姜瑩瑩 盧衛(wèi)君

摘要：高等數(shù)學(xué)思想與初等數(shù)學(xué)競賽思想分別體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競賽的數(shù)學(xué)本質(zhì)。將兩者融合應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有利于教師在高觀點下指導(dǎo)完善數(shù)學(xué)教學(xué)模式和策略從而提高教學(xué)質(zhì)量，有利于教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變從而在融合應(yīng)用中提升自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。對學(xué)生而言，高階思維的指導(dǎo)有利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)學(xué)習熱情的高漲、個性品質(zhì)與能力的提升。本文探究了高等數(shù)學(xué)思想和初等競賽數(shù)學(xué)思想的契合之處，析出融合的數(shù)學(xué)思想，并通過教學(xué)實踐提出教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想 高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué)競賽 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 教師素養(yǎng)

0引言

長期以來，中國選手在國際上的數(shù)學(xué)競賽中的實力有目共睹。但在第11屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽（RMM）中，中國隊卻無一人奪得金牌，然而在獲得金牌的選手中不乏華裔選手的身影，這一現(xiàn)象不禁引起我們對當前數(shù)學(xué)教育的思考。新課改的深入對師生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高要求，但畢業(yè)升入大學(xué)后，卻發(fā)現(xiàn)這批大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)普遍不高，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在專業(yè)課的學(xué)習上略顯吃力，中學(xué)時的數(shù)學(xué)感性思維已達不到高等數(shù)學(xué)的理性分析要求。因此，在高觀點下指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)以發(fā)散學(xué)生思維并提升師生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是有必要的。

1高等數(shù)學(xué)思想與初等競賽數(shù)學(xué)思想的融合

數(shù)學(xué)思想不僅僅是解決數(shù)學(xué)問題的方法，也不僅僅是展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在價值和意義的載體，更是一種思維模式，是思考的過程。數(shù)學(xué)思想的滲透是潛移默化的，只要掌握了數(shù)學(xué)思想，即使忘記了在數(shù)學(xué)課堂上老師教授的相關(guān)問題的具體情境和解題步驟，也不會阻礙我們思考解決實際問題的方法。數(shù)學(xué)思想本無明顯的分界，因數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度、廣度、難度可以包羅萬象，為了使思想方法能為各個階段的人的思維能力所接受，將其進行細致劃分為各個階段的數(shù)學(xué)。因此，各個階段的數(shù)學(xué)思想的融合能展示出最完整的數(shù)學(xué)本質(zhì)。高等數(shù)學(xué)思想和初等數(shù)學(xué)競賽思想同為初等數(shù)學(xué)思想的進階，初等數(shù)學(xué)競賽思想介于高等數(shù)學(xué)思想和初等數(shù)學(xué)思想之間，能更好的為中學(xué)生思維的培養(yǎng)、知識的拓展、視野的拓寬而服務(wù)。

高等數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容貌似深奧，實則可用初等數(shù)學(xué)來解決。初等數(shù)學(xué)競賽多是以高等數(shù)學(xué)為背景，用初等數(shù)學(xué)解法來解決，很少用到高等數(shù)學(xué)中的高深的理論，卻可以借鑒高等數(shù)學(xué)的解題思維和思考方式。在目前的高中數(shù)學(xué)教材中，許多知識內(nèi)容已經(jīng)達到了競賽甚至高等數(shù)學(xué)的水平，只是在內(nèi)容呈現(xiàn)上更加簡明，要求掌握的程度相對偏低。但不可否認的是，高等數(shù)學(xué)“初等化”、數(shù)學(xué)競賽普及化已逐漸在滲透。

例如，柯西不等式作為高等數(shù)學(xué)中的重要成果，早期只在數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)，但在2003年頒布的高中課程標準選修系列《不等式選講》教材中加入了柯西不等式。利用不同方法證明柯西不等式的過程、簡單應(yīng)用柯西不等式的過程便是高等數(shù)學(xué)思想的最好體現(xiàn)。例如2017年高考浙江卷第15題：已知向量，滿足，，求的最小值和最大值。此題可借助最值函數(shù)與絕對值不等式的性質(zhì)，再利用柯西不等式求解，方法簡單且不易出現(xiàn)計算錯誤?？梢姡叩葦?shù)學(xué)以及初等數(shù)學(xué)競賽的思想、內(nèi)容正逐步滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中。

