任志燕

[摘? 要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形變換思想能夠幫助學(xué)生理解圖形內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律，尋找解題突破口，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié). 這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中，以現(xiàn)有幾何知識(shí)為載體，有意識(shí)地向?qū)W生滲透圖形變換思想，提高學(xué)生的解題思維. 文章結(jié)合教材幾何部分的教學(xué)內(nèi)容，就圖形變換思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透情況進(jìn)行了簡(jiǎn)要的分析說明，為教師的幾何教學(xué)提供參考.

[關(guān)鍵詞] 圖形變換;初中數(shù)學(xué);幾何;滲透

圖形變換思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，在初中平面幾何教學(xué)中，有意識(shí)地向?qū)W生滲透圖形變換思想，能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的本質(zhì)聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了對(duì)圖形變換掌握的要求，另外，從近幾年中考數(shù)學(xué)試題來看，圖形變換成為中考試題的壓軸題型，幾何變換正逐漸成為幾何學(xué)習(xí)的熱點(diǎn).

圖形變換思想是借助運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去研究幾何對(duì)象相互之間的關(guān)系，觀察目標(biāo)圖形在哪些數(shù)量和關(guān)系上出現(xiàn)了變化，在哪些數(shù)量和關(guān)系上沒有發(fā)生變化，從而揭示其中的規(guī)律. 圖形變換思想就是通過對(duì)圖形的變化，將復(fù)雜的不規(guī)則圖形變?yōu)楹?jiǎn)單的規(guī)則圖形，這是解決幾何問題的一種重要思路[1]. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)地向?qū)W生滲透幾何變換思想，不僅能夠幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

圖形變換思想的滲透不是幾節(jié)專題課就能夠講明白的，而是要借助教材中的多個(gè)教學(xué)內(nèi)容來完成滲透，這就要求教師平時(shí)要認(rèn)真研究教材，設(shè)置相應(yīng)的滲透方案. 例如，在垂線定理部分，利用直線旋轉(zhuǎn)90°的方式去定義垂線，體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的思想;在三角形內(nèi)角和等于180°的教學(xué)中，通過平移、旋轉(zhuǎn)將三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，體現(xiàn)了變換的思想. 又如在全等三角形的判定定理部分，通過運(yùn)動(dòng)平移、疊合兩個(gè)三角形來證明判定定理的正確性;在直角三角形定理部分的教學(xué)中，將線段繞某一端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，連接另一端點(diǎn)和起始位置與中點(diǎn)的任意一點(diǎn)，所得到的圖形必定為直角三角形;在平行四邊形性質(zhì)定理部分的教學(xué)中，將平行四邊形旋轉(zhuǎn)180°能夠與原圖形相重合，就可以得到對(duì)角、對(duì)邊的關(guān)系，從而體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的思想;在垂徑定理部分的教學(xué)中，利用圓的軸對(duì)稱性發(fā)現(xiàn)垂徑定理，滲透翻折變換思想等[2].

1. 借助生活實(shí)例進(jìn)行幾何變換思想滲透

圖形變換思想都是通過實(shí)際生活中的物體運(yùn)動(dòng)抽象出來的，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中向?qū)W生滲透這一思想時(shí)，可以從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例出發(fā)，這樣更加接近學(xué)生的認(rèn)知，有助于學(xué)生更好地抽象概念. 例如，在平移概念的引入部分，教師就可以選擇用推拉門的生活實(shí)例，這樣能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形平移運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的思考. 對(duì)于三種運(yùn)動(dòng)形式的變換思想也可以通過以下問題引出來：

如圖1所示，長(zhǎng)方形花壇ABCD的長(zhǎng)和寬分別為a米和b米，在花壇中有一條寬為x米的小路，除小路以外全部種上花朵，求要種花的部分土地的面積.

2. 借助幾何畫板進(jìn)行幾何變換思想滲透

幾何畫板的使用，給數(shù)學(xué)幾何教學(xué)帶來了方便. 借助幾何畫板，能夠?qū)㈧o態(tài)的幾何圖形變?yōu)閯?dòng)態(tài)的幾何圖形，便于學(xué)生理解，尤其是學(xué)生在理解平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換知識(shí)時(shí)，更是可以起到事半功倍的效果. 例如下面這一問題：

學(xué)生在解決這一問題的時(shí)候面臨著較大的困難，并沒有將旋轉(zhuǎn)的思想運(yùn)用上，依然是通過三角形的形狀去尋找對(duì)應(yīng)位置. 這時(shí)，教師就可以利用幾何畫板中的軌跡跟蹤點(diǎn)的功能，演示B點(diǎn)和D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，幫助學(xué)生理解幾何變換的過程，提高學(xué)生應(yīng)用幾何變換思想解決問題的能力，如圖2所示.

3. 借助變式作圖進(jìn)行幾何變換思想滲透

學(xué)生在初中階段開始接觸平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)的定義和性質(zhì)，但是思維水平還沒有達(dá)到理解應(yīng)用的程度，教師可以通過變式作圖的方式幫助學(xué)生加深對(duì)該部分知識(shí)的理解. 首先，可以通過位置變換的變式幫助學(xué)生理解圖形的旋轉(zhuǎn)變換. 如圖3所示，它們分別是以A為頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后圖形的頂點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離就是該三角形的邊長(zhǎng);圖4的旋轉(zhuǎn)中心在AC上，那么A和C點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離為OA和OC.

