袁海軍

在新課標(biāo)高考考試說明中，不等式選講高考命題屬于二選一選考題，分值為10分.通過近五年高考來看，無論文理科，選考內(nèi)容題型都相對穩(wěn)定，難度中檔，重點(diǎn)考查含有絕對值的不等式的解法，含有絕對值函數(shù)的圖像與性質(zhì)及相關(guān)不等式的最值問題，考查利用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想解決問題的能力.

不等式選講的內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)和基本不等式、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個(gè)著名的不等式.應(yīng)用方面：1. 會(huì)用上述不等式證明一些簡單問題.能夠利用均值不等式、絕對值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值.

2. 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.

在2018年數(shù)學(xué)高考中，有關(guān)不等式選講的主要考點(diǎn)有哪些？本人談?wù)剛€(gè)人看法，希望對大家把握高考命題方向有所幫助.

一、含有絕對值不等式的圖像與解法

題型一：解絕對值不等式|x-a|+|x-b|c（c>0）

例1. 解不等式|2x-1|+|x+2|<4.

解析：如何去掉絕對值符號呢？利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想.

（1）當(dāng)x<-2時(shí)，得-（2x-1）-（x+2）<4，即得x>-■，此時(shí)不等式無解；

（2）當(dāng)-2≤x≤■時(shí)，得-（2x-1）+（x+2）<4，即得x>-1，此時(shí)-1

（3）當(dāng)x≥■時(shí)，得（2x-1）+（x+2）<4，即得x<1，此時(shí)■≤x<1.

綜上所述：原不等式的解集為（-1，1）.

注意：上面各式取交集即可.

題型二：解絕對值不等式|x-a|+|x-b|f（x）

例2. 已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3.

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f（x）

（2）設(shè)a>-1，且當(dāng)x∈[-■，■] 時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍.

解析：對于含有多個(gè)絕對值符號的不等式，一般可用零點(diǎn)分段法分類討論，構(gòu)造相對應(yīng)的分段函數(shù)，利用函數(shù)圖像性質(zhì)求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合思想.

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，不等式f（x）

設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，則

y=-5x，x<■-x-2，■≤x≤13x-6，x>1？圯其圖像如右圖所示，

從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，y<0.所以原不等式的解集是{x|0

（2）當(dāng)x∈[-■，■] 時(shí)， f（x）=1+a. 不等式f（x）≤g（x）化為1+a≤x+3.

所以x≥a-2對x∈[-■，■]都成立，故-■≥a-2，即a≤■.

從而a的取值范圍為（-1，■].

點(diǎn)評：在絕對值不等式的解法中，|x|a的解集是（-∞，-a）∪（a，+∞），它可以推廣到復(fù)合型|ax±b|c）和|ax±b|< f（x）（或“>”）的解法，還可以推廣到含有兩個(gè)絕對值符號的不等式，例如|x-a|+|x-b|c”）型，此類不等式的解法有三種，幾何解法和代數(shù)解法以及構(gòu)造函數(shù)的解法，其中代數(shù)解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數(shù)解法的基礎(chǔ)，這兩種解法都適宜于x前面系數(shù)不為1類型的上述不等式，使用范圍更廣.

鞏固訓(xùn)練1. 若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-5|+|x+3|

解析：利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解.

不等式|x-5|+|x+3|

因?yàn)閨x-5|+|x+3|≥|（x-5）-（x+3）|=8，所以a≤8.

二、含有絕對值不等式中的最值和參數(shù)范圍問題

例3. 已知f（x）=|x+a|（a∈R）；

（1）若f（x）≥|2x+3|的解集為[-3，-1]，求a的值；

（2）若？坌x∈R，若不等式f（x）+|x-a|≥a2-2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12-2a）x+9-a2≤0，

可得-1，-3是方程3x2+（12-2a）x+9-a2=0的兩個(gè)根，

所以■=-4，■=3解得a=0.

（2）因?yàn)閒（x）+|x-a|=|x+a|+|x-a|≥|（x+a）-（x-a）|=2|a|，

所以要使不等式f（x）+|x-a|≥a2-2a恒成立，只需2|a|≥a2-2a.

∴當(dāng)a≥0時(shí)，2|a|≥a2-2a解得0≤a≤4.

當(dāng)a<0時(shí)，-2a≥a2-2a此時(shí)滿足條件的a不存在.

綜上可得實(shí)數(shù)a的范圍是0≤a≤4.

鞏固訓(xùn)練2. 已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a>0）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，得2|x-1|≥1，∴|x-1|≥■，解得：x≥■或x≤■.

所以不等式的解集為（-∞，■]∪[■，+∞）.

（2）∵原不等式解集為R，

∴ |ax-1|+|ax-a|≥1對一切實(shí)數(shù)x恒成立.

