陳婉清

[摘? ?要]近幾年的數(shù)學(xué)高考試題多考查學(xué)生對知識(shí)深層的本質(zhì)理解，而非表面的理解與復(fù)雜的計(jì)算。對數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘成為高水平數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須掌握的要點(diǎn)和必須教授給學(xué)生的技能。這部分知識(shí)往往是課本中沒有具體提及的“隱性知識(shí)”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，以“數(shù)學(xué)文化”為載體滲透高中數(shù)學(xué)“隱性知識(shí)”，不僅可以提高課堂的趣味性，還可以幫助學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。文章以人教A版高中數(shù)學(xué)教材選修2-1中“橢圓”的教學(xué)為例，以數(shù)學(xué)文化為載體，講述高中數(shù)學(xué)隱性知識(shí)。

[關(guān)鍵詞]隱性知識(shí);數(shù)學(xué)文化;圓錐曲線;橢圓

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）36-0042-04

一、引言

（一）隱性知識(shí)

世界經(jīng)濟(jì)組織（OECD）在《以知識(shí)為基礎(chǔ)的經(jīng)濟(jì)》的報(bào)告中，將知識(shí)分為四類：關(guān)于事實(shí)的知識(shí)（Know-what），關(guān)于原理的知識(shí)（Know-why），關(guān)于如何做好知識(shí)（Know-how），關(guān)于信息、來源的知識(shí)（Know-who）.將前二類稱為顯性知識(shí)（explicit knowledge），后二類稱為隱性知識(shí)（tact knowledge）.[1]

為了更好地學(xué)習(xí)隱性知識(shí)，相應(yīng)地把隱性知識(shí)分為易于顯性化和不易顯性化兩大類.心理學(xué)上已經(jīng)有證據(jù)表明，內(nèi)隱學(xué)習(xí)在一定程度上具有可理解特性.[2]這就為隱性知識(shí)顯性化提供了理論基礎(chǔ).

中學(xué)數(shù)學(xué)中的隱性知識(shí)包括課本上沒有提及的基本知識(shí);基本思想方法;基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及經(jīng)歷過程中的感受等方面的獲得等.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)充分重視學(xué)生對隱性知識(shí)的學(xué)習(xí)，因?yàn)?，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)良性發(fā)展的保障.

（二）數(shù)學(xué)文化

“數(shù)學(xué)文化”一詞的內(nèi)涵，簡單說，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展;廣泛些說，除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等.[3]數(shù)學(xué)文化無論對于深刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，還是全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展都具有重要意義.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中對高中數(shù)學(xué)課程性質(zhì)的定位寫道：“數(shù)學(xué)承載著思想文化，是人類文明的重要組成部分.”數(shù)學(xué)文化是在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程中形成和沉淀的.將“數(shù)學(xué)文化”這一要素加入中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，有利于學(xué)生更好地了解與理解數(shù)學(xué).

關(guān)于怎樣“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.”這一問題已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育行業(yè)熱議的問題.在數(shù)學(xué)課程中“突出數(shù)學(xué)主線”，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法;精選課程內(nèi)容，處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的“滲透”，那么，關(guān)于“怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)知識(shí)的來源”這兩類屬于數(shù)學(xué)隱性知識(shí)的部分，就可以作為凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法的載體，在數(shù)學(xué)課程中是必要的，也是非常值得教育工作者進(jìn)行研究的.