通過這樣的變式作圖，可以準(zhǔn)確了解學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)角的意義和作圖方式的掌握情況.

學(xué)中的滲透實(shí)例

1. 平移變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在平行線部分的教學(xué)中，教師可以通過實(shí)驗(yàn)幾何的方式設(shè)計(jì)教學(xué)：已知直線l，請(qǐng)同學(xué)們利用手中的直尺畫一條與之平行的直線. （引導(dǎo)學(xué)生利用三角板的不同角與直尺相對(duì)，完成畫圖，如圖5～圖7）

學(xué)生在小學(xué)階段就學(xué)會(huì)了作圖，這樣的圖形操作他們可以獨(dú)立完成，教師需要做的就是利用幾何作圖語言加以描述. 在具體操作過程中，利用三角板的一個(gè)角沿著直尺前后移動(dòng)，得到兩個(gè)相等的對(duì)應(yīng)角，從而得出一對(duì)同位角，這樣就構(gòu)成了兩條平行線. 學(xué)生在操作中通過變換不同度數(shù)的角，發(fā)現(xiàn)不論對(duì)應(yīng)角選擇多少度，最終目的都是要構(gòu)造一對(duì)同位角，從而得出了平行線的判定，也對(duì)平移變換的思想加深了認(rèn)識(shí).

2. 翻折變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在三角形部分的教學(xué)中，教師在對(duì)等腰三角形性質(zhì)部分進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以通過翻折運(yùn)動(dòng)引入，以操作實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行教學(xué). 例如：先引導(dǎo)學(xué)生觀察等腰三角形是否是軸對(duì)稱圖形，尋找它的對(duì)稱軸. 然后，沿著對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)等腰三角形兩條邊、兩個(gè)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)等會(huì)重合到一起，向?qū)W生提出問題：為什么它們會(huì)重合到一起呢？此時(shí)，教師提示學(xué)生并展示折紙過程. 另外，在學(xué)習(xí)等腰梯形的時(shí)候，證明等腰梯形的軸對(duì)稱性對(duì)學(xué)生來說有一定的難度，教師可以引入翻折思想，通過剪一剪、折一折來探究等腰梯形的軸對(duì)稱性. 例如：通過剛才的操作，我們證明了等腰三角形的軸對(duì)稱性，下面我們就來證明一下等腰梯形的軸對(duì)稱性質(zhì). 首先請(qǐng)同學(xué)們剪出一個(gè)等腰三角形，然后在這個(gè)等腰三角形的基礎(chǔ)上剪出等腰梯形. 期間引導(dǎo)學(xué)生思考，如何才能夠剪出等腰梯形. 剪出等腰梯形后，將等腰梯形進(jìn)行翻折，觀察翻折后的結(jié)果. 最后，引導(dǎo)學(xué)生將自己觀察到的結(jié)果和操作過程用圖形語言和符號(hào)語言描述出來，并論證這一結(jié)果，如圖8～圖10.

3. 旋轉(zhuǎn)變換思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在四邊形部分的教學(xué)中，為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形的相關(guān)知識(shí)，教師采用在三角形基礎(chǔ)上構(gòu)造對(duì)角線，利用全等的方式來得出平行四邊形. 這種方法是幾何教學(xué)中常用的方法，學(xué)生雖然能夠記住相關(guān)的知識(shí)，但是對(duì)于圖形變換背后的中心對(duì)稱思想?yún)s不清楚. 為了能夠幫助學(xué)生直觀地探究平行四邊形的中心對(duì)稱性，就可以通過滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想來實(shí)現(xiàn). 例如，讓學(xué)生將平行四邊形行旋轉(zhuǎn)180°，通過圍繞對(duì)角線的交點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的圖形會(huì)和旋轉(zhuǎn)前的圖形相重合，然后仔細(xì)觀察還有哪些相等的數(shù)量關(guān)系. 進(jìn)而教師就可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出平行四邊形的性質(zhì)1、性質(zhì)2和性質(zhì)3.

小結(jié)

圖形變換思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想，其中的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折運(yùn)動(dòng)更是很多數(shù)學(xué)壓軸題包含的重要數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生解決這類幾何問題的關(guān)鍵. 在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，有意識(shí)地向?qū)W生滲透圖形變換的思想，能夠幫助學(xué)生理解圖形的本質(zhì)，解決圖形問題，同時(shí)，還能夠發(fā)展學(xué)生思維，提高學(xué)生解決幾何問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡松. 以“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”導(dǎo)引數(shù)學(xué)活動(dòng)——《幾何圖形》教學(xué)實(shí)錄與思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（1）.

[2]范登宸，劉運(yùn)河. 讓立體幾何圖形動(dòng)起來——介紹一種應(yīng)用《幾何畫板》軟件實(shí)現(xiàn)空間圖形直觀圖旋轉(zhuǎn)的方法[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1999（2）.