◇劉家旎 蔡 維 姜瑞欣 鄧石磊

教材是專家學者智慧的結晶。下面，我們以“圓的認識”這節(jié)課為例，比較、分析中國和德國的小學數(shù)學教材。

一、我國的小學數(shù)學教材

目前，我國大陸小學數(shù)學教材的版本有：人教版、北師大版、滬教版、浙教版、蘇教版、西南師大版等，臺灣也有幾種版本（以下統(tǒng)稱臺灣版）。通過研讀教材，我們發(fā)現(xiàn)，我國多版教材，在內容的編排上有以下三個共同之處：

1.在情境中引入圓。

中國的教材都是從生活現(xiàn)象引入圓的。例如，北師大版教材從套圈游戲引入，西南師大版和滬教版教材從自然界和社會生活中形形色色的“圓”抽象出幾何中的圓。利用生活情境引入圓，可以讓學生感受到圓的美，體會到數(shù)學就在身邊，激發(fā)了學生學習的欲望。

2.在操作中探究圓。

在探究部分，中國的教材不約而同設計了層層遞進的操作探究活動，讓學生充分感知圓的本質特征。

首先，進行畫圓操作活動。例如，臺灣版教材呈現(xiàn)了四種畫圓方式：用圓形紙片進行描摹，用兩支筆和線畫，用直尺、鉛筆和圖釘畫，以及用圓規(guī)畫；浙教版教材要求用圓規(guī)畫圓和用其他工具畫圓。這樣設計，讓學生不僅學會了正確的畫圓方法，還初步體驗到圓的“定點和距離不變”特征，將畫圓和理解圓的特征結合起來，強化學生對圓的本質的認識。利用圓規(guī)畫圓引出圓各部分的名稱，即圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然、流暢。

其次，設計了一系列探究圓的特征的動手操作活動。例如，人教版教材是這樣設計的：沿著直徑折一折、畫一畫、量一量，會有什么發(fā)現(xiàn)？蘇教版教材是這樣設計的：折一折、畫一畫、比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？在這些由具體到抽象的操作活動中，讓學生自主發(fā)現(xiàn)半徑與直徑的特征和關系，逐步積累并建立起圓的正確表象，發(fā)展學生的幾何直覺和空間觀念。

3.在生活中應用圓。

探究出了圓的特征，中國的教材的編排又回歸生活，鼓勵學生用圓的特征解釋常見的生活現(xiàn)象，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光看問題，用數(shù)學頭腦想問題，增強學生的應用意識。例如，北師大版教材是這樣設計的：聯(lián)歡時，人們?yōu)槭裁磿蓤A形？窨井蓋、水滴泛起的漣漪為什么是圓的？為什么車輪都要做成圓形的？

二、德國的教材

德國小學只有四年，數(shù)學教材分四冊，目前有30多種不同的版本，學校教師可自主選擇教材。下面我們具體看看德國的教材對“圓的認識”的編排。

1.情境導入方式多樣。

以德國兩種版本的教材為例，一種是以象鼻熊命名的oldenbourg版，一種是以鴨子和猴子命名的westermann版，這些動物就好比我國人教版教材中的小精靈聰聰和明明。

德國這兩種版本的教材有著不同的開課設計。oldenbourg版教材的課題是：畫圓。開課設計了羊吃草的三個情境：

第一個情境：圖上做了記號的地方生長著可口的植物，山羊查理哪些夠得著，哪些夠不著？讓學生感知拴羊的繩子的長度決定羊吃草的范圍。

第二個情境：拴查理的繩子長3米，畫出山羊查理吃草的場所。引出圖形圓，并初步感知同圓中半徑相等。

第三個情境：農(nóng)民埃爾文想把第二只山羊麥基也用3米長的繩子拴在樁子上，他要把樁子放多遠，才能夠避免兩只山羊為吃草而打架？讓學生感知決定圓的位置、大小的因素。

教材設計這三個層次的情境，讓學生在研究山羊吃草的問題中逐步抽象出圓，體驗、感悟圓的特征，感受數(shù)學價值、發(fā)展思維能力。

再來看westermann版教材的“圓的認識”。該教材開課的設計就是觀察車輪畫圓，開門見山直奔研究主題——圓，接著展開活動：畫出不同半徑的圓，畫出不同直徑的圓。通過層層遞進的畫圓活動讓學生感受圓的特征。

