何翌

【摘要】“符號(hào)意識(shí)”是2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十大核心概念之一，在教學(xué)目標(biāo)中明確提出“發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)”這一要求。如何培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)呢？本文從三個(gè)方面進(jìn)行闡述：1.教學(xué)中要從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，幫助學(xué)生感知數(shù)學(xué)符號(hào);2.抽象出的數(shù)學(xué)符號(hào)要回到具體情境中進(jìn)行檢驗(yàn)、驗(yàn)證，從而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào);3.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程正是學(xué)生運(yùn)用符號(hào)的過(guò)程，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展是從解題需要的啟蒙到有意識(shí)地運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證、推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論所具有的一般性。教師在教學(xué)中要有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行歸納、計(jì)算、推理等。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)符號(hào);符號(hào)意識(shí)

眾所周知，思維是對(duì)客觀(guān)的間接、概況的反映，而在主觀(guān)與客觀(guān)之間，符號(hào)起到了橋梁的作用。客觀(guān)的東西經(jīng)過(guò)符號(hào)表征轉(zhuǎn)化成主觀(guān)的知識(shí)，主觀(guān)的意識(shí)又通過(guò)語(yǔ)言符號(hào)具有了一定的客觀(guān)性。思維本質(zhì)上是一種符號(hào)思維，思維必須借助符號(hào)才能進(jìn)行。數(shù)學(xué)被人們稱(chēng)為思維的體操，因此，符號(hào)在數(shù)學(xué)中的作用就更加重要，有人說(shuō)它既是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素也曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！?011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）提出了10大核心概念，符號(hào)意識(shí)便是其中之一，《課標(biāo)》指出：“符號(hào)意識(shí)”主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很大程度上依賴(lài)于對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)的理解與運(yùn)用。下面談?wù)劰P者在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。

一、從具體到抽象——感知數(shù)學(xué)符號(hào)

在百度上搜索，小學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)單地分為四種，一種是單純地表示幾何圖形或數(shù)的符號(hào)，比如，幾何圖形中表示線(xiàn)段、直線(xiàn)、射線(xiàn)、角等符號(hào);阿拉伯?dāng)?shù)字：l、2、3……;用字母表示的數(shù)等;一種是表示數(shù)、圖、式或集合之間的關(guān)系的符號(hào)，比如，“=”“≈”“<”“>”;線(xiàn)、面關(guān)系中的“//”“⊥”等符號(hào);第三種是運(yùn)算符號(hào)，在小學(xué)中主要是“+”“一”“×”“÷”“：（比號(hào)）”等;第四種是表示運(yùn)算順序的符號(hào)，主要包括（ ）、[ ] 等等。數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生正確理解符號(hào)的意義，準(zhǔn)確把握符號(hào)的內(nèi)涵和外延是運(yùn)用符號(hào)的前提，學(xué)生只有在正確理解數(shù)學(xué)符號(hào)、積累符號(hào)素材，具備一定的符號(hào)經(jīng)驗(yàn)才能對(duì)符號(hào)非常敏感，遇到數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，能快速敏捷地提取數(shù)學(xué)情境中的符號(hào)信息，并且得心應(yīng)手地運(yùn)用符號(hào)，進(jìn)行推理和運(yùn)算。

如何才能讓學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義呢？我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性和概括性，但數(shù)學(xué)的抽象性，離不開(kāi)數(shù)學(xué)的具體性，我們正是從大量具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)素材、數(shù)學(xué)情境中抽象出普遍規(guī)律，形成數(shù)學(xué)概念，并以符號(hào)的形式加以呈現(xiàn)。比如，：一年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)字“5”，我們會(huì)首先出示大量數(shù)量是5的實(shí)物或?qū)嵨飯D片，5個(gè)手指頭、5個(gè)人、5支筆、5輛車(chē)……這就是具體的數(shù)學(xué)素材、生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，接著，我們抽象出這些情境在量的方面的共同性質(zhì)，會(huì)和學(xué)生一起概括出這些物品的數(shù)量都是5，然后告訴學(xué)生數(shù)字“5”這個(gè)符號(hào)可以表示所有數(shù)量是5的事物，這就完成了從具體到抽象的過(guò)程。

