摘 要：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的六大核心素養(yǎng)之一。如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，筆者嘗試建構(gòu)以數(shù)學(xué)思維為核心的教學(xué)，形成研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象或解決一類數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)模式：素材探究（現(xiàn)實(shí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）——概念表征（表示及分類）——性質(zhì)歸納——理解應(yīng)用，讓“數(shù)學(xué)抽象”螺旋上升，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)抽象；啟發(fā)性導(dǎo)學(xué)語；關(guān)聯(lián)性

“數(shù)學(xué)抽象”貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，反映了數(shù)學(xué)的一般性特征，是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。其素養(yǎng)的達(dá)成實(shí)際上就是要在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的精神實(shí)質(zhì)上下功夫，創(chuàng)建以思維為核心的課堂教學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的核心目標(biāo)。筆者在教學(xué)實(shí)踐中基于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，嘗試建構(gòu)以數(shù)學(xué)思維為核心的教學(xué)，形成研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象或解決一類數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)模式：素材探究（現(xiàn)實(shí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）——概念表征（表示及分類）——性質(zhì)歸納——理解應(yīng)用，讓“數(shù)學(xué)抽象”螺旋上升，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、 提供豐富性素材，轉(zhuǎn)換教學(xué)主體

研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象或是解決一類數(shù)學(xué)問題，往往需要經(jīng)歷從定性到定量，從具體到抽象，從宏觀到微觀的過程。這就需要根據(jù)學(xué)生不同的認(rèn)知風(fēng)格，提供一個(gè)位于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，蘊(yùn)含當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的豐富的情境素材，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)求知欲。其教學(xué)設(shè)計(jì)要由“知識(shí)點(diǎn)”拓展到“知識(shí)群”，從而在整體上把握知識(shí)的主線。

比如在《任意角》的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們可以這樣設(shè)計(jì)：以前我們是如何定義一個(gè)角的？它的范圍是多少？通過建構(gòu)情景1：手表慢了5分鐘，如何校準(zhǔn)？手表快了1.25小時(shí)，如何校準(zhǔn)？情景2：車輪向后滾了半圈，那么車輪的一條半徑OP旋轉(zhuǎn)了多少度？如果車輪向前滾了1圈半，那么車輪的這條半徑OP旋轉(zhuǎn)了多少度？其目的是回顧已有知識(shí)。創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生在解決問題的過程中感知任意角。

再請(qǐng)學(xué)生舉生活中所接觸到的不在0°～360°的角的實(shí)例，并加以說明。思考：刻畫以上所舉的角的關(guān)鍵是什么？結(jié)合具體實(shí)例，感受角的概念推廣的必要性。在如何刻畫角的問題討論中，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，認(rèn)識(shí)到刻畫這些角，不僅要用旋轉(zhuǎn)量，還要用旋轉(zhuǎn)方向。接著用任意角的概念來解釋校正表的問題和前面所列舉的例子。利用新概念重新認(rèn)識(shí)問題，并在問題的解決過程中加深對(duì)概念的理解。以同一射線為始邊作出下列角：210°，-150°，450°。讓學(xué)生感受沒有統(tǒng)一的參照系時(shí)，角的表示的不方便，由此引出在統(tǒng)一的直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的便利性。給出象限角的概念，同時(shí)也為下一步研究三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)。引導(dǎo)學(xué)生討論感受：說說在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處。

在這樣的教與學(xué)過程中，根據(jù)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)，教師為學(xué)生提供合理、豐富的素材和具體的實(shí)例，或者是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動(dòng)情境，學(xué)生從這樣設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)素材中學(xué)會(huì)抽象出數(shù)學(xué)概念的方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式去領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，由此提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

二、 設(shè)計(jì)啟發(fā)性導(dǎo)學(xué)語，再構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容

在數(shù)學(xué)問題解決中教會(huì)學(xué)生讀題，善于從題目的背景信息中提取有用信息，并通過不同對(duì)象的數(shù)學(xué)表征，再構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容，按圖索驥，形成知識(shí)體系，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，并提升解決問題的能力。

