瞿鑫婷 汪曉勤 賈彬

【摘 要】 探究性學習（inquirybased learning）是近幾十年來全球科學和數(shù)學改革中的熱門話題，而數(shù)學史是探究性教學的指南。文章基于數(shù)學史的三角形內(nèi)角和探究活動的設(shè)計與實施，為HPM視角下的初中數(shù)學教學提供參考。

【關(guān)鍵詞】 探究性學習；數(shù)學史；HPM；三角形內(nèi)角和

一、引言

探究性學習（inquirybased learning）是近幾十年來全球科學和數(shù)學改革中的一個熱門話題。1991年，美國數(shù)學教師協(xié)會（NCTM）指出，探究是學生學習數(shù)學概念和知識重要的環(huán)節(jié)之一，包括探索、猜想、邏輯推理和評估[1]。2001年頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，使用了“探索”這一刻畫數(shù)學活動水平的過程性目標動詞，體現(xiàn)了對學生在數(shù)學思考、解決問題等方面的要求?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將“數(shù)學探究”作為初中數(shù)學課程的主要內(nèi)容之一，明確指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式。 學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！倍磐↗Dewey） 認為，探究是發(fā)現(xiàn)和學習的基礎(chǔ) [2]。研究表明，基于探究活動的數(shù)學教育能加強學生對數(shù)學的理解和思考，培養(yǎng)學生積極的態(tài)度和信念，提升學生的課堂參與度，同時提高創(chuàng)造力以及解決問題的能力[3]。

美國數(shù)學家和數(shù)學史家M克萊因曾指出，數(shù)學史是數(shù)學教學的指南[4]，據(jù)此我們可以說，數(shù)學史也是探究性教學的指南。英國學者福韋爾（JFauvel）指出，數(shù)學史為學生提供了探究的機會[5]。數(shù)學的概念、定理等都是經(jīng)過漫長的歷史不斷演進而來的，在數(shù)學教學中借鑒有關(guān)主題的歷史發(fā)展過程來設(shè)計探究活動，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，體會數(shù)學研究的方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，加深對數(shù)學的理解，從而踐行了弗賴登塔爾（HFreudenthal）的“再創(chuàng)造”理論，并體現(xiàn)課程標準的教學要求。

近年來，HPM視角下的初中數(shù)學教學日益受到一線教師的關(guān)注，HPM專業(yè)學習共同體所開發(fā)的HPM課例受到一線教師的歡迎。許多初中一線教師希望在實踐中運用數(shù)學史提高教學效果；但由于手頭缺乏資料且未掌握數(shù)學史融入數(shù)學教學的具體方法，他們在具體實踐中遇到了很大的困難。 為此，本文通過典型的初中HPM課例，呈現(xiàn)基于數(shù)學史的初中數(shù)學探究活動的設(shè)計和實施方法，為HPM視角下的初中數(shù)學教學提供參考。

二、探究式教學的過程

美國哥倫比亞大學的西格爾（MSiegel）教授在1998年就提出了數(shù)學探究式教學的四個階段：準備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評價與延伸[6]。該教學模式的具體活動內(nèi)容如下。

① 準備與聚焦：教師通過介紹數(shù)學活動，喚起學生對定義、證明等的初步想法，并在學生已有的知識基礎(chǔ)上挑戰(zhàn)學生的固有觀念，激發(fā)學生的學習興趣，確定探究的主題和目標。

② 探索與發(fā)現(xiàn)：學生針對教師提出的開放性問題提出猜想，并進行分析、推理與試驗，得到初步的結(jié)果。

③ 綜合與交流：教師協(xié)助學生進行小組討論，借由辨析、論證、研討的過程，獲得最后結(jié)果。在此過程中，學生表達自己的想法（如運用表格、圖形、證明等），回應他人的意見，教師適時引導或幫助學生得出一般結(jié)論。