又比如，一年級(jí)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣表示兩個(gè)算式相等的式子3+5=（ ）-4，學(xué)生往往會(huì)填成3+5=（8）-4。這樣的錯(cuò)誤結(jié)果，究其原因，是教師教學(xué)中沒(méi)有挖掘“=”這個(gè)符號(hào)內(nèi)涵，學(xué)生對(duì)其只是片面的理解為兩個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后的結(jié)果，而忽視了其表示兩者相等的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)中，筆者拿來(lái)了一臺(tái)天平，告訴學(xué)生等號(hào)就像一臺(tái)天平，當(dāng)左邊和右邊的重量相等時(shí)，天平才會(huì)平衡，保持水平的狀態(tài)，而當(dāng)兩邊保持平衡的時(shí)候，我們就說(shuō)兩邊相等了，在數(shù)學(xué)上用“=”表示兩邊相等的關(guān)系。這樣一說(shuō)，學(xué)生在這道題上出現(xiàn)的錯(cuò)誤就很少了。

再比如，在教學(xué)四則混合運(yùn)算時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能準(zhǔn)確地說(shuō)出先乘除后加減，先算括號(hào)里面的再算括號(hào)外面的計(jì)算順序，但實(shí)際計(jì)算的時(shí)候，往往又忘了，經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算順序搞錯(cuò)的情況。原因還是學(xué)生對(duì)“+”“一”“×”“÷”“（ ）”等符號(hào)的理解不深刻。問(wèn)題還是出在教師過(guò)早地將數(shù)學(xué)知識(shí)“符號(hào)化”，未能遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生理解計(jì)算符號(hào)的具體情境的經(jīng)驗(yàn)積累不夠，教師站在成年人的思維角度認(rèn)為這樣的計(jì)算順序多么簡(jiǎn)單，按照規(guī)則進(jìn)行計(jì)算就好了，但是這種不是站在理解基礎(chǔ)上強(qiáng)加給學(xué)生的數(shù)學(xué)規(guī)則會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。我在教學(xué)這個(gè)知識(shí)的前幾節(jié)課里，一定要學(xué)生每看到一個(gè)算式，在心里編一個(gè)故事。比如：189-15×2，學(xué)生會(huì)編出“我拿189元錢(qián)，到超市買(mǎi)了兩個(gè)筆記本，每本15元，還剩下多少錢(qián)？”再比如，要幫助學(xué)生理解從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)等于從一個(gè)數(shù)里減去這兩個(gè)減數(shù)的和，例：189-45-55=189-（45+55）學(xué)生會(huì)編出一個(gè)數(shù)學(xué)故事：我有189元錢(qián)，去商店買(mǎi)了一件上衣用去45元，買(mǎi)褲子用去55元，還剩多少錢(qián)？收銀員計(jì)算時(shí)先算出買(mǎi)上衣和褲子一共多少錢(qián)，然后從我的錢(qián)里減去上衣和褲子一共花去的錢(qián)就是剩下的錢(qián)。其實(shí)以上舉的例子在數(shù)學(xué)書(shū)的例題中都有具體情境的呈現(xiàn)，只是僅僅是一個(gè)例題的具體經(jīng)驗(yàn)是不夠的，教師要重視學(xué)生具體經(jīng)驗(yàn)的積累，引導(dǎo)學(xué)生從大量的具體情境中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)符號(hào)，尤其是對(duì)于中下等的學(xué)生。

二、從抽象到具體——理解數(shù)學(xué)符號(hào)

我們抽象出的數(shù)學(xué)知識(shí)，必是要回到實(shí)踐中，經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)，并運(yùn)用于具體的數(shù)學(xué)情境中去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的理解同樣是一個(gè)從具體到抽象，最后再回到具體的過(guò)程。

比如，上文提到的理解數(shù)字“5”的例子，我們告訴學(xué)生數(shù)字“5”這個(gè)符號(hào)可以表示所有數(shù)量是5的事物，教學(xué)到這里并沒(méi)有結(jié)束，我們會(huì)反問(wèn)學(xué)生：你能說(shuō)說(shuō)生活中用“5”表示的例子嗎？這個(gè)反問(wèn)就又從抽象回到具體，通過(guò)舉出身邊具體的例子理解符號(hào)“5”。

