孫靜

摘要：由于教學(xué)進(jìn)度緊張，教師教學(xué)普遍重題海、輕概念，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)被動，缺乏思考，數(shù)學(xué)思維能力薄弱。本文以函數(shù)周期性概念教學(xué)為例，結(jié)合實(shí)踐探討如何以問題驅(qū)動為載體，設(shè)計出能推導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展的概念課。

關(guān)鍵詞：問題串;函數(shù)周期性

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）19-076-2

一、問題提出

筆者任教藝術(shù)高中，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍存在畏難情緒，知識掌握不牢。其根本原因在于教師教學(xué)以灌輸為主，學(xué)生學(xué)習(xí)流于表面、死記硬背，對數(shù)學(xué)概念缺乏科學(xué)認(rèn)知。為此，筆者嘗試關(guān)注數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。本文以三角函數(shù)周期性概念教學(xué)為例，探討如何在課堂中巧設(shè)“問題串”，搭建腳手架，有效促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、“問題串”教學(xué)法的介紹

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“問題串”是指圍繞一定的教學(xué)目標(biāo)或某個中心問題，按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精設(shè)一組問題。“問題驅(qū)動”教學(xué)法指根據(jù)一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，主題，把各個重、難點(diǎn)，巧妙設(shè)計成一系列層層遞進(jìn)的“問題串”，并以其為中心，組織有效教學(xué)的方法。

三、基于“問題驅(qū)動”的概念課教學(xué)實(shí)踐

1.巧設(shè)情景，感性體悟周期概念

從時鐘問題出發(fā)，設(shè)計了2個情境問題幫助學(xué)生，把具體問題抽象為數(shù)學(xué)周期現(xiàn)象，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有助培養(yǎng)學(xué)生抽象化歸能力。

問題1觀察時鐘為9月11日下午1點(diǎn)，但圖中卻只顯示1點(diǎn)？這會和昨天明天1點(diǎn)混淆？

歸納：把時間看做x，時鐘與之對應(yīng)位置為y，可抽象出函數(shù)y=f（x）。

問題2當(dāng)前時刻x所處位置與時針x+12小時后到達(dá)位置有何關(guān)聯(lián)？能否用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)？（答f（x）=f（x+12））

2.問題驅(qū)動，促進(jìn)概念自然生成

以三角函數(shù)線變化研究為切入，通過設(shè)置層層遞進(jìn)的“問題串”，使學(xué)生化被動學(xué)習(xí)，為主動探究。促進(jìn)函數(shù)周期概念的自然生成，提升學(xué)生分析解決問題的能力。

問題3結(jié)合正弦線變化思考，將角終邊繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)1周、兩周…，其正弦函數(shù)值間關(guān)系如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示？（答：sinx=sin（x+2π）=sin（x+4π）=…）

問題4結(jié)合三角函數(shù)線思考?xì)w納三角函數(shù)周期性？

（答：cos（x+2π）=cosx，tan（x+2π）=tanx）

除三角函數(shù)有周期現(xiàn)象，還有其他函數(shù)具有周期嗎？

問題5函數(shù)具有周期現(xiàn)象，則稱其為周期函數(shù)。思考用數(shù)學(xué)語言定義函數(shù)周期性？

生歸納定義，師糾正（1）T≠0;（2）強(qiáng)調(diào)自變量的任意性。

函數(shù)周期性重點(diǎn)仍為三角函數(shù)周期性，筆者著重對三角函數(shù)周期問題進(jìn)行設(shè)計，使學(xué)生經(jīng)歷知識概念的生成和完善過程，培養(yǎng)了學(xué)生自主鉆研，不斷深入的數(shù)學(xué)品質(zhì)，也加強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)識。

問題6正余弦、正切函數(shù)除2π外還有其他周期嗎？（答：從三角函數(shù)線得2kπ，k∈Z都為其周期。引出最小正周期概念）

3.例題探究，加深周期性本質(zhì)理解

例1直觀反映周期函數(shù)圖象的特點(diǎn)，加深學(xué)生對周期函數(shù)本質(zhì)的理解。例2需對周期定義有較深認(rèn)知，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和思維表達(dá)的能力。

