朱瑩瑩

摘 ?要：在小學數(shù)學教學中，概念教學是重點內(nèi)容之一?！氨丁钡母拍罱沂玖藘蓚€數(shù)量之間的比較關(guān)系。對于三年級的小學生來說，正確建立“倍”的概念是存在一定的難度的?；诖吮尘埃恼聦Α氨兜恼J識”一課的教學進行了探究。通過兩次教學的對比，證明“倍的認識”一課的教學僅僅基于“運算”視角是不夠的，緊扣“關(guān)系”視角引導學生生成“倍”的概念才能達到事半功倍的教學效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學概念;“倍的認識”;課例研究

在小學數(shù)學概念體系中，“倍”的概念揭示的兩個數(shù)量之間的比較關(guān)系，其教學的關(guān)鍵在于引導學生深入體會這種數(shù)量比較關(guān)系，并且能夠準確地把握比較標準，從而實現(xiàn)更深層面的理解。那么，應當怎樣選擇有效的素材，怎樣沿著既定的序列呈現(xiàn)，才能使學生更深入地體會其間的關(guān)系以及標準呢？帶著這個問題，筆者對人教版小學數(shù)學三年級上冊“倍的認識”一課的教學進行了探究。

第一次教學嘗試：基于“運算”視角，對接“倍”的概念

針對“倍”的教學，其前提在于學生對乘法意義“幾個幾”的理解，將幾倍與“幾個幾”之間形成關(guān)聯(lián)?；谶@一認識，筆者進行了第一次教學設計與嘗試。

第一環(huán)節(jié)：基于原有認知，引入“倍的概念”。

（在黑板上分別貼出2個白蘿卜與2個紅蘿卜的圖片。）

師：白蘿卜和紅蘿卜在數(shù)量上存在著怎樣的關(guān)系？

生：白蘿卜和紅蘿卜的數(shù)量相等。

（然后在黑板上貼出兩個紅蘿卜的圖片。）

師：此時白蘿卜和紅蘿卜之間的數(shù)量關(guān)系又是什么？

生1：紅蘿卜比白蘿卜多2個。

生2：白蘿卜比紅蘿卜少2個。

生3：紅蘿卜應該是白蘿卜的2倍。

（上述教學環(huán)節(jié)中，基于學生的原有認知開展教學，要求學生辨析二者之間的關(guān)系，通過對比兩個數(shù)量的多少作為導入環(huán)節(jié)，由學生在自主探討的過程中引出數(shù)量上的兩倍關(guān)系。）

第二環(huán)節(jié)：引導動手操作，建立“倍數(shù)關(guān)系”。

師：首先將白蘿卜和紅蘿卜分一分、擺一擺，你如何確定它們之間是兩倍關(guān)系？

生1：因為白蘿卜是2個，紅蘿卜有兩個2個，說明紅蘿卜是白蘿卜的2倍。

師：回答很準確，以2個白蘿卜作為標準，并以此作為一份，那么紅蘿卜的數(shù)量可看成2份，說明紅蘿卜的數(shù)量是白蘿卜的2倍。

（上述教學環(huán)節(jié)中，為了幫助學生對“倍”的意義形成更深層面的理解，結(jié)合了一系列動手操作活動，使學生能夠?qū)⒊朔ㄒ饬x中的“幾個幾”與“幾倍”之間建立關(guān)聯(lián)，這樣學生在通過自主探究之后就能順勢得出正確的結(jié)論，再看到“倍”時，就會自主聯(lián)想到乘法。）

第三環(huán)節(jié)：引導變式比較，深化“倍的理解”。

在黑板上貼出6個黃蘿卜圖片，并提問：黃蘿卜和白蘿卜在數(shù)量上呈現(xiàn)怎樣的關(guān)系？可以先動手擺一擺，并說出你的見解。

（學生結(jié)合動手操作實踐展開思考。）

師：白蘿卜都是2個，為什么紅蘿卜是白蘿卜的2倍，但是黃蘿卜卻是它的3倍呢？

生：先將2個白蘿卜看作一份，因為黃蘿卜的數(shù)量是3個1份，所以就是它的3倍。

師：如果現(xiàn)在拿走2個紅蘿卜，則剩下2個紅蘿卜，此時紅蘿卜和白蘿卜在數(shù)量上呈現(xiàn)怎樣的關(guān)系？說一說你的想法。

生1：紅蘿卜是白蘿卜的1倍。

生2：我認為應該是0倍。

師：那么究竟是1倍還是0倍呢？誰能來說一說。

生3：我們首先將2個白蘿卜認定為一份，而紅蘿卜是2個，所以當然也是一份，由此說明紅蘿卜是白蘿卜的1倍。

第一次教學分析：僅僅基于“運算”視角，不能觸及“倍”的本質(zhì)