2.動手操作活動豐富多彩。

雖然德國這兩種版本的教材開課設計不同，但在畫圓活動的設計中都留下了濃墨重彩的一筆。oldenbourg版教材在該課中設計了11個畫圓活動，westermann版教材設計了9個畫圓活動。oldenbourg版和westermann版教材都設計了：畫出指定半徑、直徑的圓，用圓規(guī)畫圓組成圖案。oldenbourg版教材還有以下畫圓活動：畫出小羊吃草的場地，畫出不同大小、相互包圍、相互交叉、相切的圓，徒手畫圓和用圓規(guī)畫圓的比較。德國的教材設計了豐富多彩的畫圓活動，對學生的動手操作能力和空間觀念的培養(yǎng)是大有裨益的。

三、兩國教材的不同之處

1.課題的區(qū)別。

以德國oldenbourg版教材為例，它的課題是“畫圓”。中國所有版本教材的課題都是“圓的認識”。

德國教材的特色體現(xiàn)在“畫”上，教材的編排都圍繞著“畫”展開。首先畫出小羊吃草的草地的形狀，接著畫大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓，然后是徒手畫圓和用圓規(guī)畫圓相比較，最后嘗試畫出由圓組成的復雜圖案。

德國的教材對本課的編排意圖是讓學生在“畫”中學，用“畫”解決問題，在“畫”中感知圓的特點、位置關系、大小，在各式各樣“畫”的活動中積累數(shù)學經(jīng)驗，感受數(shù)學價值，體驗成功喜悅。

中國的教材的特色體現(xiàn)在“認識”上。以北師大版和人教版教材為例，教材圍繞“認識”的主題，設計了以下環(huán)節(jié)：先從生活現(xiàn)象中感受圓存在的必要性；接著嘗試畫圓，自學圓的有關概念；再在畫、折、比、推理等過程中感悟圓的特征。

中國的教材這些環(huán)節(jié)的設計邏輯緊密、環(huán)環(huán)相扣，既有靜悄悄的思考、自學，又有熱騰騰的活動、交流。學生的學習途徑和方法是多元的，體驗是豐富的。

一個小小的課題反映出了兩國不同的教育理念。

2.邏輯順序的區(qū)別。

德國的教材是從現(xiàn)實問題“畫小羊吃草的區(qū)域”開始的，感知木桿（圓心）、繩子（半徑）、羊的吃草區(qū)域（圓形），感受同圓中半徑處處相等，逐漸從現(xiàn)實問題中抽象出圖形圓，再研究決定圓的大小、位置的因素。教材的設計是從具體到抽象，符合學生的認知規(guī)律。

以北師大版教材為例來看中國的教材編排的邏輯順序。從生活情境導入后，讓學生自主探究圓的畫法，學習圓的概念，研究圓的直徑、半徑的關系，以及圓的大小、位置的決定因素。當學生明晰了圓的特點之后，出現(xiàn)了生活中的問題 “車輪為什么是圓的”，學生通過小實驗嘗試著尋找答案，解釋生活中有關圓的現(xiàn)象。中國的教材是按照從“圖形研究”到“解決問題”的順序，體現(xiàn)了學以致用的思想。

3.側重點的區(qū)別。

德國的教材對于圓的特征只是讓學生感知，沒有關于圓、直徑、半徑概念的定義，也沒有研究同一個圓中直徑、半徑的長度關系，而對圓的位置和大小的探究活動設計得十分飽滿，通過畫大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓等過程，讓學生充分體驗圓的大小、位置和什么因素有關。

以德國westermann版教材為例，如圖1，A中的同心圓是位置相同、大小不同的圓，而B中是大小相同、位置不同的圓。學生在畫圓的過程中探究決定圓的大小、位置的因素，這樣可以充分培養(yǎng)學生的空間觀念?？梢?，德國的教材力求通過豐富、多層次的“畫圓”活動讓學生解決問題，體驗、感悟圓的特征，從而幫助學生積累活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念，感受數(shù)學的價值。

圖1 德國westermann版本

中國各種版本教材對圓的半徑、直徑的概念有規(guī)范的定義，并設計有折、比、畫、量等活動，讓學生在探究中認識圓各部分的名稱，發(fā)現(xiàn)圓的特征，意圖讓學生在探究活動中不斷衍生出新的疑問，促使學生在不斷的思索中豐盈、完善對圓的認知，建立新的認知結構，而對圓的位置和大小的探究環(huán)節(jié)略顯單薄，只是通過畫同心圓和大小相同、位置不同的圓來體會。