張昆 羅增儒

【摘 要】 數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的技術(shù)結(jié)構(gòu)有四個方面：一是教師針對某個數(shù)學(xué)問題應(yīng)獲得盡可能多的解題思路；二是教師選擇具體解題思路在課堂上進(jìn)行教學(xué)活動；三是確定解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；四是教師依據(jù)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)，以及其過渡性中介與數(shù)學(xué)問題所蘊(yùn)含的教學(xué)價值和教學(xué)目標(biāo)，將解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)。根據(jù)這四個環(huán)節(jié)的有效配置，教師可以優(yōu)化課堂解題教學(xué)的流程。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題；教學(xué)設(shè)計；解題形態(tài)；教學(xué)形態(tài)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意味著學(xué)習(xí)解題，數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重中之重。數(shù)學(xué)解題能力的高低，以及是否具備將解題能力轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)解題教學(xué)能力，是評判一個數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀與否的重要標(biāo)準(zhǔn)。因此，教師需要特別關(guān)注學(xué)生形成數(shù)學(xué)問題思路的某些關(guān)鍵環(huán)節(jié)，針對學(xué)生的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介設(shè)計教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生依靠自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)力量，重新萌生形成關(guān)鍵環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)觀念，而不是將自己所得到的結(jié)果和盤托出[1]。

一、探究問題解法是做好數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)

成功的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計對教師最為基礎(chǔ)的要求是，教師要認(rèn)真獨(dú)立地進(jìn)行解題活動， 要保持良好的解題“胃口”，對于具體的數(shù)學(xué)問題，要盡可能地尋找解決數(shù)學(xué)問題的方法，然后在獲得這些具體的解題方法的基礎(chǔ)上，分析學(xué)生學(xué)習(xí)具體解題方法的心理活動，設(shè)計有效的教學(xué)流程。下面以一道典型的高考壓軸題的解題教學(xué)過程進(jìn)行分析。

以上解法源自不等號左右兩邊表達(dá)形式的簡單對稱，實(shí)現(xiàn)了化整體的大小比較為個體的大小比較的目標(biāo)[2]，建構(gòu)出分項(xiàng)放縮的證明不等式的方法，打破了我們的思維定式。很多學(xué)生喜歡將部分累加化為整體，但是由于不等式③的右邊沒有理想的方法求出其和的表達(dá)式，因此，我們可以考慮將其左邊的整體化為某個數(shù)列的前[WTBX]n[WTBZ]項(xiàng)和的形式。這里具有逆向思維的方法，一般情況下是不容易想到的，它需要解題者具有突破思維定式的能力。這是一道用分析法證明不等式的典型題目。

該解法運(yùn)用了函數(shù)的思想，將證明不等式的“不小于”問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題。我們證明了設(shè)定的函數(shù)[WTBX]A（n）是單調(diào)遞增函數(shù)，即可由驗(yàn)證函數(shù)單調(diào)性的定義來解決問題。解法二雖然沒有解法一富有創(chuàng)造性，但是，將與自然數(shù)n[WTBZ]相關(guān)的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極小值的問題，也能給人耳目一新的感覺。然而，在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)設(shè)計中，這種探究出來的解題思路只是教師在課前準(zhǔn)備的，接下來需要教師選擇具體的解題思路進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，將解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)，從而為發(fā)揮解題教學(xué)價值，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)目標(biāo)奠定基礎(chǔ)[3]。那么，如何基于這兩種解題思路展開數(shù)學(xué)教學(xué)活動呢？

二、課堂教學(xué)活動中的具體解題環(huán)節(jié)的選擇

當(dāng)教師找到了具體的（有時可能不止一條）解題思路時，就應(yīng)該依據(jù)具體的教學(xué)目標(biāo)（數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)創(chuàng)新等），選擇某一種或兩種具體的解題思路，仔細(xì)揣摩不同學(xué)生解題的障礙點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)法通過教學(xué)法的處理，將學(xué)生可能出現(xiàn)困難的心理環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)化為啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)獨(dú)立地萌生解題思路，促使學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識、形成數(shù)學(xué)方法、生發(fā)數(shù)學(xué)觀念、吸取解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮數(shù)學(xué)解題的教學(xué)價值，實(shí)現(xiàn)具體的解題教學(xué)目標(biāo)。

