樂海霞

【摘 要】類比是探究未知事物的工具，是數(shù)學(xué)活動中偉大的引路人。等比數(shù)列和等差數(shù)列僅一字之差，具有某種可比性，用類比思想去認識等比數(shù)列，體會類比是探究未知事物的引路人。

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列；類比；數(shù)學(xué)思維

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0061-02

1 教學(xué)內(nèi)容解析

本課來自人教A版必修5中的2.4節(jié).學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義、通項、性質(zhì)及前項和，對于特殊數(shù)列要探究哪些知識，運用哪些方法，學(xué)生有了一些經(jīng)驗。

本課研究內(nèi)容是等比數(shù)列，等比數(shù)列和等差數(shù)列僅一字之差，具有某種可比性，引導(dǎo)學(xué)生用類比思想認識等比數(shù)列，體會類比是探究未知事物的引路人。

難點在等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的差異使類比的結(jié)論有或然性，要引導(dǎo)學(xué)生分類討論。

2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）從實際問題抽象出數(shù)列模型過程中理解等比數(shù)列定義，掌握等比數(shù)列的通項公式、等比中項，理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。（2）從等比數(shù)列通項公式的探討過程中感受研究特殊數(shù)列的思路與方法；會用定義判斷等比數(shù)列，會求等比數(shù)列的通項公式、等比中項。（3）類比指數(shù)函數(shù)圖象，探索等比數(shù)列通項公式的圖象特征及與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系[1]。

3 學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)習(xí)《函數(shù)》，對函數(shù)的研究結(jié)構(gòu)和方法有了體驗，對指數(shù)函數(shù)有一定的認識；學(xué)習(xí)等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)和前項和，經(jīng)歷特殊數(shù)列研究的一般過程，有從特殊到一般、具體到抽象的思維經(jīng)歷。

4 教學(xué)策略分析

采用問題啟發(fā)和自主探究的教學(xué)方式。學(xué)生研究過等差數(shù)列，熟悉特殊數(shù)列要探究的知識及所用的方法。重點是用類比的方法探究等比數(shù)列的定義和通項公式，嘗試用已有知識去類比，使學(xué)生經(jīng)歷由表及里的探究

過程[2]。

5 教學(xué)過程

5.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過實例理解等比數(shù)列的概念。

（2）通過類比等差數(shù)列探索等比數(shù)列的通項公式，會根據(jù)定義判斷等比數(shù)列，會求等比數(shù)列的通項公式并簡單應(yīng)用。

（3）類比指數(shù)函數(shù)圖象，探索等比數(shù)列通項公式的圖象特征。

5.2 教學(xué)重點

等比數(shù)列的定義和通項公式。

5.3 教學(xué)難點

等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

5.4 教學(xué)過程

5.4.1 創(chuàng)設(shè)情境引入新課

師：《孫子算經(jīng)》卷下有題：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何。”

生：9，81，729，94，95，96，97，98。

師：從前后項來看，這列數(shù)有什么特點？

生：后一項比前一項是同一個常數(shù)。

師：有這個特點的數(shù)列在生活中很常見。細胞分裂個數(shù)組成數(shù)列1，2，4，8，……?！耙怀咧罚杖∑浒?，萬世不竭?！比舭选耙怀咧贰笨闯蓡挝弧?”，得到數(shù)列是：1，，，，……。還有銀行復(fù)利問題等。今天我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列。

意圖：從《孫子算經(jīng)》的名題引入，注重數(shù)學(xué)知識的歷史文化向度，讓學(xué)生體驗知識形成過程，享受數(shù)學(xué)的有用性、有趣性。

師：前面研究了等差數(shù)列的哪些內(nèi)容？

生：等差數(shù)列的定義，等差中項的概念，等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及前項和。

意圖：溫故知新，對所學(xué)知識起到先導(dǎo)作用，滲透類比思想。

師：從名稱看，等比數(shù)列和等差數(shù)列僅一字之差，有某種可比性，用什么方法來研究等比數(shù)列的哪些內(nèi)容？

生：用類比等差的方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義，等比中項的概念，等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式以及前項和。