例1若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示

（1）求該函數(shù)的周期;（2）求t=10s時鐘擺的高度。

例2求下列函數(shù)的周期：

（1）f（x）=cos2x;（2）f（x）=sin（x-π3）;

（3）f（x）=2sin（12x-π6）;（4）f（x）=3sin（-2x+π6）。

探究引申：影響函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）周期的是“ω”與“A和φ”無關(guān)且周期表示為2π|ω|。

4.深入探究，提升學(xué)生數(shù)學(xué)

通過問7把函數(shù)性質(zhì)普遍規(guī)律經(jīng)由例題思考挖掘凝練，形成更廣泛適用的規(guī)律，是數(shù)學(xué)活動的最高境界。教師通過設(shè)置拓展思考，給學(xué)生提供探究空間，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

問題7函數(shù)很多都具有奇偶、對稱等性質(zhì)，是否對稱軸或?qū)ΨQ中心“多”了就具備周期性？

引導(dǎo)觀察函數(shù)對稱性和周期性間關(guān)聯(lián)，提出猜想，舉例證明。

例3若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且關(guān)于直線x=b軸對稱，則f（x）是周期函數(shù)。

由函數(shù)關(guān)于直線x=b軸對稱得f（b+x）=f（b-x）;奇函數(shù)得f（-x）=-f（x），由草圖，如函數(shù)周期存在，則至少為4b。

f（4b+x）=f[b+（3b+x）]=f[b-（3b+x）]=f（-2b-x）=-f（2b+x）=-f（b+（b+x））=-f（b-（b+x））=-f（-x）=f（x）。

啟發(fā)學(xué)生從問題7和例3出發(fā)類比、推廣結(jié)論，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度和廣度。

引導(dǎo)推廣變式：若函數(shù)y

稱，且關(guān)于直線x=b軸對稱，則函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，4（b-a）是一個周期。

四、問題驅(qū)動下的概念課教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！盵1]數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以問題為載體，在興趣和疑問的驅(qū)動下，“喚醒”學(xué)生思維，“追究”知識的產(chǎn)生過程。[2]高一概念課教學(xué)應(yīng)注重概念課教學(xué)，數(shù)學(xué)文化和思維的滲透。設(shè)置合理的“問題串”，使學(xué)生化被動接受為主動學(xué)習(xí)，提升學(xué)生探究數(shù)學(xué)的興趣，有效提高課堂效率。

1.順應(yīng)學(xué)情設(shè)問題，促進(jìn)思維穩(wěn)發(fā)展

初入高中，很多學(xué)生難以適應(yīng)數(shù)學(xué)課難度高、容量大的特點(diǎn)。故數(shù)學(xué)課教學(xué)宜“慢，穩(wěn)”，應(yīng)重視數(shù)學(xué)概念課教學(xué)。問題驅(qū)動教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)概念知識為主線，從學(xué)生已有認(rèn)知水平出發(fā)，合理設(shè)計問題情境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。應(yīng)控制“問題串”的難度和切入點(diǎn)。并在動態(tài)教學(xué)中依據(jù)學(xué)生反饋，時時調(diào)整問題，抓住學(xué)生的思維火花，使學(xué)生思維得到連貫發(fā)展。

2.精設(shè)問題留空間，探究概念促能力

學(xué)生的自主探究和深度學(xué)習(xí)應(yīng)成為課堂教學(xué)的主線。筆者通過搭建學(xué)習(xí)腳手架，設(shè)環(huán)環(huán)相扣的7個問題，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念研究過程，感受數(shù)學(xué)魅力，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

3.關(guān)注概念巧遷移，強(qiáng)化思考重創(chuàng)新

概念課教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生對概念的靈活掌握和運(yùn)用。教學(xué)中，教師根據(jù)不同學(xué)情，靈活的設(shè)計發(fā)散性或探索性的問題，使學(xué)生能主動探究知識的遷移、推廣，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生思維能力的目的。如本課中設(shè)計了問題7和例3為周期性知識升華，學(xué)生必須根據(jù)例題2的研究方法，自主探究思考函數(shù)周期性的本質(zhì)規(guī)律，加強(qiáng)了學(xué)生對周期性理解的深度，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決問題的能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]吳鍔.基于問題探究凸顯數(shù)學(xué)思維—等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)實(shí)錄與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（09）.

=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對