又比如，《用字母表示數(shù)》這一課的教學(xué)，學(xué)生從數(shù)青蛙的具體情境中準(zhǔn)確地表示出：a只青蛙2×a只眼睛4×a條腿。這個(gè)過(guò)程讓數(shù)學(xué)符號(hào)的理解變得生動(dòng)有趣，不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到字母可以表示數(shù)，而且感受到數(shù)學(xué)符號(hào)的作用，數(shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)越性。但教學(xué)如果僅僅停留在這里，學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解，對(duì)符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系的理解就不夠深刻，僅僅停留在較淺層次上的單一理解，如果我們能在此讓學(xué)生舉一反三、就4a表示的意義舉出生活中更多的實(shí)例，就能幫助學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)情境中驗(yàn)證所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)字母表示數(shù)的理解。我們可以提問(wèn)學(xué)生：a和4a還可以表示生活中什么樣的數(shù)量？有的學(xué)生說(shuō)a可以表示正方形的邊長(zhǎng)，4a可以表示正方形的周長(zhǎng);有的學(xué)生說(shuō)a可以表示蘋(píng)果的單價(jià)，4a可以表示買(mǎi)4斤蘋(píng)果的總價(jià);有的學(xué)生說(shuō)a表示每組有a人，4a表示4組一共有多少人等。這個(gè)過(guò)程中，數(shù)青蛙的具體情境幫助學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)符號(hào)高度概括的優(yōu)越性，而問(wèn)學(xué)生“a和4a還可以表示生活中什么樣的數(shù)量”是從抽象又回到具體，讓學(xué)生深刻理解a和4a可以表示客觀(guān)世界中所有4倍的數(shù)量關(guān)系，深刻理解字母表示數(shù)的意義，理解含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系，感受符號(hào)表示具有的一般性、規(guī)律性。

三、從問(wèn)題需要到形成意識(shí)——運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)

學(xué)生在感知數(shù)學(xué)符號(hào)、理解數(shù)學(xué)符號(hào)之后，更重要的是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)。運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)能幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高解題能力，同樣，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程也是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)、提高符號(hào)運(yùn)用能力的發(fā)展過(guò)程。

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，由于問(wèn)題需要，往往會(huì)不自覺(jué)地運(yùn)用符號(hào)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種運(yùn)用是符號(hào)意識(shí)的啟蒙，是問(wèn)題需要自發(fā)產(chǎn)生的，這是一種較低層次的符號(hào)運(yùn)用。比如說(shuō)：同學(xué)們排成一隊(duì)，小明前面有3人，后面有5人，這排隊(duì)伍一共有多少人？許多學(xué)生會(huì)畫(huà)出“ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”這樣的圖形符號(hào)幫助自己解題。再比如，“六一”聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)藍(lán)氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你能知道第24個(gè)氣球是什么顏色的嗎？學(xué)生會(huì)用、 ? 、 ?等符號(hào)來(lái)表示不同顏色的氣球，通過(guò)畫(huà)圖解決問(wèn)題。筆者認(rèn)為這兩個(gè)例子中使用分圖形符號(hào)，只能算是學(xué)生符號(hào)意識(shí)的啟蒙與滲透，不能算是真正的數(shù)學(xué)符號(hào)。

在小學(xué)階段，學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用的質(zhì)的飛躍是在四年級(jí)，四年級(jí)里有用字母表示運(yùn)算定律，比如，加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律等，有用字母表示幾何圖形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式，而用字母表示數(shù)、方程的運(yùn)用就更是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的重要內(nèi)容。比如，搭1個(gè)正方形需要4根火柴棒。（1）按照?qǐng)D中的方式，搭2個(gè)正方形需要幾根火柴棒？搭3個(gè)正方形需要幾根火柴棒？（2）搭10個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒？（3）搭100個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒？你是怎樣得到的？（4）如果用z表示所搭正方形的個(gè)數(shù)，那么搭z個(gè)這樣的正方形需要多少根火柴棒？

學(xué)生通過(guò)探索正方形的個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得出4+3（z-1）， 1+3z等表達(dá)方式，這時(shí)我們?nèi)魡?wèn)學(xué)生400個(gè)、560個(gè)、1000個(gè)……正方形需要多少根小棒，學(xué)生都能通過(guò)計(jì)算很快得出答案，而前面用符號(hào)表示的式子是學(xué)生解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，符號(hào)參與計(jì)算的學(xué)習(xí)過(guò)程。