以高等數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)競賽思想指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，在一定程度上增強了師生的自信心，同時還能發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造新的思想方法，逐步提升創(chuàng)新意識。在應(yīng)用融合思想的過程中，還能拓寬學(xué)生的思維，從而找到更有效的解決問題的途徑，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)習融合的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生主動學(xué)習數(shù)學(xué)知識，形成知識體系，更準確把握知識的本質(zhì)和精髓，從而更容易掌握知識。在各類創(chuàng)新情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)取之生活，用于生活，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，從而激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的熱情和興趣。而教師在學(xué)習過高等數(shù)學(xué)理論知識的基礎(chǔ)上，對中學(xué)數(shù)學(xué)的知識、內(nèi)容、思想、方法等將有更深刻的認識，教學(xué)起來便也得心應(yīng)手，能夠引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)之奧秘，感受數(shù)學(xué)之美，學(xué)生興趣濃厚了，教師的自豪感和成就感也就增加了，工作熱情自然便能提高了。在挖掘高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競賽中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法時，教師勢必轉(zhuǎn)變已有的傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，對教學(xué)方法進行積極學(xué)習和研究，通過教學(xué)實踐提升自身數(shù)學(xué)教學(xué)素養(yǎng)。

本文把高等數(shù)學(xué)思想與初等競賽數(shù)學(xué)思想的融合之處簡稱為融合的數(shù)學(xué)思想。將融合的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要教師擁有良好的專業(yè)素養(yǎng)，需要教師對數(shù)學(xué)思想有深刻的把握和理解，對數(shù)學(xué)知識透徹掌握并能靈活運用，才能將思想轉(zhuǎn)化為教學(xué)能量輸送給學(xué)生。因此這樣一個探索教學(xué)的過程，也是教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的過程。而對于學(xué)生而言，對數(shù)學(xué)思想的消化吸收不僅利于靈活解題，也是對思維的創(chuàng)新訓(xùn)練。

2融合的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2。1聯(lián)想的思想

聯(lián)想的思想在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常用到。關(guān)于聯(lián)想的數(shù)學(xué)思維在波利亞的《怎樣解題》一書中有很好的體現(xiàn)。在波利亞的解題表中，第二步便是通過聯(lián)想的手段來制訂方案。聯(lián)想可以是未知與已知的聯(lián)想，特殊與一般的聯(lián)想，數(shù)與形的聯(lián)想等等。聯(lián)想是一種思維活動，也是一種心理活動，是求解數(shù)學(xué)問題的重要思維途徑。

例1：已知數(shù)列滿足：

分析：此題為2017年高考浙江卷第22題第（2）小題。按照因果聯(lián)想，分析題目的條件與問題，乍一看很難建立起聯(lián)系，并且由題設(shè)也不容易作出變形和轉(zhuǎn)化，不妨由問題入手。利用聯(lián)想的思想方法，要證明不等式成立，只要證明，即證。再將題設(shè)中的條件代入不等式，便只須證：

此時，問題轉(zhuǎn)化為“求證關(guān)于的函數(shù)的最小值大于或等于0”的問題。再利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可得證。

2。2數(shù)學(xué)抽象思想

在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)抽象思想多體現(xiàn)于概念教學(xué)，數(shù)與形的教學(xué)，數(shù)量關(guān)系之中。概念教學(xué)比如函數(shù)的概念、集合的概念、復(fù)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的概念等，這些數(shù)學(xué)概念都是抽象的。而函數(shù)往往要結(jié)合圖象來理解或分析，這就將函數(shù)抽象成數(shù)學(xué)圖象這一直觀語言來研究。在實際問題情境中，往往存在許多數(shù)量關(guān)系，要通過字母、數(shù)字建立方程、不等式模型，從而將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。

因此，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)抽象思想時，首先要從具體問題出發(fā)，由具體的形式抽象出數(shù)學(xué)的概念、定理等，比如通過對實際問題的分析抽象出函數(shù)的概念。其次，在教學(xué)中要注意將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，將抽象與形象相結(jié)合，比如將函數(shù)的單調(diào)性、周期性與圖象相結(jié)合。再次，注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力以及歸納類比能力，這樣才能通過大量實驗或類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律、特征，從而抽象出數(shù)學(xué)內(nèi)容，比如觀察圖形數(shù)量變化規(guī)律找到圖形數(shù)量與序數(shù)之間的關(guān)系，實際上是將數(shù)量規(guī)律抽象成數(shù)列這一數(shù)學(xué)語言。最后，將抽象思想與數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，共同促進教學(xué)。

初中階段，學(xué)生往往對抽象的概念茫然不知所措，總是用死記硬背的方式記住概念，比如函數(shù)，大多數(shù)學(xué)生甚至說不出函數(shù)是什么。函數(shù)的概念是浙教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材的第五章內(nèi)容，明確指出了函數(shù)的概念。函數(shù)的概念是抽象的，在教學(xué)中應(yīng)與具體的實例聯(lián)系起來，使學(xué)生逐步養(yǎng)成用辯證思維來理解抽象的概念。初中生對函數(shù)這一抽象概念的理解是需要時間沉淀和經(jīng)驗積累的。在函數(shù)概念的教學(xué)中，應(yīng)將重點放在概念形成的過程上，原因在于，函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生通過實例總結(jié)歸納出各個變量之間的對應(yīng)關(guān)系正是把握函數(shù)實質(zhì)的過程，是數(shù)學(xué)思想形成的過程。于教師而言，只有經(jīng)歷了高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)競賽的洗禮，才能看透初等數(shù)學(xué)中這些概念的本質(zhì)，才能引領(lǐng)學(xué)生少走彎路。

