammad等在其基礎(chǔ)上提出完全基于輸入輸出信息的直接參數(shù)識別法，有效識別了系統(tǒng)質(zhì)量、剛度和阻尼等具體物理參數(shù)[6]。Xu和He等提出了利用結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時域信號，分別基于等價線性理論和冪級數(shù)多項式模型的結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力識別方法，通過數(shù)值模擬和實驗數(shù)據(jù)對方法進行了驗證，并考慮了測量不完備和部分激勵未知時的識別方法[7-11]。許斌等研究基于切比雪夫多項式模型表征非線性恢復(fù)力的識別方法，獲得了精度更高的識別結(jié)果并通過含MR阻尼器和SMA阻尼器的非線性多自由度系統(tǒng)驗證了方法的有效性[12-14]。

大多非線性識別理論均基于完整的結(jié)構(gòu)激勵和響應(yīng)信息。然而，在環(huán)境特殊、結(jié)構(gòu)復(fù)雜情況下，由于傳感設(shè)備布置的局限性，結(jié)構(gòu)完整時域信息往往難以獲得且含有不同程度噪聲?；跔顟B(tài)空間模型的遞推最小方差估計的卡爾曼濾波算法(Extended Kalman Filter，EKF)為解決這類問題提供了途徑。Andrew提出基于EKF僅利用測量的加速度信息，進行濾波、估計即識別出結(jié)構(gòu)參數(shù)[15]。Hoshiyam等在EKF的基礎(chǔ)上提出了一種加權(quán)全局迭代的新方法，提高了識別精度[16]。尚久銓等針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)，采用縮減變量EKF進行降價處理，大大提升了計算效率[17]。Yang等學(xué)者提出了一種自適應(yīng)追蹤技術(shù)，結(jié)合最小二乘法識別未知激勵與結(jié)構(gòu)參數(shù)，且有效應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)[18-19]。Lei等研究了基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)中橡膠隔震支座的非線性恢復(fù)力識別方法，通過數(shù)值模擬進行驗證[20-22]。這類非線性結(jié)構(gòu)識別方法進行參數(shù)識別時均是在結(jié)構(gòu)質(zhì)量已知的前提下進行的。然而在實際工程中，估算質(zhì)量的誤差會嚴重影響其他物理參數(shù)識別的準確性，研究僅利用部分響應(yīng)信息對包括質(zhì)量在內(nèi)的結(jié)構(gòu)非線性行為進行識別的方法更具一般意義。

針對傳統(tǒng)EKF在識別結(jié)構(gòu)非線性特性時需要已知結(jié)構(gòu)質(zhì)量，而基于最小二乘法的非線性恢復(fù)力識別方法須已知結(jié)構(gòu)完整的響應(yīng)信息的問題，本文提出一種結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)及非線性恢復(fù)力識別方法。首先利用質(zhì)量估計值和部分觀測加速度通過EKF預(yù)測結(jié)構(gòu)完整的響應(yīng)信息，再基于最小二乘法識別結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)（剛度、阻尼、非線性參數(shù)）進而得到非線性恢復(fù)力。通過對初始質(zhì)量進行修正，循環(huán)迭代至收斂，最終實現(xiàn)了對結(jié)構(gòu)質(zhì)量和非線性恢復(fù)力的識別。通過在一個多自由度系統(tǒng)中引入Bouc-Wen磁流變阻尼器形成非線性結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，在質(zhì)量初始誤差不同并混入測量噪聲的情況下進行數(shù)值模擬，證明該方法的有效性和抗噪性。

1 擴展卡爾曼濾波算法(EKF)

EKF算法具有預(yù)測和校正的功能，它適用于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計和模型辨識。利用部分觀測信息，通過濾波估計，識別非線性系統(tǒng)的時程響應(yīng)和物理參數(shù)。