完成這一次教學之后，筆者以為學生已經(jīng)成功地掌握了“倍”的概念，然而在實際解題時，卻發(fā)現(xiàn)很多學生出現(xiàn)了不同的錯誤。如，讓學生說一說“誰是誰的幾倍”，或者說明“誰是標準”，很多學生都不能做出準確的表達;而且當學生看到“倍”時，大都只會聯(lián)想到乘法運算。基于上述錯誤，可以發(fā)現(xiàn)學生在腦海中所形成的“倍”的印象，僅是一種運算方式。很顯然，這是一種誤解，可是為什么會出現(xiàn)這一誤解呢？因為在具體的教學過程中，學生針對“倍”的理解僅局限于概念的表象——運算，并未觸及概念的本質(zhì)，也就是“倍”的關(guān)系。由此，筆者對教學活動進行重新設計，進一步明確教學重點，引導學生深入透徹地理解倍數(shù)關(guān)系，把握概念本質(zhì)。

雖然學生已經(jīng)能夠說出誰是誰的幾倍，也能充分利用乘法展開有效計算，但卻不能表明學生針對“倍”有了更深層面的準確認知。在實際運用的過程中，學生仍會出現(xiàn)各種各樣的困難和問題。導致這些問題出現(xiàn)的關(guān)鍵原因在于：首先，學生受制于現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)以及認知水平，從加法過渡到乘法時，學生的認知結(jié)構(gòu)必須要發(fā)生相應的改變。針對“倍”的學習，就是促使其認知結(jié)構(gòu)發(fā)生改變的一個關(guān)鍵契機，可見，基于認知結(jié)構(gòu)層面的轉(zhuǎn)變才是學習過程中最突出的困難;其次，知識點自身存在難度，對于“倍”而言，其并非是單一性的乘法結(jié)構(gòu)，而應當將其認為是乘法意義的進一步拓展和延伸，同時其中還涉及針對除法意義的理解，這必然會對學生的理解形成一定的阻礙。

于是，筆者對自己的第一次教學錄像進行了翻看，從中發(fā)現(xiàn)這次教學主要存在以下三個問題。

1. 學生不能深刻理解“倍數(shù)關(guān)系”

“關(guān)系”在生活中經(jīng)常會用到，聽起來非常簡單，但是立足于數(shù)學背景下針對“關(guān)系”一詞的理解，卻對學生形成了阻礙。課堂上，很多學生在聽到與“關(guān)系”相關(guān)的問題時，常常茫然不知所措。

2. 學生沒有深刻建構(gòu)“倍的概念”

在練習環(huán)節(jié)，筆者在黑板上畫出6個紅圈以及3個白圈時，很多學生都會回答6比3多或者3比6少，卻不會聯(lián)想到6里面有2個3，更不可能想到6是3的兩倍?？梢?，對于兒童的認知來說，從加法過渡至乘法并非易事。那么，怎樣才能實現(xiàn)順利有效的過渡呢？動手操作是一個極具可行性的有力舉措。在課堂教學之前，教師可以要求學生自主準備能夠擺動的學具，如圓紙片或者小木棒等，這樣學生在自主擺一擺的過程中就會自然聯(lián)想到分堆的方法，如把3張圓紙片分成一堆，6張圓紙片分成兩堆等，進而就能夠順勢提出所謂的“一堆”實際上就是“一份”，也可以稱其為一倍量。通過這種教學方式，學生能夠更自然地聯(lián)想到6里面有2個3，進而在腦海中初步建構(gòu)“倍”的概念。

可見，針對“倍”的認知需要經(jīng)歷一個過程，也需要教師放緩腳步，當學生能夠初步建構(gòu)“倍”的概念之后，再帶領(lǐng)他們動手圈一圈、擺一擺。只有經(jīng)歷這樣的過程，才能使學生對“倍”形成更深刻的認知。

3. 學生難以進行“倍”的表達

雖然有一部分學生能夠明確說出誰是誰的幾倍，還可以借助乘法展開有效的計算，但他們在表達時卻存在一定的阻礙。針對“倍”的教學，不僅要求學生能夠深入透徹地理解“倍”的含義，而且要能做出準確的表達。在進行表達的過程中，不必急于要求學生立刻給出標準的表達形式，而是靜靜地等待學生完善自主表達。結(jié)合學生的年齡特點可以發(fā)現(xiàn)，他們對知識的理解能力遠遠超過表達能力，表達不清晰很正常，所以在學生表達的過程中，可以結(jié)合畫圖等多元的方式，引導學生立足于多個角度展開正確表達，一方面是為了訓練其表達能力，另一方面也有助于深化對“倍”的理解。

第二次教學改進：緊扣“關(guān)系”視角，生成“倍”的概念

學生對“倍”這一概念的認知源于生活經(jīng)驗中的“一樣多”，于是筆者立足于學生已有的經(jīng)驗，并以此為基礎將“一樣多”成功地改造為“倍”這一數(shù)學概念，引導學生就此建構(gòu)正確的概念。