對于例1的兩種解法，在有限的課堂教學(xué)中，教師需要做出具體的選擇，選擇的主要依據(jù)是借助這道題的解題活動與方法實(shí)現(xiàn)有價值的解題教學(xué)目標(biāo)，而解題教學(xué)目標(biāo)蘊(yùn)含于解題活動的過程之中，需要教師依據(jù)學(xué)生的個性特點(diǎn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以及社會對數(shù)學(xué)教學(xué)的具體訴求（如利用有價值的數(shù)學(xué)課程資源培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力等）進(jìn)行教學(xué)設(shè)計。解題教學(xué)目標(biāo)的側(cè)重點(diǎn)并不是固定不變的，它隨著教師所設(shè)計的課程進(jìn)度、學(xué)生的個性經(jīng)驗(yàn)、社會要求等的不同而不同。因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)目標(biāo)是辯證的，教師在設(shè)計解題教學(xué)目標(biāo)時，一定要具體問題具體分析。

例1的兩種解法，從形式上看，解法二比較簡潔，運(yùn)用了處理不等式問題時常采用的方法—— 利用函數(shù)的單調(diào)性與極值的相關(guān)知識解題。相對于解法一，這個方法及其所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識都是學(xué)生比較容易想到的。如果教師在課堂教學(xué)活動中選擇解法二，將不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。基于此，我們認(rèn)為，對于這道題的教學(xué)設(shè)計，教師在進(jìn)行課堂解題活動時，應(yīng)該優(yōu)先選擇解法一；如果時間允許，在課堂上完成了解法一的教學(xué)過程后，再簡要地啟發(fā)學(xué)生思考解法二。

三、數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵活動環(huán)節(jié)是將解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)

有了前面兩個環(huán)節(jié)的準(zhǔn)備工作，如何在課堂上將這種解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)，是決定教師課堂教學(xué)水平的關(guān)鍵。教師可以通過聽課或閱讀相關(guān)的解題教學(xué)設(shè)計論文等，從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中提升自己的解題教學(xué)能力。相對于數(shù)學(xué)解題能力，數(shù)學(xué)解題教學(xué)能力的實(shí)現(xiàn)基于一般的理論指導(dǎo)，其作用是比較弱的。我們還是以例1的解法一為例，展示將解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)的具體方法與途徑。（下文的省略號表示學(xué)生思維的中斷。）

生1：經(jīng)由對相關(guān)函數(shù)的賦值計算，可以得到[BFB]f（n）h（n）= （4n+3） n 6 ，[h（1）+h（2）+…+h（n）]= 1 + 2 +…+ n [BFQB]，于是由不等式①可知，只要證明 （4n+3[DK]） n 6 -[DK]（ 1 + 2 +…+ n [DK]）≥ 1 6 ②即可，但是……

師：這位同學(xué)成功地解決了一些外圍問題，雖然沒有涉及問題的核心，但是可以為進(jìn)入問題的核心創(chuàng)造機(jī)會。那么，如何處理不等式②而進(jìn)入問題的核心呢？

生2：由不等式②可知， （4n+3[DK]） n 6 與 1 6 都是具體的有限項(xiàng)，而 1 + 2 +…+ n 為無限項(xiàng)，因此，我想把有限項(xiàng)與無限項(xiàng)分離，于是，將不等式②變形為 （4n+3[DK]） n 6 - 1 6 ≥ 1 + 2 +…+ n ③的形式……

師：可惜了，這位同學(xué)沒有將這個想法繼續(xù)下去，從而轉(zhuǎn)化為有效的探究思路。大家有什么想法呢？

生3：比較不等式③的兩邊可知，不等式③的左邊是有限項(xiàng)，右邊為無限項(xiàng)。我的想法是可否將不等式③的右邊進(jìn)行計算，使它也變?yōu)橛邢揄?xiàng)，這樣就可以將其化為兩個具體的數(shù)的大小比較了。但是，實(shí)際上我沒有達(dá)到這個目的。