一個多自由度非線性結(jié)構(gòu)的運動方程可表示為

式(2)、式(3)中：Xk、Yk分別為狀態(tài)向量和觀測向量，Wk、Vk分別為過程噪聲和測量噪聲，通常假定為零均值高斯白噪聲，且協(xié)方差矩陣分別為Qk、Rk。

g[X(t)，f(t)，t]可由狀態(tài)向量X(t)對時間求1階導(dǎo)并結(jié)合式(1)推導(dǎo)出。

h(Xk,fk,tk)是基于tk時刻狀態(tài)向量Xk和fk觀測量的函數(shù)。

EKF算法在每個時間點包括時間更新和測量更新兩個過程。遞歸算法通過在以下步驟的循環(huán)中實現(xiàn)。假設(shè)tk時刻的狀態(tài)向量初始值相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣為Pk|k。

1)時間更新過程

（2）預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣Pk+1|k

其中：Φk+1|k是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可由下式獲得

2)測量更新過程

（1）計算第k+1步的卡爾曼增益矩陣Kk+1

觀測方程的系數(shù)矩陣Hk+1由下式求得

（2）用觀測量更新tk+1=（k+1）t時刻的狀態(tài)向量預(yù)估值，可以得到經(jīng)過濾波估計后的狀態(tài)向量

（3）更新誤差協(xié)方差

（4）令k=k+1，重復(fù)以上步驟直至k=s，s為觀測數(shù)據(jù)點總數(shù)。

EKF算法通過以上兩個過程的循環(huán)迭代，利用已知質(zhì)量和有限的觀測量，在獲得結(jié)構(gòu)完整的時程響應(yīng)的同時通過遞歸求解得到結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2 基于最小二乘法的非線性恢復(fù)力識別方法

對s層作用有外激勵的任意n自由度集中質(zhì)量非線性動力系統(tǒng)，其運動方程可寫為

其中：mi、ki、ci分別為第i層的質(zhì)量、剛度和阻尼，分別為結(jié)構(gòu)第i層加速度、速度、位移響應(yīng)，Ri為i層的非線性恢復(fù)力且是關(guān)于位移、速度、加速度的函數(shù)，fs為s層作用的外激勵。分別為第n個和第n-1個自由度之間的相對位移和速度即

根據(jù)基于有限元列式的參數(shù)模型，每個自由度的運動方程均可表示為

式中：H矩陣為響應(yīng)矩陣，由式中的位移、速度、加速度響應(yīng)構(gòu)成；λ為待識別的系數(shù)向量；P為外激勵向量；下標m為采樣點數(shù)，L為待識別參數(shù)個數(shù)。

利用最小二乘法，結(jié)構(gòu)參數(shù)可由下式識別

對于第s層，根據(jù)激勵及相應(yīng)的響應(yīng)可識別出各未知參數(shù)。對于未受激勵的自由度的運動方程，右邊為0，無法直接運用最小二乘法，但可第k層的識別結(jié)果，且有

可代入s+1，s-1層方程，識別對應(yīng)參數(shù)，依此類推，可以識別出結(jié)構(gòu)剩余未知參數(shù)。

此方法可根據(jù)完整的時程響應(yīng)信息識別出非線性系統(tǒng)各自由度的質(zhì)量和總非線性恢復(fù)力。

3 基于EKF和最小二乘法的質(zhì)量及非線性恢復(fù)力識別方法

傳統(tǒng)EKF在識別結(jié)構(gòu)非線性特性時往往依賴已知的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，基于最小二乘法的非線性恢復(fù)力識別方法須知完整的響應(yīng)信息。根據(jù)以上兩種方法特點，本文提出一種結(jié)合兩者的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)及非線性恢復(fù)力的迭代識別方法。

在第j次迭代過程中，基于部分加速度觀測值A(chǔ)m和質(zhì)量估計值，完整的速度和位移時程可通過EKF算法獲得，上標j表示第j次迭代。未觀測的加速度信息可由EKF的識別結(jié)果計算得到。基于已獲得系統(tǒng)完整的響應(yīng)時程信息通過最小二乘法對質(zhì)量分布進行識別，獲得質(zhì)量更新值借鑒增量補償思想，引入學(xué)習(xí)因子γ∈(0,1)利用識別值對初始質(zhì)量分布進行修正。