數(shù)學(xué)抽象思想的形成是由感性到理性的深入過程，是不斷內(nèi)化感悟的產(chǎn)物，不可能一蹴而就，而是在長期的積累沉淀中實現(xiàn)的。在教學(xué)中，教師應(yīng)當遵循循序漸進的原則，設(shè)計好教學(xué)活動，深化抽象思想。

2。3極限思想

極限思想指的是用極限的定義或概念來分析問題、解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。法國數(shù)學(xué)家柯西提出利用極限定義微積分，用和的極限來表示定積分。數(shù)學(xué)中的另一分支級數(shù)理論也以極限思想為基本工具研究函數(shù)。極限思想在大學(xué)數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，在數(shù)學(xué)分析教材中以數(shù)列極限、函數(shù)極限兩個章節(jié)來介紹極限的定義，并以微積分、級數(shù)章節(jié)來應(yīng)用極限思想。而在數(shù)學(xué)競賽中，極限思想也有廣泛的應(yīng)用。

極限思想在小學(xué)階段便有滲透，比如在人教版小學(xué)六年級教材中，求解0.9。此階段的小學(xué)生便對極限思想有了一定的體會，即“無窮”、“無限接近”的體會。又如圓的概念教學(xué)中，將圓分割成正多邊形，當邊數(shù)無窮多時，便近似為圓。中學(xué)階段利用極限思想解決問題的應(yīng)用較為普遍，比如在研究圓錐曲線時，離不開對漸近線的研究。學(xué)生普遍通過記公式掌握了漸近線的求法，卻很少有學(xué)生能準確說出漸近線的含義。在高等數(shù)學(xué)中，一般地，曲線的漸近線是這樣定義的：若曲線上一動點沿著曲線無限遠離原點時，該點與某一直線的距離無限趨于0，則該直線即為曲線的漸近線。在人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1教材中，介紹雙曲線的幾何性質(zhì)時首次提及漸近線，并在教材中指導(dǎo)教師利用信息技術(shù)演示雙曲線各支向外延伸時與兩條直線逐漸接近的過程，從而定義雙曲線的漸近線，指出雙曲線與漸近線無限接近，但永不相交。學(xué)生認識漸近線的過程實則是滲透極限思想的過程，然而，筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，眾多教師為了趕超教學(xué)進度，在平時教學(xué)中只一句話帶過，指出漸近線就是與雙曲線無限接近但不相交的直線，并給出求解公式。因此，學(xué)生很難把握漸近線的本質(zhì)含義，錯過了滲透極限思想的機會。

3結(jié)束語

高等數(shù)學(xué)思想與初等數(shù)學(xué)競賽思想的融合并不是難以企及的。在中學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)知識、內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)實際情景，通過有效的教學(xué)手段能夠?qū)⑷诤系臄?shù)學(xué)思想有效應(yīng)用和滲透于課堂中，并能促進學(xué)生思維的發(fā)散。融合的思想是高觀點下的思維方式和思考過程，包括但不僅限于聯(lián)想的思想、數(shù)學(xué)抽象思想、極限思想、模型思想。

時代在進步，數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用也更加廣泛，大數(shù)據(jù)時代更離不開數(shù)學(xué)這一基本工具，而中學(xué)階段的解題數(shù)學(xué)思想已經(jīng)不足以指導(dǎo)和推進思維的發(fā)散。因此，將融合的數(shù)學(xué)思想融入中學(xué)的教學(xué)，才能使師生開拓思維境界，為社會的發(fā)展提前奠定思想的基礎(chǔ)，亦是跟隨發(fā)展的大流。

基金項目：廣西民族大學(xué)2018年研究生教育創(chuàng)新計劃項目（編號：gxun-chxzs2018047）。

作者簡介：姜瑩瑩（1993.12—），女，浙江衢州人，廣西民族大學(xué)理學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士生，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育。

參考文獻

[1] 蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法[M].杭州：浙江大學(xué)出版社， 2018：2.

[2] 趙梓希.基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究[D].長沙：湖南師范大學(xué)， 2018.

[3] 沙月紅. “數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)培養(yǎng)的策略——以函數(shù)概念教學(xué)的教學(xué)設(shè)計為例[J].數(shù)學(xué)之友，2018（06）：43-44+46.

[4] 朱榮武.數(shù)學(xué)抽象思想的教學(xué)化解析及教學(xué)策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育， 2015（11）：13-15.

[5]田蕊.數(shù)學(xué)中的極限思想研究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2018，15（22）： 219-221.