④ 評價與延伸：教師歸納學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，對學生的參與、表現(xiàn)和學習進行評價，引導學生反思探究活動過程，學會將一般結(jié)論進行類比，并應用在其他數(shù)學情境中，對新知加以整理和拓展，激發(fā)更深層次的探究。

本文利用西格爾的四階段框架，對基于數(shù)學史的三角形內(nèi)角和定理的探究活動進行深入分析。

三、三角形內(nèi)角和課例分析

1三角形內(nèi)角和定理的歷史

（1）三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)

公元前6世紀，古希臘數(shù)學家泰勒斯（Thales）通過拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。泰勒斯可能已經(jīng)知道等腰三角形的兩底角相等，因而知道等邊三角形的三個內(nèi)角相等。首先，他發(fā)現(xiàn)將六個同樣的正三角形的某一個頂點置于同一點，恰好填滿該點周圍區(qū)域，因而正三角形六個內(nèi)角之和等于四個直角之和，三個內(nèi)角之和等于兩個直角之和。接著，他將六個同樣的等腰三角形的不同頂點置于同一點，其中的每一個頂點出現(xiàn)兩次，結(jié)果也恰好填滿該點周圍區(qū)域。最后，他用六個同樣的不等邊三角形來拼圖，也發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論。

（2）三角形內(nèi)角和定理的證明

為了證明三角形內(nèi)角和定理，古希臘數(shù)學家（如畢達哥拉斯學派、歐幾里得）大多是過三角形某個頂點，作對邊的平行線，從而將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角。現(xiàn)行教科書大多也采用這樣的方法。18世紀，法國數(shù)學家克萊羅（ACClairaut） 則利用平行線將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一對同旁內(nèi)角。

19世紀末20世紀初，西方教科書編者將古希臘的方法推廣到一般情形：不在某一頂點處作某一邊的平行線，而是過三角形某一條邊上的任一點作另兩邊的平行線，甚至過三角形所在平面內(nèi)任一點同時作三條邊的平行線。最后一種方法多用于三角形外角和定理的證明。

（3）避免使用平行線的嘗試

古希臘數(shù)學家普羅克拉斯（Proclus）試圖不用平行線來證明三角形內(nèi)角和定理。如圖1，過三角形[WTBX]ABC的三個頂點A、B和C，分別作底邊BC的垂線，則

這種方法可以推廣到一般的非垂直情形。

1809年，德國數(shù)學家提波特（BFThibaut）首次利用旋轉(zhuǎn)方法證明了三角形內(nèi)角和定理。如圖2，[WTBX]將BC所在的直線XY繞點B沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度β，到BA所在直線X′Y′；將X′Y′繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，到AC所在直線X″Y″。最后X″Y″繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度γ，到BC所在直線YX。從XY到Y(jié)X[WTBZ]，總共轉(zhuǎn)了180°。

2三角形內(nèi)角和探究活動的設(shè)計與實施

在課例“三角形內(nèi)角和”中，教師根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的歷史設(shè)計了如下探究活動（如圖3所示）。

（1）準備與聚焦

上課伊始，教師播放視頻（時長約2分鐘），追溯三角形內(nèi)角和定理的歷史：泰勒斯受生活中地磚鑲嵌的啟示，通過六個同樣的等邊三角形的拼圖，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于兩個直角之和；之后，畢達哥拉斯和歐幾里得相繼通過平行線證明了該定理。學生觀看視頻后，教師要求學生分組合作，探究以下問題：

利用不等邊三角形，能否發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理？

能否用不同于教科書和視頻中的方法（即畢達哥拉斯和歐幾里得的方法）來證明三角形內(nèi)角和定理？

（2）探索與發(fā)現(xiàn)

① 探索與發(fā)現(xiàn)一

學生將六個完全相同的不等邊三角形在一個點的周圍無縫隙、無重疊地拼成不同的圖形，部分拼圖如圖4所示。

從這些拼圖方案中都能夠發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180°。就本節(jié)課而言，“探索與發(fā)現(xiàn)”的目標之一并非三角形內(nèi)角和定理的結(jié)論，而是定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程。學生通過探究得到結(jié)果：通過不等邊三角形的拼圖，也能發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理；從特殊到一般，這是三角形內(nèi)角和性質(zhì)的一般發(fā)現(xiàn)過程。

