陳雷 朱建民

[摘 要] 深度學(xué)習(xí)是核心素養(yǎng)培育的重要途徑. 深度學(xué)習(xí)不會自然發(fā)生，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究學(xué)生的前概念、促進(jìn)事實性知識與概念性知識的平衡、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識與應(yīng)用，并通過學(xué)習(xí)模型的建立，可以保證深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；有效引導(dǎo)

在討論核心素養(yǎng)培育的過程中，深度學(xué)習(xí)得到了很多人的關(guān)注，一般認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑. 當(dāng)前，對深度學(xué)習(xí)的研究視角是多元的，其中學(xué)習(xí)科學(xué)視角下的深度學(xué)習(xí)界定，是比較適合教學(xué)的. 在學(xué)習(xí)科學(xué)的視角下，深度學(xué)習(xí)被定義為“學(xué)生在學(xué)習(xí)原理的支配之下，在具體的學(xué)習(xí)情境中以核心概念為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解性和創(chuàng)新性學(xué)習(xí)”. 對于初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)而言，深度學(xué)習(xí)重在數(shù)學(xué)思維的參與，重在學(xué)生的先前經(jīng)驗在新學(xué)習(xí)情境中跟數(shù)學(xué)問題發(fā)生相互作用，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生有效信息的加工，重在問題解決過程中數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用. 通過這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力可以直接得到培養(yǎng)，邏輯推理可以自然運(yùn)用，數(shù)學(xué)建模會逐步成為學(xué)生的自然意識，而這三者就組成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的框架（著名數(shù)學(xué)教育專家史寧中教授就將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)歸納為這三點(diǎn)）.

需要注意到的現(xiàn)實是，深度學(xué)習(xí)并不會自然發(fā)生，如果沒有教師的引導(dǎo)，可以說絕大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)都會處于淺學(xué)習(xí)的狀態(tài). 要讓學(xué)生真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，離不開教師的有效引導(dǎo). 本文旨在討論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行有效的引導(dǎo)，以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效發(fā)生，下面主要從以下幾個方面進(jìn)行討論.

關(guān)注前概念，奠定深度學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

深度學(xué)習(xí)首先是有效的學(xué)習(xí). 有效的學(xué)習(xí)是以尊重學(xué)生的前概念為基礎(chǔ)的. 對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，前概念必須引起重視. 日常教學(xué)中的學(xué)生學(xué)習(xí)之所以出現(xiàn)淺學(xué)習(xí)的情形，一個重要原因是，教師在教學(xué)中更多的將思路放在基于數(shù)學(xué)邏輯的推理上，盡管數(shù)學(xué)知識的體系離不開邏輯，但對于初中生來說，如果過多地側(cè)重于邏輯與推理，那學(xué)生的學(xué)習(xí)將失去認(rèn)知基礎(chǔ)，尤其將失去形象思維基礎(chǔ). 顯然，忽視了前概念的利用，學(xué)生的學(xué)習(xí)必將失去生活這個重要的根基. 那么，初中數(shù)學(xué)如何有效地利用學(xué)生的前概念呢？筆者在實踐的基礎(chǔ)上總結(jié)后認(rèn)為，前概念的利用主要還是應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)上.