基于EKF和最小二乘法，通過迭代更新質(zhì)量，在誤差允許范圍內(nèi)，可獲得最終的質(zhì)量收斂值。利用質(zhì)量收斂值mc，通過EKF算法識別出最終的時程響應(yīng)信息和全部結(jié)構(gòu)參數(shù)（剛度、阻尼、非線性參數(shù)）和非線性恢復(fù)力。

其具體步驟如下：

(2)利用步驟(1)的識別值，通過逆運算得到未知加速度時程

(3)由步驟(1)和(2)獲得的完整時程信息，基于最小二乘法獲得質(zhì)量更新值

(5)基于質(zhì)量收斂值mc，識別出最終時程響應(yīng)信息、結(jié)構(gòu)參數(shù)和非線性恢復(fù)力。

步驟流程如圖1所示。

4 數(shù)值算例

4.1 計算模型與參數(shù)

如圖2所示，以一個4自由度集中質(zhì)量鏈式體系作為數(shù)值模型來驗證方法的有效性和魯棒性。在結(jié)構(gòu)的第4層引入一個Bouc-Wen模型的磁流變阻尼器[23]來模擬結(jié)構(gòu)非線性特性。Bouc-Wen阻尼器易于進行數(shù)值計算，通用性強，能反映各種滯回曲線。其滯回特性由以下運動方程表示

其中：K、C分別為結(jié)構(gòu)整體的剛度矩陣和阻尼矩陣，滯回位移向量z具有遺傳特性，其值變化取決于上一時刻的位移，且滿足

式中：n、β和γ為Bouc-Wen滯回參數(shù)，通過調(diào)整參數(shù)值可以控制滯回曲線的形狀。

計算模擬中表征非線性系統(tǒng)性能的物理參數(shù)取值見表1，其中i=1,2,3,4。

采用隨機激勵，水平作用在第3個自由度上，時長為8 s，其時域圖如圖3所示。

圖1 迭代算法流程圖

圖2 計算模型

表1 數(shù)值模型參數(shù)

結(jié)構(gòu)的時程響應(yīng)采用4階～5階Runge-Kutta算法積分計算，積分步長為0.000 5秒。

識別過程中，EKF算法的結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量定義為

計算模型中由于只有第4層有非線性力，因此zi=xi(i=1,2,3)可在狀態(tài)向量中省略。ki、ci、n、β和γ分別為待識別的阻尼、剛度和非線性參數(shù)向量。對t求1階導(dǎo)數(shù)后，狀態(tài)方程為

圖3 結(jié)構(gòu)隨機激勵荷載時程

測量第2、第3、第4個集中質(zhì)點上的加速度，為驗證方法的魯棒性，在觀測向量中混入5%高斯白噪聲。在觀測方程中

其中：D為加速度觀測的位置矩陣。

本文中學(xué)習(xí)因子取為0.5，ε取為0.001。

4.2 工況1（質(zhì)量初始誤差為±10%)

由誤差為±10%的質(zhì)量初始值，通過文中方法獲得質(zhì)量的收斂值。圖4表示質(zhì)量收斂過程。

可以看出各自由度的集中質(zhì)量均能隨著迭代步數(shù)增加較好收斂于真實值，最終結(jié)果及誤差如表2所示。

質(zhì)量收斂后，由質(zhì)量識別結(jié)果再次利用EKF算法，可識別出結(jié)構(gòu)速度位移響應(yīng)信息，并與算例真實值進行對比，結(jié)果如圖5、圖6?？梢?，速度和位移識別結(jié)果與真實值吻合很好。

在迭代過程中，利用最小二乘法識別方法時，需要知道完整的時程信息，其中未觀測到的1層加速度信息是由前一步EKF方法獲得識別結(jié)果反算得到。隨著質(zhì)量逐漸逼近真實值，1層加速度的估計值也愈加精確，圖7表示在最后一步迭代時獲得加速度與真實值的對比。最終獲得的結(jié)構(gòu)參數(shù)(剛度、阻尼、非線性參數(shù))與真實值的對比以及計算得到的相對誤差結(jié)果見表3。

