黃圣彥

【摘? ? 要】數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中起著巨大的作用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，以及為學(xué)生提供更多的解題思路和技巧也起著促進(jìn)作用。正因如此，筆者認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)在日常中適當(dāng)使用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想進(jìn)行教學(xué)，全面促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展和提高課堂教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)? 數(shù)形結(jié)合思想? 探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G4? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2018.21.086

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性、思維性十分強(qiáng)的學(xué)科，不似語(yǔ)文和英語(yǔ)學(xué)科，有很多記憶性的知識(shí)，一些知識(shí)的學(xué)習(xí)靠背誦記憶就可以獲得。并且初中數(shù)學(xué)教材上的知識(shí)點(diǎn)很多，題型也復(fù)雜多變，學(xué)生學(xué)習(xí)和理解起來(lái)有很大的困難，因此，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)必須更具有實(shí)踐性、探究性，并且教學(xué)方法還要具有能夠讓學(xué)生邏輯思維和抽象思維得到發(fā)散的特點(diǎn)。而在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容中，圖形、數(shù)字是其最大的也是最重要的組成部分，而數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用在可以讓復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更直觀、更簡(jiǎn)單。因此，老師在初中數(shù)學(xué)的日常教學(xué)中要善于引用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，為學(xué)生能夠更輕松、更高效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)服務(wù)。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概念及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（一）數(shù)形結(jié)合思想的概念

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最基本的也是最重要的兩個(gè)研究對(duì)象，而“數(shù)”與“形”之間存在著聯(lián)系，在特定情況和一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的，這種聯(lián)系和轉(zhuǎn)化就形成了數(shù)形結(jié)合的概念。數(shù)學(xué)結(jié)合直接將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言以及數(shù)據(jù)關(guān)系與直觀的幾何圖形建立起了聯(lián)系。初中數(shù)學(xué)主要側(cè)重于研究“數(shù)”與“形”這兩個(gè)對(duì)象，數(shù)學(xué)結(jié)合思想作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想，主要應(yīng)用于：一是利用“形”的幾何直觀性來(lái)表示數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系或者表達(dá)某種關(guān)系，二是利用“數(shù)”的精確性來(lái)表示“形”的某種特性，比如給正方形和長(zhǎng)方形進(jìn)行邊長(zhǎng)賦值，來(lái)闡明正方形和長(zhǎng)方形的區(qū)別和各自的特點(diǎn)。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的重要作用

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)老師進(jìn)行教學(xué)的有利手段，也是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、解題能力以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)效率的重要途徑。

1.數(shù)形結(jié)合思想能夠促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。數(shù)形結(jié)合思想能夠促進(jìn)學(xué)生抽象思維和邏輯思維的發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。讓學(xué)生在應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，能夠依據(jù)題目中給出的條件，通過(guò)分析幾何題型直觀的表示出題目中的數(shù)量關(guān)系，最終將問(wèn)題求解出來(lái)。在分析問(wèn)題以及構(gòu)思出明確的數(shù)學(xué)圖形的過(guò)程中，非常鍛煉學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散，使學(xué)生應(yīng)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，能很快地就想出解題思路，確定求解方向，讓學(xué)生的解題方法更靈活多樣。

2.數(shù)形結(jié)合思想能夠使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更高效。在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，老師可以通過(guò)幾何圖形一目了然的將數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解思路呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而使學(xué)生不再因?yàn)閱?wèn)題求解思路過(guò)于繁瑣復(fù)雜而對(duì)問(wèn)題的解答喪失耐心和興趣，集中和提高學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的注意力。同時(shí)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用還可以使枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更生動(dòng)、更有趣，切實(shí)激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。并且，還可以讓學(xué)生花盡量少的時(shí)間和精力學(xué)到要學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的解題效率，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的壓力和負(fù)擔(dān)，提高他們分析問(wèn)題的能力，讓數(shù)學(xué)不再是學(xué)生們的弱科、難科。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是以“形”助“數(shù)”，另一類(lèi)是以“數(shù)”助“形”。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中老師要潛移默化的將數(shù)學(xué)結(jié)合應(yīng)用到相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解中。下面來(lái)詳細(xì)介紹一下其兩大類(lèi)應(yīng)用。