例如，在“平行四邊形”的教學(xué)中，“兩組對邊分別平行”的認(rèn)知建構(gòu)并不是一個難點(diǎn)，但認(rèn)真研究學(xué)生的思維會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生所認(rèn)識的平行，很大程度上就是線的平行，是抽象思維加工的結(jié)果，但同時又是以想象表象的形式存在的. 而且學(xué)生大腦中關(guān)于平行四邊形的認(rèn)知往往是固態(tài)的而不是動態(tài)的，這樣的思維基礎(chǔ)在平行四邊形新知識學(xué)習(xí)時往往不會有太大的障礙，但在后續(xù)的問題解決中，往往會因為缺乏變化而形成障礙. 考慮到這個問題，筆者在平行四邊形新知學(xué)習(xí)時，充分讓學(xué)生表述自己對平行四邊形的理解，并舉出自己熟悉的事物來進(jìn)行說明. 這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)充分調(diào)動了學(xué)生的前概念，同時讓學(xué)生主動加工了自己的前概念. 如舉出生活中晾衣架的例子之后，還可以借助語言，描述出在推動晾衣架的過程中，平行四邊形的變化情況，進(jìn)而判斷出這是角的變化而非邊長的變化. 而在判斷角的變化過程中又想到平行線的性質(zhì)，使得角度變化的判斷又從定性走向定量. 在這樣的變化過程中，學(xué)生對平行四邊形的表象要豐富得多，前概念自然也就利用得充分得多. 如果教師在此過程中再適當(dāng)引導(dǎo)，并注意提醒學(xué)生數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用，那這個學(xué)習(xí)過程就將學(xué)生的前概念與平行四邊形知識有效地聯(lián)系了起來，從而奠定了深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

此外，在問題解決中也有這樣的前概念利用機(jī)會，尤其是當(dāng)問題情境與生活素材相關(guān)且學(xué)生無法直接利用時，教師擇機(jī)激活學(xué)生的前概念也非常有益. 由于其機(jī)制與概念建構(gòu)大同小異，故這里不贅述.

求知識平衡，強(qiáng)化深度學(xué)習(xí)條件

這里所說的知識平衡，主要是指事實性知識與概念性知識的平衡. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必然會基于事實性知識建構(gòu)概念性知識，這兩者偏執(zhí)于任何一端，學(xué)習(xí)都不能走向深度學(xué)習(xí).

有研究者指出，事實性知識與概念性知識的平衡是一個雙向過程. 如果學(xué)生的原有概念框架已經(jīng)形成但運(yùn)用不暢，則需要充實事實性知識，以讓學(xué)生更好地理解、運(yùn)用概念；如果學(xué)生的事實性知識豐富，則可以讓學(xué)生在事實性知識的基礎(chǔ)上提煉概念性知識，以使概念的形成更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教學(xué)“勾股定理的逆定理”時，筆者注意到學(xué)生在此前學(xué)習(xí)勾股定理的時候，已經(jīng)研究了較多的直角三角形，更重要的是，在這個過程中，由于自然的邏輯思維作用，學(xué)生也已經(jīng)開始思考如下問題：如果滿足a2+b2=c2，那這個三角形是不是就是直角三角形了呢？筆者判斷，在這樣的思維中，學(xué)生的事實性知識充足而概念性知識需要補(bǔ)充，于是教學(xué)中就進(jìn)行了這樣的設(shè)計：首先，基于學(xué)生已有的經(jīng)驗，引出“如果滿足a2+b2=c2，那這個三角形是不是就是直角三角形”這個問題，并讓學(xué)生基于直覺判斷“是”還是“不是”——這一步的目的是提取學(xué)生的事實性知識. 其次，讓學(xué)生基于已有的勾股定理以及產(chǎn)生的問題，明晰“互逆命題”這個概念，并讓學(xué)生判斷，如果原命題正確，那其逆命題是否一定正確. 這需要學(xué)生舉出此前熟悉的其他例子來佐證，從而為判斷勾股定理逆命題正確與否提供更多的概念性知識. 最后，讓學(xué)生證明勾股定理的逆命題是否成立. 具體的證明過程延續(xù)傳統(tǒng)的教學(xué)思路，但在學(xué)生認(rèn)同了勾股定理逆命題的正確性，并建立了互逆定理的認(rèn)識之后，再讓學(xué)生回過頭來反思剛才的學(xué)習(xí)過程，并有意識地從事實性知識與概念性知識兩個角度幫學(xué)生建立聯(lián)系，以讓學(xué)生認(rèn)識到勾股定理逆定理的建立既需要前面豐富的直角三角形知識作為支撐，同時需要經(jīng)由嚴(yán)密的邏輯推理來形成互逆命題，進(jìn)而形成互逆定理. 事實證明，經(jīng)由這樣的過程，學(xué)生的思維是充分的，建立勾股定理逆定理的過程是豐富的，學(xué)生關(guān)于直角三角形中勾股定理的正反運(yùn)用認(rèn)識是深刻的，這是一個有效的深度學(xué)習(xí)過程.