又∵ |ax-1|+|ax-a|≥|（ax-1）-（ax-a）|=|a-1|，

∴ |a-1|≥1，解得a≥2或a≤0，

又∵ a>0，∴ a≥2.

三、有關(guān)不等式恒成立問題

例4. 已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|.

（1）若當(dāng)g（x）≤5時(shí)，恒有f（x）≤6，求a的最大值；

（2）若當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）g（x）≤5？圳|2x-1|≤5？圳-5≤2x-1≤5？圳-2≤x≤3；

f（x）≤6？圳|2x-a|≤6-a？圳a-6≤2x-a≤6-a？圳a-3≤x≤3.

依題意有，a-3≤-2，a≤1.

∴ a的最大值為1.

（Ⅱ）f（x）+g（x）=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a，

當(dāng)且僅當(dāng)（2x-a）（2x-1）≥0時(shí)等號成立.

解不等式|a-1|+a≥3，得a的取值范圍是[2，+∞）.

點(diǎn)評：含絕對值不等式的恒成立問題的求解方法：1.“分離參數(shù)法”：運(yùn)用“f（x）≤a恒成立？圯 f（x）max≤a，f（x） ≥ a恒成立 ？圯 f（x）min≥a”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題.

2. 數(shù)形結(jié)合法：在研究不等式f（x）≤g（x）恒成立問題時(shí)，若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，通過圖像的位置關(guān)系可直觀解決問題.

四、不等式的證明

題型一：用分析法、綜合法證明不等式

例5. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=9，證明：

（1）ab+bc+ca≤27； （2）■+■+■≥9.

證明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由題設(shè)得（a+b+c）2=81，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=81，

所以3（ab+bc+ca）≤81，即ab+bc+ca≤27. 當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=c ”時(shí)等號成立.

（2）因?yàn)椤?b≥2a，■+c≥2b，■+a≥2c，當(dāng)且僅當(dāng)“a2=b2=c2”時(shí)等號成立.

故■+■+■+（a+b+c）≥2（a+b+c），即■+■+■≥a+b+c.

所以■+■+■≥9.

點(diǎn)評：用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇础皥?zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，綜合法是分析法的逆過程，表述簡單，條理清晰.它們通常結(jié)合起來運(yùn)用，先以分析法尋求解題思路，再利用綜合法表述解答或證明過程.此外，對于應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”同時(shí)成立的條件，還要掌握公式的正用、逆用和變形技巧.

題型二：數(shù)學(xué)歸納法、放縮法證明不等式

例6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

■+■+■+…+■>1（n∈N*，且n>1）.

證明：（i）當(dāng)n=2時(shí)，■+■+■=■>1成立.

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，命題成立.

即■+■+■+…+■>1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

■+■+…+■+■+…+■=（■+■+■+…+■）+■+…+■-■>1+■-■=1+■=1+■>1.

由（i）（ii）可知命題對一切大于1的自然數(shù)成立.

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題.證明過程的表述要求嚴(yán)謹(jǐn)而且規(guī)范，兩個(gè)步驟缺一不可.尤以第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”，證明中一定要用到歸納假設(shè).此法常與放縮法相結(jié)合，需要考生進(jìn)行合理放縮才有效.

題型三：柯西不等式證明不等式或求最值

例7. 求函數(shù)y=5■+■的最大值.

解析：函數(shù)的定義域?yàn)閇1，5]，且y>0由柯西不等式得

y=5×■+■×■≤■×

■=■=6■.

當(dāng)且僅當(dāng)■■=5■時(shí)，取“=”，即x=■時(shí)函數(shù)取最大值6■.

例8. 設(shè)x+y+z=1，求M=2x2+3y2+z2的最小值.

解析：由柯西不等式可知：

∵1=（x+y+z）2=（■·■x+■·■y+1·z）2≤（■+■+1）（2x2+3y2+z2），

∴M=2x2+3y2+z2≥■， 當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■，且x+y+z=1，即x=■，y=■，z=■時(shí)，M有最小值為■.

點(diǎn)評：1. 用柯西不等式證明時(shí)，一般需要對不等式變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行證明. 2. 利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為（a12+a22+…+■）（■+■+…+■）≥（1+1+…+1）2=n2. 在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)和等號成立的條件. 一定要切記檢驗(yàn).

以上例舉了不等式選講的高考命題考點(diǎn)及題型，近五年都是第24題位置，屬于重點(diǎn)得分題.我們需要切實(shí)掌握其基本知識和基本方法，還要加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練提升，充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合思想準(zhǔn)確求解，在高考中拿下這一題的分?jǐn)?shù).

（本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度立項(xiàng)課題《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題教學(xué)實(shí)踐研究》（立項(xiàng)號FJJKXB17-206）階段研究成果）