② 探索與發(fā)現(xiàn)二

“探索與發(fā)現(xiàn)”的目標之二是三角形內(nèi)角和性質(zhì)的新說理方法。部分學生將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為同旁內(nèi)角，與克萊羅的證明一致。學生說理過程如圖5所示。

學生通過探究得到初步的結(jié)果：為實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，不僅可以過三角形頂點，還可以過三角形一邊上的某一點作平行線。

（3）綜合與交流

在本環(huán)節(jié)，教師引導學生思考新的問題：將三角形的三個內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化時，所構(gòu)造的角的頂點可否不位于邊上？通過討論，部分學生猜想，頂點可以位于三角形的內(nèi)部，教師要求學生畫圖驗證自己的猜想，如圖8所示。

上述證明激發(fā)了學生的思維。部分學生開始思考：頂點位于三角形內(nèi)部，是否是一般的情形呢？經(jīng)過討論，有的學生將頂點設(shè)在三角形外，如圖9所示。

至此，學生通過探究，實現(xiàn)了平角頂點從三角形的頂點到三角形一邊上的一點，再到三角形所在平面內(nèi)任意一點作平行線的演進過程。

（4）評價與延伸

教師把學生的證明與歷史上數(shù)學家的證明進行對比，對學生的表現(xiàn)給予積極的評價；總結(jié)三角形內(nèi)角和定理背后的數(shù)與形、形與形互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，以及從特殊到一般的數(shù)學探究方法。最后，教師提出進一步探究的課題：

三角形一條邊上的任意一點作另兩條邊的平行線，這種方法與畢達哥拉斯學派和歐幾里得過三角形一個頂點作平行線的方法有何聯(lián)系？過三角形一條邊上的任意一點，是否可以作出其他輔助線來證明三角形內(nèi)角和定理？由此得到的新說理方法與畢達哥拉斯學派和歐幾里得過一個頂點作平行線的方法有何聯(lián)系？

運用過三角形內(nèi)或三角形外任一點作平行線的方法，能否對三角形外角和進行說理？

如果規(guī)定不能使用平行線，如何證明三角形內(nèi)角和定理？

四、結(jié)語

綜上可知，三角形內(nèi)角和定理的探究活動基本滿足西格爾的探究式教學的四個階段。在準備與聚焦階段，教師基于學生的認知起點，創(chuàng)設(shè)泰勒斯鋪地磚這種貼近生活的情境，激發(fā)學生的學習興趣，并提出探究任務。在探索與發(fā)現(xiàn)階段，教師引導學生分組進行拼圖、討論、說理論證等一系列探究活動，實現(xiàn)從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)過程，并初步完成從特殊到一般的證明過程。在綜合與[KG（0.1mm]交流階段，教師引導學生對證明做出更進一步的探究，最終實現(xiàn)了說理方法的一般化。在評估與延伸階段，教師評價學生的表現(xiàn)，讓學生獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的成功體驗，體現(xiàn)了探究之樂。同時，教師總結(jié)本節(jié)課所涉及的數(shù)學思想和探究方法，并提出拓展性問題，激發(fā)學生課后進一步探究與思考的興趣。

在基于數(shù)學史開展的數(shù)學探究活動中，一方面，數(shù)學史是探究性教學的指南，教師可依據(jù)數(shù)學定理的歷史演進過程設(shè)計和實施探究活動；另一方面，探究活動是數(shù)學史的重構(gòu)，數(shù)學史創(chuàng)造了探究活動的機會。通過探索數(shù)學史上不同的證明方法，拉近了學生與古代數(shù)學家的距離，使數(shù)學課充滿人文氣息。因此，數(shù)學史是溝通歷史與現(xiàn)實、數(shù)學與人文的橋梁。

參考文獻：

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