（三）以數(shù)學(xué)文化為載體，滲透高中數(shù)學(xué)隱性知識(shí)的重要性

一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師的標(biāo)準(zhǔn)之一，就是把教材中沒有編寫出來的數(shù)學(xué)知識(shí)（隱性知識(shí)）教授給學(xué)生，在高中階段以“數(shù)學(xué)文化”為載體去滲透數(shù)學(xué)知識(shí)，具有很好的可執(zhí)行性.從學(xué)生的角度看，一方面，學(xué)生在了解數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展過程中，可以更透徹地了解所學(xué)知識(shí)，從而樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，喜歡上數(shù)學(xué).另一方面，高中作為與大學(xué)銜接的階段，數(shù)學(xué)作為科學(xué)的“皇后”，大多數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)理論的形成與發(fā)展，是在各個(gè)學(xué)科的發(fā)展過程中根據(jù)需要逐漸形成的.通過數(shù)學(xué)文化的滲透，學(xué)生可以了解到自己感興趣的地方，進(jìn)而為繼續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.從教師的角度看，一方面，在教學(xué)活動(dòng)過程中，“教什么”要比“怎么教”重要，因?yàn)榻虒W(xué)內(nèi)容決定教學(xué)形式，教師如果在教學(xué)計(jì)劃中將教材里的隱性知識(shí)同教學(xué)內(nèi)容融會(huì)貫通，對于數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)是一個(gè)質(zhì)的飛躍.另外，“給學(xué)生一杯水，老師要有一桶水”.教師在數(shù)學(xué)隱性知識(shí)顯性化的過程中，自己必然要了解得更多，站在更高的知識(shí)角度，盡可能去發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)中的隱性知識(shí)，并且將這些知識(shí)以恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學(xué)生.這對于教師來講，是一個(gè)成長過程.另一方面，在課堂中，穿插講授數(shù)學(xué)文化，可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)課的趣味性，提高課堂教學(xué)效率，從而達(dá)到事半功倍的效果.

二、教材中與橢圓有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)

本文從人教版A版高中數(shù)學(xué)教材選修2-1第二章圓錐曲線方程“橢圓”這節(jié)內(nèi)容出發(fā)，以從課本中發(fā)現(xiàn)本節(jié)課存在的“隱性知識(shí)”為出發(fā)點(diǎn)，以“數(shù)學(xué)文化”為載體來補(bǔ)充橢圓的教學(xué)知識(shí).

（一）教材中的知識(shí)安排

從本節(jié)人教版教材編寫的順序來看，將“橢圓”安排在選修中，繼必修二學(xué)習(xí)過在坐標(biāo)系下建立直線與圓的方程，以及在本章節(jié)的第一節(jié)研究了一般曲線與方程的關(guān)系之后，引入橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程和其簡單的幾何性質(zhì).

教材以一個(gè)探究的旁白（如圖1）引入橢圓的第一定義，根據(jù)所得的橢圓幾何特征來選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的方程，進(jìn)而給出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]或[y2a2+x2b2=1（a>b>0）].在給出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后，教材以標(biāo)準(zhǔn)方程：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]為例來研究橢圓的幾何性質(zhì).

（二）教材知識(shí)內(nèi)容的局限性

教師設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程，往往逃脫不了教材的限制，可借助多媒體展示天體中行星或者衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡引入橢圓的概念.通過實(shí)驗(yàn)或課件演示教材中橢圓的形成，將橢圓從現(xiàn)實(shí)生活拉到數(shù)學(xué)世界.接著教師根據(jù)教材中所給出來的橢圓的第一定義，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用第一節(jié)所學(xué)的求一般曲線的方法來得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，萬變不離其宗.

但從學(xué)生對橢圓的理解程度來看，其并沒有很好地理解橢圓的“本質(zhì)”，只是單純地識(shí)記了標(biāo)準(zhǔn)方程[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]和一些簡單的性質(zhì).2008年，浙江高考理科數(shù)學(xué)第10題困擾了許多學(xué)生，這也說明了學(xué)生對橢圓存在著本質(zhì)上理解的不足.

如圖2，AB是平面[α]的斜線段;A為斜足，若點(diǎn)P在平面[α]內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得[ΔABP]的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）.

解決這道題的關(guān)鍵是到直線AB的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是圓柱面，而圓柱面被斜平面所截的截線當(dāng)然是橢圓.這就暴露了教材中沒有明確講出圓錐曲線最初是由圓錐或圓柱的截面得到的，學(xué)生頭腦中并沒有將橢圓的生活表象與橢圓的解析幾何表象聯(lián)系起來.[4]

三、對“橢圓”中隱性知識(shí)的挖掘

（一）隱性知識(shí)：圓錐曲線的起源

關(guān)于圓錐曲線的起源有兩種說法，一種是在制作日晷中（如圖3所示），隨著太陽的移動(dòng)，圓形晷盤上晷針影子尖端形成的曲線就是圓錐曲線.另一種說法與“倍立方”問題有關(guān)，公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底將“倍立方”問題歸結(jié)為求二次比的問題：對一個(gè)棱長為[a]的立方體，在[a]和[2a]之間確定[x和y]，使得[a：x=x：y=y：2a].用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來講，就是要同時(shí)解下面三個(gè)方程中的兩個(gè)：[x2=ay，y2=2ax和xy=2a2]，前兩個(gè)是拋物線方程，第三個(gè)是雙曲線方程.[5]

圓錐曲線出現(xiàn)在公元前4世紀(jì)，柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)克繆斯在解決“倍立方”問題時(shí)研究了圓錐曲線的性質(zhì).他用垂直于母線的平面去截頂角分別為銳角、直角和鈍角的正圓錐，得到橢圓、拋物線和雙曲線的一支（如圖4所示）.