當(dāng)問題解決后，我們常常需要重新審視這道題的解題過程、策略和運(yùn)用到的思想和方法。在重新審視的過程中，我們還要對(duì)此類問題做一個(gè)梳理，在解決問題的過程中方向和方法的確定需要對(duì)思路進(jìn)行反思與修正等等，這一系列的思維過程需要通過平時(shí)教師啟發(fā)性導(dǎo)學(xué)語的設(shè)計(jì)不斷的固化和再抽象，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

啟發(fā)性導(dǎo)學(xué)語：

1. 題目中的哪些關(guān)鍵信息讓你聯(lián)想到相關(guān)的基本定義、公式、定理，這些相關(guān)聯(lián)的定理能解決問題嗎？如何打通它們之間的關(guān)系？

2. 題中哪些步驟容易發(fā)生錯(cuò)誤？原因是什么？

3. 如何防止或者如何才能避免錯(cuò)誤？

4. 有哪些經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)？

5. 解題中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法，具體是怎么運(yùn)用的？這個(gè)題有沒有其他解法？

比如過點(diǎn)P（1，-2）作圓x2+y2=1的切線，求切線方程。這題的解題分析可以先呈現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤資源，暴露學(xué)生知識(shí)缺漏。學(xué)生的做法是設(shè)過點(diǎn)P（1，-2）的切線方程為y+2=k（x-1），則圓心（0，0）到切線-kx+y+k+2=0的距離等于半徑1，即

|k+2|k2+1=1，解之得k=-34，則所求的切線方程為3x+4y+5=0。

教師通過啟發(fā)性導(dǎo)學(xué)語：題目的這個(gè)結(jié)果對(duì)嗎？你能檢驗(yàn)嗎？你能一眼看出來嗎？讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)解答結(jié)果的習(xí)慣，從“數(shù)”與“形”不同的角度積累簡單易掌握的借助幾何性質(zhì)檢驗(yàn)方法，提高答案的正確率。繼續(xù)追問：題中哪些步驟容易發(fā)生錯(cuò)誤？原因是什么？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)尋求知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，尋求解題突破口，形成解題思路，對(duì)其中所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)思想方法等方面進(jìn)行回顧，對(duì)知識(shí)方法的再梳理，再確認(rèn)，這樣深層次的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，提升了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)抽象的再抽象得以落實(shí)，從而進(jìn)一步養(yǎng)成一般性思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、 關(guān)注聯(lián)系性學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識(shí)總是以不同的特征和形式加以呈現(xiàn)，在學(xué)習(xí)中要關(guān)注其多元表征，關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系，掌握其聯(lián)通的方式，這樣的學(xué)習(xí)才能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，才會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待數(shù)學(xué)，觀察世界，從而引發(fā)思考，經(jīng)歷抽象過程，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。比如在《幾何概型》教學(xué)中，通過問題串完整體現(xiàn)了幾何概型的概念形成過程，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下，類比已有古典概型的形成過程與方法，通過五個(gè)實(shí)例的分析，發(fā)現(xiàn)幾何概型與古典概型之間的區(qū)別與聯(lián)系，打通了它們之間的聯(lián)通關(guān)系，逐步體會(huì)三種不同的幾何度量，從而加深對(duì)幾何概型的理解與應(yīng)用。這樣的設(shè)計(jì)目的是充分發(fā)揮這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)思維教育價(jià)值。

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不是通過一、兩節(jié)課就能提升的，這是一個(gè)螺旋上升的漫長過程。其培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)高中階段，應(yīng)落實(shí)在每節(jié)課的課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體、以開放性問題為主線的學(xué)習(xí)內(nèi)容再構(gòu)；重點(diǎn)關(guān)注知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，激發(fā)學(xué)生的深度思維，最終發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

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[3]晁豐成.讓“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在“概念教學(xué)”中落地[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（5）.

作者簡介：葉志娟，福建省廈門市，廈門市逸夫中學(xué)。