第一環(huán)節(jié)：基于原有經(jīng)驗，激活“關(guān)系”認知。

首先在黑板上板書“一樣多”，并向?qū)W生提問：大家看一看黑板上這三個字，究竟是怎樣的含義？

生1：用來比較數(shù)量，誰和誰比多少。

師：接下來我們要玩一個拍手游戲，我先拍手，大家跟著我拍，但是拍的次數(shù)一定要一樣多。

（教師拍了三下，學生也緊跟著拍了三下。）

師：為什么你們拍的也是三下？

生2：因為游戲的標準就是要和老師拍的一樣多，所以老師拍的數(shù)量就是標準。

師：那么我們接下來畫一畫，我畫的是正方形，你們要畫三角形，要求畫的一樣多。

①□——△

②□□□——△△△

師：你們?yōu)槭裁匆@樣畫呢？

生3：因為要和老師畫的一樣多，老師畫的數(shù)量是標準。

（在這個環(huán)節(jié)中，根據(jù)學生已經(jīng)具備的生活經(jīng)驗，選擇“一樣多”作為教學起點，結(jié)合拍手、畫圖等方式，對“一樣多”這一原有生活經(jīng)驗進行了兩個層次的不同改造：其一，就是跟著老師拍手，充分體會“一樣多”的概念;其二，要求學生“以老師為標準”，體會“標準”的含義，并將其改造為數(shù)學層面的“以誰為準”。）

第二環(huán)節(jié)：緊扣“關(guān)系”本質(zhì)，遷移“倍的概念”。

師：接下來我們?nèi)匀煌媾氖值挠螒?，我拍三下，你們要拍兩個一樣多，這該怎么拍？大家要開動小腦筋??！

（有的學生一連拍了6下，而有的學生是先拍3下，再拍3下。）

師：哪些同學拍得更好些？為什么？

生1：先拍3下之后，確認一下是否一樣多，然后再拍3下，這樣就能夠清晰地展現(xiàn)兩個一樣多。

師：接下來大家嘗試畫一畫“兩個一樣多”。

生2：○○○→□□□ □□□。

師：為什么會選擇這樣的方式來畫呢？

生2：因為首先要確定一個“一樣多”，然后以此為標準，兩個“一樣多”就要重復兩次，所以在畫圖的過程中必須把每一個“一樣多”分開。

（在這個教學環(huán)節(jié)中，緊扣“關(guān)系”這一本質(zhì)，引導學生進行拍手、畫圖等數(shù)學操作活動，這樣學生在這個過程中就基于“幾個一樣多”這一原有認知遷移出“倍的概念”，從而在頭腦中形成“倍的概念”的表征。）

第三環(huán)節(jié)：改造生活經(jīng)驗，建立“倍的概念”。

概念的形成不可能一蹴而就，需要立足于學生的生活經(jīng)驗，于是筆者組織了一次教學活動，要求學生“換個說法”。

師：現(xiàn)在我說“誰和誰一樣多”時，你們要回答“誰是誰的一倍”。

師：☆和□一樣多。

學生共同回答：☆是□的一倍。

師：☆是□的兩個“一樣多”。

生：☆是□的2倍。

師：大家可以想一想我們的現(xiàn)實生活，再說一說誰是誰的幾倍。

（以上教學環(huán)節(jié)中，在完成了對生活經(jīng)驗的改造之后，學生必然能夠意識到所謂“一樣多”實際上就是一倍，而兩個“一樣多”代表的就是兩倍，同時還能夠在這一過程中更自然地體會到“標準”以及“關(guān)系”的意義，成功地建構(gòu)“倍”的概念。）

基于兩次教學實踐，筆者深刻意識到針對“倍”這一概念的教學，如果立足于學生的已有經(jīng)驗，他們學的過程會更輕松，理解也更深刻。為什么會發(fā)生這樣的狀況？因為在教學過程中，“倍”這一概念的架構(gòu)是基于生活經(jīng)驗中的“一樣多”的，對于學生來說，在生活中積累了豐富的“一樣多”的經(jīng)驗，而當教師將其改造為數(shù)學概念之后，這些經(jīng)驗的積累便會讓學生易于理解數(shù)學概念，甚至幫助學生更準確地體會并把握“關(guān)系”以及“標準”。實際上在對“一樣多”這一經(jīng)驗進行改造時，只是將其換成了“倍”的說法，教師不需要耗費更多的精力，只需要結(jié)合簡單的操作活動，學生自然就能體會。這樣的學習活動，讓教師教得輕松，也讓學生學得非常輕松，其間還充滿著愉悅和諧的氛圍，廣受學生的歡迎。

可見，在教學過程中，很多數(shù)學概念的教學都能夠立足于生活中與此相對應的原型，因為學生在生活中已經(jīng)具備了相應的經(jīng)歷和體驗，能夠?qū)?shù)學概念所涉及的外延及內(nèi)涵形成更深層面的理解。在理解“倍”的過程中，正因為學生已經(jīng)掌握了原型，作為教師，只需要準確把握學生的生活經(jīng)驗并對其進行相應的改造即可。教師在教學數(shù)學概念時，只有了解了概念在生活中是否具備相應的原型，并準確把握概念的核心問題，才能夠使學生的學習更高效、更便捷。