表2 質(zhì)量分布識別結(jié)果

可以發(fā)現(xiàn)，在部分觀測加速度響應(yīng)混入5%噪聲的情況下各參數(shù)均有較好的識別精度，最大的識別誤差也保持在2.5%之內(nèi)。

根據(jù)識別得到的參數(shù)信息，可得到結(jié)構(gòu)第四層Bouc-Wen阻尼器提供的非線性恢復(fù)力，并與真實值進行比較，結(jié)果如圖8所示。

可以看出，阻尼器所提供的阻尼力的識別值與真實值非常接近。

4.3 工況2（質(zhì)量初始誤差為±15%)

工況2將初始質(zhì)量的預(yù)估誤差提高到±15%范圍，同樣在結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)中添加了5%的噪聲，利用本方法獲得的質(zhì)量識別結(jié)果收斂曲線如圖9所示。各層質(zhì)量收斂值及誤差見表4。

結(jié)構(gòu)各層位移和速度響應(yīng)以及未觀測層的加速度響應(yīng)時程以及與真實值的比較如圖10至圖12所示。

從對比可以看出，質(zhì)量的識別結(jié)果具有很強的收斂性和穩(wěn)定性，同時速度和位移響應(yīng)時程識別結(jié)果也與真實情況高度吻合。結(jié)構(gòu)各參數(shù)包括質(zhì)量、剛度、阻尼、非線性參數(shù)的識別結(jié)果如表5所示。

阻尼識別的相對誤差稍大，但是即使在5%的噪聲等級下也只有2.55%的識別誤差，參數(shù)識別仍具有很高的精度。Bouc-Wen阻尼器非線性恢復(fù)力識別結(jié)果與真實值的比較如圖13所示。

圖4 質(zhì)量收斂曲線圖

圖5 結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)識別結(jié)果

圖6 結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)識別結(jié)果

顯然，即使在質(zhì)量初始誤差為±15%的情況下，本方法也可以很好識別結(jié)構(gòu)質(zhì)量、非測量加速度響應(yīng)、速度和位移響應(yīng)以及結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力。

5 結(jié)語

結(jié)合EKF和最小二乘法算法，本文提出了一種僅利用外激勵及結(jié)構(gòu)部分響應(yīng)加速度信息的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)和非線性恢復(fù)力識別迭代方法。

表3 結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果

圖7 第1層加速度響應(yīng)識別值

圖8 MR阻尼器恢復(fù)力識別結(jié)果

圖9 質(zhì)量收斂曲線圖

表4 質(zhì)量分布識別結(jié)果

通過對一個含Bouc-Wen磁流變阻尼器的4自由度體系的非線性模型進行數(shù)值模擬，驗證了方法的有效性。同時為證明該方法的魯棒性，在觀測的加速度響應(yīng)信息中混入5%的高斯白噪聲，并在質(zhì)量初始誤差在±10%、±15%情況下識別結(jié)構(gòu)參數(shù)和非線性恢復(fù)力。結(jié)果表明，在隨機激勵作用下，該方法僅利用部分自由度上的加速度觀測信息，最終實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)質(zhì)量、物理參數(shù)（剛度、阻尼、非線性參數(shù)）和Bouc-Wen阻尼器提供的非線性恢復(fù)力的識別，識別精度高且具有良好的抗噪性。

本文所提出的方法可利用結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的部分加速度響應(yīng)測量，識別結(jié)構(gòu)中非線性恢復(fù)力，可以用來直接反映動力荷載作用下結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生、發(fā)展過程，而且非線性恢復(fù)力識別結(jié)果可對結(jié)構(gòu)耗能和損傷程度進行定量評估，對工程結(jié)構(gòu)在強動力荷載作用下的損傷狀態(tài)和性能診斷具有重要意義。

表5 結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果

圖10 結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)識別結(jié)果

圖11 結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)識別結(jié)果

圖12 第一層加速度響應(yīng)識別值

圖13 MR阻尼器恢復(fù)力識別結(jié)果

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