師：這位同學(xué)的這個想法，雖然在技術(shù)上我們難以具體執(zhí)行，但是，我們可以分析他的想法的心理來源。他可能是這樣想的：對于不等號（等號也是一樣），它所連接的兩邊的式子具有一種對等關(guān)系，不等式③的這種形式不是對等的。在“求簡”的數(shù)學(xué)觀念指令下，他想到了求不等式③右邊的一個表達(dá)式。可惜，我們辦不到。怎么辦？

生4：我們可以倒著想，既然不等式③的右邊不能直接相加得到一個結(jié)果，從而得到一個與不等式③的左邊形成一個對等的形式，那么，我想把不等式③的左邊轉(zhuǎn)化為一個具體的n項(xiàng)和的形式。但是，我沒有想好。

師：大家想想看，這位同學(xué)的這個解題思路是否可行？

生5：要實(shí)現(xiàn)這個想法，就要找到一個數(shù)列的n項(xiàng)和，使其等于

筆者在進(jìn)行這道題的解題教學(xué)設(shè)計時，對于解法一，沒有將自己的解題思路不加改造地傳授給學(xué)生，而是經(jīng)過教學(xué)法的加工，啟發(fā)學(xué)生在具體的解題背景下，依靠自己的數(shù)學(xué)知識與解題經(jīng)驗(yàn)自行地萌生解題思路，以此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，這種教學(xué)行為明顯優(yōu)于教師將自己的解題活動過程（特別是需要萌生的數(shù)學(xué)觀念）輕易地“奉送”給學(xué)生的教學(xué)行為。由此，我們可以歸納出數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的技術(shù)性結(jié)構(gòu)。

四、數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計對于教師的要求

通過例1的解題教學(xué)設(shè)計過程，我們可以得到數(shù)學(xué)解題教學(xué)對于教師的四個要求：一是數(shù)學(xué)教師針對某個數(shù)學(xué)問題應(yīng)獲得盡可能多的解題思路，教師獲得思路的最好方式是自己親自解題，因?yàn)榛谧约航忸}得到的思路，他會對自己的思路活動過程了如指掌，容易萌生某些數(shù)學(xué)觀念，從而容易發(fā)現(xiàn)并確定解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；二是選擇具體解題思路在課堂上進(jìn)行教學(xué)活動，因?yàn)閿?shù)學(xué)問題所蘊(yùn)含的教學(xué)價值對數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)具有非常重要的作用；三是確定解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；四是依據(jù)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，以及數(shù)學(xué)問題所蘊(yùn)含的教學(xué)價值、教學(xué)目標(biāo)，將解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)，從而設(shè)計課堂解題教學(xué)的具體流程。其實(shí)，這四個要求就組成了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的技術(shù)性結(jié)構(gòu)，對于這種技術(shù)性結(jié)構(gòu)的作用，我們在這里就不贅言了。

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)作為一項(xiàng)非常重要的教學(xué)目標(biāo)。波利亞說，我所解決的每一個問題都將成為一個范例，用以解決其他問題[4]。這對一線數(shù)學(xué)教師提出了非常高的要求。因此，教師一定要借助自己的數(shù)學(xué)（解題）教學(xué)實(shí)踐，多聽有經(jīng)驗(yàn)的教師的解題教學(xué)，不遺余力地集體或自己獨(dú)立地進(jìn)行解題教學(xué)研究，盡可能地閱讀解題教學(xué)設(shè)計論文，不斷完善自己的數(shù)學(xué)解題教學(xué)行為，為提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)水平而不懈努力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張昆，羅增儒. 數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計研究：指向滲透數(shù)學(xué)觀念的視點(diǎn)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2017（11）：15-18.

[2]張昆.滲透數(shù)學(xué)觀念 促進(jìn)深度遷移：基于發(fā)掘蘊(yùn)藏于知識中的教育價值探討[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（5）：6.

[3]張昆，張乃達(dá). 集中條件：數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵——教學(xué)設(shè)計的視角[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（3）：9-12.

[4]波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對解題的理解、研究與講授（第一卷）[M]. 劉景麟，曹之江，譯. 呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1979.