事實性知識與概念性知識的平衡，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體演繹中是否拿捏得當(dāng)，取決于教師對學(xué)生思維中兩種知識的了解程度. 教師只有知道學(xué)生原有認(rèn)識偏向于哪一種類型的知識，才能在教學(xué)中有效地向另一知識牽引，從而讓學(xué)生在追求知識平衡的過程中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

重思想方法，保障深度學(xué)習(xí)發(fā)生

對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)思想方法的重要性不言而喻. 早在課程改革之初，數(shù)學(xué)思想方法就成為重點(diǎn)關(guān)注的對象之一，且在課程改革推進(jìn)的過程中引發(fā)了各路專家的熱議. 與其他討論點(diǎn)不同的是，數(shù)學(xué)思想方法的重要性是公認(rèn)的，而對于如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，則出現(xiàn)了多元主張. 在深度學(xué)習(xí)的研究視域中，思想方法與學(xué)科本質(zhì)高度相關(guān)，而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，思想方法的建立更與學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識有關(guān). 筆者以為，只有真正建立了對數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)認(rèn)識，才能讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育得到保證.

坦率地講，當(dāng)前初中生對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識是偏頗的，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)就是套公式解題，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是為了追求計算的準(zhǔn)確性，而這些認(rèn)識又恰恰是在“刷題”的過程中形成的. 對于絕大多數(shù)一線教師來說，有效的應(yīng)試手段仍然是“刷題”，這個現(xiàn)象無法回避，但筆者仍然認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)中，在將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于問題解決的過程中，要滲透數(shù)學(xué)思想，這不僅對應(yīng)試有益，對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育來說，更是必要條件.

教學(xué)“勾股定理”時，教師可以給學(xué)生呈現(xiàn)古今中外一些勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明史實，讓學(xué)生在對趙爽的“勾股圓方圖”，對畢達(dá)哥拉斯研究地磚的構(gòu)圖中，自然調(diào)動合情推理的思維方法，并利用數(shù)形結(jié)合（拼圖方法）去完成證明過程，同時在問題解決中又有從復(fù)雜圖形中抽象出勾股定理數(shù)學(xué)模型的過程……在這些過程中，學(xué)生的顯性任務(wù)是證明勾股定理，是利用勾股定理解題，隱性任務(wù)是對數(shù)學(xué)思想方法的體驗，這個體驗過程如果得到教師的有意強(qiáng)調(diào)，尤其是基于數(shù)學(xué)思想方法的強(qiáng)調(diào)，那學(xué)生就會認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法在這些過程中所起到的作用，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效發(fā)生.

構(gòu)學(xué)習(xí)模型，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)定型

關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的深度學(xué)習(xí)，還需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，即學(xué)習(xí)模型的建立. 這個模型與數(shù)學(xué)建模相關(guān)，但又不完全相同，其主要是指學(xué)生在對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)識的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本身模型化. 譬如數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)入八年級之后，必須有一個清晰的對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)模型的認(rèn)識，知道一個數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷哪些過程，需要哪些素材的支撐，需要用什么樣的數(shù)學(xué)語言去描述等.

例如，學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時，學(xué)生必須清晰地認(rèn)識到，只有在具體事實中分清常量、變量、自變量等基本概念，函數(shù)的概念才能最終形成；而要準(zhǔn)確地描述一個函數(shù)，還需要關(guān)注自變量的取值范圍；函數(shù)通常都可以用圖像來描述等. 這些常規(guī)性的認(rèn)識，必須成為概念學(xué)習(xí)的直覺性認(rèn)識，這樣才能為深度學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)品質(zhì)保證.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，需要教師基于學(xué)生的學(xué)習(xí)心理而刻意引導(dǎo). 只有這樣，才能保證核心素養(yǎng)的培育有一個科學(xué)可行的途徑.