龐彥福 許彬

【摘 要】運算錯誤是大多數(shù)學生容易犯的錯誤。在學與教的過程中，教師應不僅要求學生訂正錯誤，進行糾錯，更應該引導學生研究錯誤，弄明白運算錯誤的背后是什么。引導學生從“糾”錯到“究”錯，不斷實驗和反思；在“錯誤”中“體悟”，以彰顯思維的品質；在“繁則思簡”的過程中，凸顯思維的深度，以達到在錯誤中進行學習和進步的目的。

【關鍵詞】運算錯誤；運算能力；初中數(shù)學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）11-0033-03

【作者簡介】1.龐彥福，江南大學附屬實驗中學（江蘇無錫，214062）教師，正高級教師，江蘇省特級教師，無錫市初中數(shù)學名師工作室主持人；2.許彬，江蘇省蘇州中學園區(qū)校（江蘇蘇州，215000）教師，高級教師。

2017年江蘇省“教海探航”征文競賽頒獎儀式暨全國名師課堂教學觀摩研討活動中，筆者分享了關于學生運算錯誤的相關思考，并執(zhí)教了一節(jié)關于“有理數(shù)運算”的復習課。之所以選擇與運算相關的復習課，原因一是初中生運算能力有待提高的現(xiàn)狀，二是復習不僅是總結、歸納、提升的過程，也是反思、“究”錯、改錯的過程，它是數(shù)學學習的重要環(huán)節(jié)，需要我們加以研究。

認知心理學認為：錯誤是學習的必然產物，學生的知識背景、思維方式、情感體驗、表達形式往往和成年人不同，他們在學習過程中出現(xiàn)各種各樣的錯誤是十分正常的。錯誤并不可怕，反思、改錯是數(shù)學學習的一個重要環(huán)節(jié)。通過對錯誤的訂正、反思及研究，教師更好地促進學生對學習中產生的問題進行思考，從錯誤中進行學習。

運算能力是學習數(shù)學的重要能力。它主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力，一般包括學生數(shù)學學習過程中的運算正確率、運算速度以及運算方法的合理性，它是數(shù)學各項能力的基礎。多年的教學實踐與經歷告訴我們，初中學生在運算時主要存在運算習慣不好、運算順序不清、運算律不熟等問題，從而出現(xiàn)運算錯誤。那么，教師如何幫助學生視“錯誤”為“拐點”去提升運算能力呢？筆者以為有如下策略。

一、學會從“糾”錯到“究”錯

通常情況下，學生出現(xiàn)運算錯誤時，教師會讓他們訂正，或者是反復訓練。這是因為運算能力需要經過多次反復訓練，螺旋上升，逐步形成。在這一過程中，安排一定數(shù)量的練習，完成一定數(shù)量的習題是必不可少的。當然，教師在訓練時要把握好“度”，區(qū)分清楚什么是“必要的重復”，什么是“機械訓練”，什么是“多做題目”，什么是“題海戰(zhàn)術”。如果題量過少，訓練不足，難以形成技能，更難以形成能力；而題量過多，搞成題海戰(zhàn)術，反而適得其反，會使學生產生厭學情緒。

陜西師范大學羅增儒教授曾說：“沒有理解的練習是傻練，越練越傻；沒有練習的理解是空想，越想越空?！钡拇_，只有練習、訂正和糾錯是不夠的，數(shù)學學習需要從本質上理解數(shù)學的規(guī)范與原理，需要研究錯誤，弄明白錯誤的原因到底是什么。否則，不僅不能“熟能生巧”，很可能會出現(xiàn)“熟能生厭”“熟能生笨”，以致出現(xiàn)“熟能生亂”的情況，還會出現(xiàn)“越練越傻”“越想越空”的結果。

例如有這樣一道題：如圖1，根據(jù)圖中提供的信息，△ABC的面積是多少？

絕大多數(shù)學生很快得出答案是30（平方單位）。當教師問是怎樣思考的時候，很多學生認為這是簡單的送分題，根據(jù)三角形面積公式直接求就可以了。教師繼續(xù)追問時，有學生不耐煩地說：就是■×10×6=30（平方單位）。教師話鋒一轉，問道：有哪家的兒子比自己的父親大2歲的？學生一下子愣住了，沒有緩過神來。直到一位學生在黑板上畫出斜邊的中線CE時（如圖2），學生才恍然大悟：直角三角形的直角邊怎么可能大于斜邊呢，這道題目本身是不正確的。