再來看教材章節(jié)開頭目錄中的圖片（如圖5所示），這其實(shí)就是阿波羅尼斯（Apollonius，約公元前262-公元前190）所定義的圓錐曲線，他將圓錐曲線定義為：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線.在他的著作《圓錐曲線論》中，圓錐曲線也稱為“圓錐截線”，嚴(yán)格來講，被截的圓錐面有正圓錐面或斜圓錐面，得到的交線除了圓、橢圓、雙曲線和拋物線外，還包含三種退化情形（一條直線、一個(gè)點(diǎn)、兩條相交直線）.

關(guān)于阿波羅尼斯，他是第一個(gè)依據(jù)同一個(gè)（正的或是斜的）圓錐的截面來研究圓錐曲線理論的人，也是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人.其所著的《圓錐曲線論》（Conic Sections）共八篇，最后一篇已失傳.前三篇主要是歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的失傳著作的內(nèi)容，包括梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus，約公元前380-公元前320）和阿基米德（Archimedes，公元前287-公元前212）在這方面的工作.阿波羅尼斯在前人的基礎(chǔ)上去粗取精，按照歐幾里得《幾何原本》公理演繹的方式組織內(nèi)容，使知識(shí)系統(tǒng)化.《圓錐曲線論》含有許多獨(dú)到和新穎的創(chuàng)造性材料，幾乎網(wǎng)羅了圓錐曲線的性質(zhì).阿波羅尼斯將歐幾里得的幾何論證水平發(fā)展到極致，使《圓錐曲線論》成為數(shù)學(xué)史上的一座豐碑，他本人也被稱為古希臘“偉大的幾何學(xué)家”.[6]

在此之后，古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在他的《數(shù)學(xué)匯編》中證明了橢圓、雙曲線和拋物線的焦點(diǎn)-準(zhǔn)線性質(zhì)：到一定點(diǎn)（焦點(diǎn)）及定直線（準(zhǔn)線）的距離成一定比例的一切點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線.[5]即我們現(xiàn)在說的圓錐曲線的第二定義或統(tǒng)一定義.

（二）橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1.橢圓定義中的隱性知識(shí)

教材中所給的探究旁白中的作圖方法其實(shí)是16世紀(jì)初，意大利數(shù)學(xué)家蒙特與后來的荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰所做橢圓的方法.在這一階段，人們認(rèn)識(shí)到圓錐曲線并不只是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，也是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式.德國天文學(xué)家開普勒（Johannes Kepler，1571-1630）揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運(yùn)行，并發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率.[7]在這段時(shí)期里，坐標(biāo)系與解析幾何并未出現(xiàn).

17世紀(jì)解析幾何出現(xiàn)之后，法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)拋棄了古希臘人的定義方法，將橢圓定義為在平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡（也就是教材中的橢圓定義），并據(jù)此推導(dǎo)出了橢圓方程.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的隱性知識(shí)

教材中所給出的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是基于坐標(biāo)系下的推導(dǎo)方法.而在對橢圓方程的探究過程中，許多數(shù)學(xué)愛好者給出了更為自然的推導(dǎo)方法，我們有必要對其進(jìn)行了解.

（1）教材中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

根據(jù)橢圓的幾何特征，類比利用圓的對稱性建立圓的方程的過程.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓方程.

（2）橢圓方程推導(dǎo)中的隱性知識(shí)：橢圓發(fā)展過程中的四種推導(dǎo)方法

①余弦定理推導(dǎo)方法

如圖6所示，設(shè)[PF2=z]，因?yàn)閇PF1+PF2=2a]，所以[PF1=2a-z].

由余弦定理得[（2a-z）2=z2+4c2-4czcosθ=z2+4c2-4c（c-x）].