（一）以“形”助“數(shù)”

相信眾多教育工作者在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，都有過(guò)這樣的感受：遇到一些比較抽象的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題、數(shù)與坐標(biāo)問(wèn)題或者函數(shù)問(wèn)題等問(wèn)題時(shí)，老師不容易講授問(wèn)題的解題步驟，學(xué)生理解、學(xué)習(xí)起來(lái)也比較困難。這個(gè)時(shí)候，就需要以“形”作為手段，通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖像、數(shù)軸等直觀的圖像來(lái)“打輔助”，把問(wèn)題變簡(jiǎn)單化、直觀化，并最終求出目的數(shù)。比如：在遇到求值問(wèn)題時(shí)，如果只是根據(jù)題目中所給出的數(shù)據(jù)學(xué)生很難快速把答案算出來(lái)。但如果學(xué)生由問(wèn)題中給出的函數(shù)ax2+bx+c，根據(jù)a和b的值判斷相應(yīng)的函數(shù)開(kāi)口方向，再畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像，最后把圖像和數(shù)結(jié)合起來(lái)，這時(shí)問(wèn)題就能很快迎刃而解了。再比如給出這樣一個(gè)問(wèn)題：關(guān)于a的方程5sina+4=|5cosa+2|，再設(shè)定a的區(qū)間取值為[0，π]，求解a的解的個(gè)數(shù)。這道題看起來(lái)可能就是一個(gè)帶絕對(duì)值的三角方程求解問(wèn)題，如果直接從方程入手求解a的解的個(gè)數(shù)，運(yùn)算會(huì)很復(fù)雜，而且在算的過(guò)程中也很容易出錯(cuò)。但如果通過(guò)三角函數(shù)換元，兩邊同時(shí)平方，即可構(gòu)造出一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這時(shí)問(wèn)題就變成了求直線(xiàn)和圓之間有幾個(gè)交點(diǎn)的位置問(wèn)題了，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，方程和圓的圖像可以根據(jù)前面求得的式子很直觀的在坐標(biāo)上畫(huà)出來(lái)，最終很巧妙的就能根據(jù)“形”求解出“數(shù)”來(lái)了。

（二）以“數(shù)”助“形”

所謂的以“數(shù)”助“形”就是在“形”中尋找出突破口“數(shù)”，借助數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來(lái)推算出“形”的某些性質(zhì)。即是以“數(shù)”為手段，求出目的“形”。

比如：給出一條直線(xiàn)y=kx+b和一條拋物線(xiàn)y=ax2，條件是這條直線(xiàn)和這條拋物線(xiàn)相交，并且有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1和x2。同時(shí)，直線(xiàn)y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，最終求證1/x3=1/x1+1/x2。這道題屬于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的有關(guān)問(wèn)題，但是由于題目中只給出了k，b，a這三個(gè)符號(hào)，并未說(shuō)明符號(hào)的正負(fù)性，因此如果想通過(guò)畫(huà)圖像的方法來(lái)判斷直線(xiàn)與拋物線(xiàn)之間的位置關(guān)系，還得分情況討論k，a，b的正負(fù)取值情況，求解出問(wèn)題的答案就會(huì)很復(fù)雜、很困難。但是如果這時(shí)將圖形問(wèn)題代數(shù)化，化成與方程有關(guān)的問(wèn)題，然后再進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)字計(jì)算，就能省去分情況討論問(wèn)題的麻煩，直接求解出問(wèn)題的答案。由此我們可以見(jiàn)得，如果“形”缺少“數(shù)”，那么問(wèn)題就會(huì)變得很模糊。所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，老師要重視學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，并將數(shù)形結(jié)合的思想與整個(gè)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容想貫穿、相關(guān)聯(lián)。讓學(xué)生在日常的做題中能夠有意識(shí)的使用樹(shù)形結(jié)合的思想求解數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、結(jié)束語(yǔ)

總之，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，老師要深知教學(xué)的目的是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法和思想，而不是靠單純根據(jù)理論和公式的記憶去做題。因此，在平時(shí)的做題過(guò)程中，老師要鼓勵(lì)學(xué)生常使用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)尋找求解“捷徑”，簡(jiǎn)化運(yùn)算，最終達(dá)到事半功倍的效果。