學生對于不理解的錯誤可能會接受“糾錯”，即完成教師交給的“訂正”任務，卻不能保證下次不會再犯類似的錯誤。研究錯誤，弄清楚產生錯誤的原因，才可能從根本上糾正錯誤，才是真正的學習。

二、學會從“誤”中“悟”

飛速發(fā)展的社會，難免使教育沾染浮躁的氣息，在數(shù)學學與教的過程中“輕基礎重解題”的做法就是表現(xiàn)之一。這種做法的后果是學生不會思考了，更容易出錯了。例如“1元=1分”明明是不成立的，但學生面對所謂“完整”的計算過程卻發(fā)現(xiàn)不了問題在哪兒。再如，計算類似“”的式子時，學生往往是“只知其然，而不知其所以然”。

從“知道、領會、應用”到“分析、綜合和評價”，既是布盧姆認知目標的發(fā)展過程，也是體現(xiàn)學習者思維品質的遞進過程。數(shù)學學習的過程中，教師應該要引導學生常思常悟，這樣，他們才會不斷地追根求源，才會舉一反三，觸類旁通。

無論是數(shù)與式的運算，還是解方程與解不等式的運算，教師要引導學生在反復操練、相互交流的過程中，逐步形成運算技能，讓學生多想想“怎樣算”“怎樣算才好”“為什么要這樣算”，引導學生思考如何從“法則”到“算理”，使運算從操作層面提升到思維層面。學生會想了，領悟了，才會養(yǎng)成“先思后做”的習慣，有了好的習慣，才會在運算之前先看“是什么運算”，再看“什么數(shù)參與運算”，進而明白“怎樣運算才是合理的”。

我們都明白“凡事從簡單做起”的道理。我國古代著名哲學家、思想家老子有句名言：“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細?！币胱尦踔袑W生的運算過“關”越“坎”就應該立足學生實際，以生為本，留給學生足夠的時間，讓學生反思錯誤，對錯誤有所思、有所悟。引導學生從數(shù)學的角度思考并發(fā)現(xiàn)生活中的現(xiàn)象和問題，用數(shù)學的方法思考和解決生活中的現(xiàn)象和實際問題；學會用數(shù)學的眼光進行觀察（看），用數(shù)學的頭腦進行思考（想），用數(shù)學的語言進行表達（說）；學習數(shù)學應該學習它的理性精神和追求，學會在辨析、碰撞中求取真理。

三、學會從“繁”到“簡”

生活中人們常說“窮則思變”，數(shù)學學習的過程中，繁也要思變。初中階段的教育主要任務是打基礎，數(shù)學更應如此，數(shù)學訓練是要有一定的數(shù)量，更要有合理的質量。

當然繁與簡是相對的，必要的繁是為了簡，是提升思維的。曾聽過一位教師講解這樣一道題目：等腰△ABC的腰長為10cm，△ABC的面積為48cm2，求底邊長。

由于該班學生整體認知水平比較一致，學生基本上都知道作腰上的高，而且分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況（如圖3和圖4），接著求出答案。在具體的運算中，由于運算量大，不少學生出現(xiàn)了錯誤。執(zhí)教教師對錯誤的處理很值得點贊。教師讓學生把算錯的過程寫在一張紙上，另取一張紙寫上新的運算過程。過程如下：

類似地，可以算得圖4中BC=16cm。所以符合條件的底邊BC是12cm或16cm兩種情況。

我們看到，以上過程中教師引導學生不要輕易先算出每個平方數(shù)的結果，而是先思后算，邊思邊算，邊算邊思。當學生寫出完整的運算過程后，教師讓學生反過來回味運算的每一步，對比兩次運算的過程，學生就能體會到運算過程中的繁與簡，體悟到運算過程中的理性思維，欣賞算法、算理、法則的美妙及魅力，提高學習數(shù)學的興趣。

總之，教師要想學生學好數(shù)學，就應該先讓學生具備良好的運算能力。教師和學生一起正確對待錯誤、反思錯誤、研究錯誤，錯誤則會變成有用的資源，變成拐點，成為進步的起點和階梯。

【參考文獻】

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