解得：[z=a2-cxa]

由勾股定理得[z2=a4-2a2cx+c2x2a2=y2+（c-x）2]

整理得[a2y2+b2x2=a2b2]即[x2a2+y2b2=1].

②利用橢圓第二定義進(jìn)行推導(dǎo)——離心率

如圖7所示，設(shè)[PF1PR=AF1AE=BF1BE=e]，[AB=2a]，[EO=ae]，[F1F2=2ae]，點(diǎn)[P（x，y）]的坐標(biāo)滿足[PF12=e2PR2][（ae+x）2+y2=e2ae+x2]，整理得[x2a2+y2a2（1-e2）=1]，記[b2=a2（1-e2）]即得[x2a2+y2b2=1].

3.橢圓簡單幾何性質(zhì)中的隱性知識(shí)

在這一塊講到橢圓的離心率——我們把橢圓的焦距與長軸長的比[ca]稱為橢圓的離心率，用[e]表示時(shí)，結(jié)合探究旁白中“[ba]與[cb]的大小能刻畫橢圓的扁平程度嗎？為什么？”來思考為什么要用[e=ca]來表示橢圓的離心率.

對于這個(gè)問題，[ba]與[cb]的大小可以用來刻畫橢圓的扁平程度，但相對于[ba]與[cb]來說，[ca]更具有優(yōu)勢.我們知道橢圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離值和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.第二定義中涉及的參數(shù)是[a]和[c]，為了保持一致，用[ca]來表示橢圓的離心率.

另外，圓錐曲線的統(tǒng)一定義為：“到定點(diǎn)距離與到直線距離之比為常數(shù)”，而這個(gè)常數(shù)的值恰好是[ca]，所以用[ca]表示離心率更具有統(tǒng)一性.

4.教材例題中存在的隱性知識(shí)

在講述完本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)后，教材中例5的設(shè)計(jì)隱含了橢圓的光學(xué)性質(zhì)（是指由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后，必經(jīng)過另一焦點(diǎn)，其等價(jià)于：橢圓上任意點(diǎn)的切線與兩焦半徑所成夾角相同），例6隱含了橢圓的第二定義.教師在講例題的過程中，可以結(jié)合例題，將題后所隱含的知識(shí)講給學(xué)生聽，為學(xué)生在接下來練習(xí)過程中思路的開拓奠定基礎(chǔ).

5.“橢圓”知識(shí)體系中隱含的數(shù)學(xué)思想方法

高水平教師在教學(xué)活動(dòng)中往往會(huì)對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“點(diǎn)睛”——結(jié)合教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.在“橢圓”的教學(xué)過程中，體現(xiàn)了分類與整合思想、函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想.在教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法隱性知識(shí)的滲透，無疑可以幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)的本質(zhì)，學(xué)好數(shù)學(xué).

四、小結(jié)

綜合來講，從教材中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)隱性知識(shí)，以“數(shù)學(xué)文化”為載體對教材中的隱性知識(shí)進(jìn)行挖掘，可以對教材中知識(shí)講授的順序做一個(gè)“發(fā)生過程”的補(bǔ)充，使知識(shí)看起來更為連貫，學(xué)生接受起來也沒有那么生硬.高水平的教師，能夠透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教授教材中顯性知識(shí)的同時(shí)，能挖掘出其后的隱性知識(shí).此時(shí)，教師的身上自然散發(fā)著一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)光華與氣息，攜自身的全部數(shù)學(xué)涵養(yǎng)融入教室，融入課堂，融入學(xué)生，學(xué)生由此汲取數(shù)學(xué)的豐富營養(yǎng).[8]

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 陳淑彬.隱性知識(shí)顯性化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].科技信息，2009（21）：637.

[2]? 高湘萍.隱性知識(shí)的獲得及其顯性化的心理途徑[J].全球教育展望，2003（8）：27-29.

[3]? 顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]? 王芳，汪曉勤.HPM視角下橢圓概念教學(xué)的意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（4）：57-60.

[5]? 鄒佳晨. 橢圓的歷史與教學(xué)[D].上海：華東師范大學(xué)，2010.

[6]? 王海青，李曉波.從阿波羅尼斯到柯西：“圓錐曲線”研究方法的變遷[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（10）：26-31.

[7]? 汪曉勤.橢圓方程之旅[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（4）：52-56.

[8]? 李祎.高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（6）：31-35.

（責(zé)任編輯 斯? ?陌）