意圖：明確本節(jié)課的任務(wù)：學(xué)什么？怎么學(xué)？

5.4.2 小組合作探究新課

參考任務(wù)單，類比等差數(shù)列，小組對等比數(shù)列中的知識點加以探究，小組內(nèi)討論、交流。

意圖：發(fā)揮學(xué)生主體性，體驗類比探究的過程，學(xué)生的獨立思考、同學(xué)間的合作交流，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力。

5.4.3 成果展示推進新課

展示一等比數(shù)列的定義

生：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q1 0），其符號語言是。

意圖：通過學(xué)生的獨學(xué)、合作等方式，類比得出等比數(shù)列的定義，嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列。

追問：（1）說出三個等比數(shù)列的公比；（1）9，81，729，94，95，96，97，98（2）1，2，4，8，……。（3）1，，

，，……。

舉例：（1）一個公比為的等比數(shù)列；（2）一個公比為的等比數(shù)列；（3）一個不是等比數(shù)列的數(shù)列；（4）一個既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列。

師生小結(jié)：，

意圖：引導(dǎo)學(xué)生理性思考，突出等比數(shù)列本質(zhì)屬性，加深對等比數(shù)列定義的理解。

聚焦一 等比中項的概念

師：要構(gòu)成一個等比數(shù)列，項數(shù)最少幾項？

生：3項

師：3項成等比，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：在與b中間插入一個數(shù)G，使，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做與b的等比中項.其符號語言表示為：G2=b，

生：任意兩個數(shù)都有等比中項？若G2=b，則，G，b成等比數(shù)列嗎？

生：不成立，當(dāng)，時，不成立。

師生完善小結(jié)。

意圖：等比中項是等比數(shù)列的特殊情況，通過學(xué)生的類比、探究，理解等比中項的概念。

探究二 等比數(shù)列的通項公式

師：若聚焦到等比數(shù)列的特定項，研究什么？

生：通項公式。（學(xué)生上臺板演推導(dǎo)過程）

老師提煉：若確定了一個等比數(shù)列的首項和公比，就可以求出通項公式。

意圖：類比等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)方法，經(jīng)歷等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，感受類比是偉大的引路人。

師：可從幾個角度來認識等比數(shù)列的通項公式呢？

生：方程角度和函數(shù)角度。

師：很好！從方程角度來看，有什么啟發(fā)？

聚焦二 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

師：若從函數(shù)角度來看，等比數(shù)列與什么函數(shù)有關(guān)？（請學(xué)生成果展示）

教師借助信息技術(shù)，幫助學(xué)生認識等比數(shù)列通項公式的圖象特征，歸納等比數(shù)列通項公式與指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系。

意圖：體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系，加強直觀感受，體驗數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。

5.4.4 成果運用內(nèi)化新課

例1.已知數(shù)列滿足：，求的通項公式。

變式：已知數(shù)列滿足：，，

（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求的通項

公式。

意圖：通過變式提高學(xué)生對知識的運用水平，熟練用定義判斷或證明數(shù)列是等比數(shù)列。

例2.一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第5項。

拓展：求例2中的第5項，除用知三求一的基本量思想，還有其他辦法嗎？

意圖：熟練知三求一過程，讓學(xué)生理解公式的本質(zhì)，拓展為下節(jié)課對性質(zhì)研究鋪墊。

5.4.5 歸納總結(jié)收獲新課

（1）歸納研究特殊數(shù)列的思路

生：知識體系上可學(xué)習(xí)特殊數(shù)列的定義、通項、性質(zhì)、前項和；思想方法上可用類比的方法學(xué)習(xí)新數(shù)列，推導(dǎo)通項公式時可用特殊到一般的歸納法。

（2）類比對你有什么啟發(fā)嗎？

生：學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列，可用類比的方法學(xué)習(xí)等和數(shù)列、等積數(shù)列。

生：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時，若、是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列，若、是等比數(shù)列，則數(shù)列也是等比數(shù)列嗎？呢？

6 結(jié)束語

師：我們用類比等差數(shù)列的方法，完成本節(jié)課的探究。我們感嘆：類比，一個偉大的引路人！但類比，僅僅是引路，怎么走，得靠自己一步一個腳印地走！只有這樣，我們才能領(lǐng)略到人生不一樣的風(fēng)景！

【參考文獻】

[1]閆桂琴.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010（7）.

[2]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育學(xué)（2版）[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.