在教學(xué)列方程解應(yīng)用題時(shí)，筆者感覺(jué)學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)由被動(dòng)接受到主動(dòng)運(yùn)用的過(guò)程。一開(kāi)始教“一本書(shū)，看了45頁(yè)，還剩37頁(yè)。這本書(shū)有多少頁(yè)？”學(xué)生抗拒用方程，他們不明白這樣一道簡(jiǎn)單的題目，早就會(huì)做了，為什么還要用字母來(lái)表示一本書(shū)的頁(yè)數(shù)，然后列方程解決呢，這不是把簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化了嗎？但在接下來(lái)的教學(xué)里，我們開(kāi)始教“和倍問(wèn)題”了：淘氣和笑笑一共有160張畫(huà)片，其中淘氣的畫(huà)片數(shù)量是笑笑的4倍，淘氣和笑笑各有多少?gòu)埉?huà)片？這樣的題目，如果不適用方程來(lái)解答，對(duì)于中下學(xué)生來(lái)說(shuō)還是存在一定的問(wèn)題，這時(shí)方程就起到了非常好的作用，學(xué)生很清晰地明白有x表示小小的畫(huà)片數(shù)，用4x表示淘氣的畫(huà)片數(shù)，可以非常簡(jiǎn)單地列出方程：x+4x=160，學(xué)生這時(shí)才感受到用方程解決問(wèn)題的優(yōu)越與有效，通過(guò)一定的練習(xí)，學(xué)生能夠區(qū)分什么樣的題適合用計(jì)算方法解答，什么樣的題目適合用方程解答，從而自覺(jué)地使用方程來(lái)解決問(wèn)題。通過(guò)四年級(jí)一年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生的抽象思維能力飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)也大大增強(qiáng)了，能真切感受到數(shù)學(xué)符號(hào)在解決問(wèn)題中的作用，產(chǎn)生自覺(jué)使用符號(hào)的意識(shí)，也具備一定的使用數(shù)學(xué)符號(hào)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

到了六年級(jí)，學(xué)生的抽象思維能力和符號(hào)運(yùn)算能力進(jìn)一步得到發(fā)展，不僅能運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行計(jì)算和推理，還能有意識(shí)地運(yùn)用符號(hào)檢驗(yàn)答案的正確性、一般性。比如，已知甲數(shù)×=乙數(shù)×，求甲數(shù)與乙數(shù)的比。學(xué)生在解答的時(shí)候，會(huì)假設(shè)等號(hào)兩邊的式子得數(shù)為1，得到甲數(shù)為 ，乙數(shù)為 。從而算出甲數(shù)與乙數(shù)的比是6：5，這時(shí)學(xué)生會(huì)繼續(xù)嘗試假設(shè)等號(hào)兩邊的式子得數(shù)都是2，或者是3，會(huì)是怎樣的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不管得數(shù)是1、2還是3甲數(shù)與乙數(shù)的比都是6：5，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，用什么辦法能證明等號(hào)兩邊的式子等于任何數(shù)，甲數(shù)與乙數(shù)的比都是6：5，這時(shí)學(xué)生會(huì)立即想到等號(hào)兩邊的式子都等于a時(shí)，甲數(shù)與乙數(shù)的比會(huì)不會(huì)還是6：5？通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然成立。在教學(xué)中，我們要不失時(shí)機(jī)地、經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行計(jì)算和推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論所具有的一般性。通過(guò)這樣的訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)觀(guān)念，培養(yǎng)符號(hào)能力，達(dá)到新課標(biāo)中的發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的要求。

數(shù)學(xué)符號(hào)作為數(shù)學(xué)的最基本構(gòu)成，在數(shù)學(xué)中的作用不言而喻，學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位。但學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)也不是一朝一夕的事，是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷發(fā)展的過(guò)程。教師在教學(xué)中要盡可能地幫助學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，在抽象概括的時(shí)候要注意學(xué)生具體經(jīng)驗(yàn)的積累，抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)符號(hào)要再回到具體情境中，進(jìn)行檢驗(yàn)、驗(yàn)證，用以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解，教學(xué)中要有意識(shí)地、有目的地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行計(jì)算、推理，重視數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用過(guò)程，從而增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)觀(guān)念，培養(yǎng)符號(hào)能力，達(dá)到發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的目的。

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