何國(guó)鋒

摘要：解題教學(xué)是高考二輪復(fù)習(xí)的主要形式，其教學(xué)效果與高考數(shù)學(xué)備考成敗直接相關(guān)。本文旨在打破就題論題的陳舊復(fù)習(xí)方式，通過充分挖掘，借題發(fā)揮，不斷變式、拓展、延伸，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力得到充分的發(fā)展和優(yōu)化，提高二輪復(fù)習(xí)的有效性。

關(guān)鍵詞：一題多解;發(fā)散思維;借題發(fā)揮;變式教學(xué)

高三二輪復(fù)習(xí)具有時(shí)間緊，任務(wù)重，難度大等特點(diǎn)。解題教學(xué)是這一輪復(fù)習(xí)中的主要課型，其復(fù)習(xí)效率在這一階段就顯得尤為重要。如何讓解題教學(xué)達(dá)到高效是每一個(gè)高三老師都面臨的問題。筆者認(rèn)為，在二輪復(fù)習(xí)中，解題教學(xué)如果就題論題，就很難把題目的作用發(fā)揮到極致，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力就很難得到充分發(fā)展，而且很容易讓學(xué)生陷入題海戰(zhàn)術(shù)，不僅如此，這種解題教學(xué)的課堂沉悶無趣，復(fù)習(xí)效果自然就事倍功半;但我們?nèi)绻芫x例題并借題發(fā)揮，提高問題的“含金量”，充分發(fā)揮問題的功能，通過問題的一題多解、變式與拓展，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在一個(gè)問題的解決到另一個(gè)問題的解決過程中得到發(fā)展和優(yōu)化，生跳出題海，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，達(dá)到高效復(fù)習(xí)的目的。

1、通過借題發(fā)揮，一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

在美國(guó)教育家G.波利亞所著的《怎樣解題》中提到：在解題過程中，時(shí)刻提醒自己“能以不同的方式推到這個(gè)結(jié)果嗎”，這其實(shí)就告訴我們，在解題教學(xué)過程，面對(duì)同一個(gè)問題，我們要能從多個(gè)角度進(jìn)行分析，得到多種不同的解法，通過這種分析一方面可以激起思維的碰撞，活躍課堂;另一方面可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的求異思維。

教學(xué)片段一：在一次二輪考試中有這樣一道填空題：

題目?已知為圓上一點(diǎn)，直線，則到的距離的最小值為。

師：這是我們這次考試的一個(gè)填空題，大部分同學(xué)都做對(duì)了，但我們是如何做出來的呢？你所用到的原理是什么？

生1：垂線段最短

師：好，充分利用了幾何法得出了最值，還有其它方法嗎？

師：你用到的原理是什么？

生2：利用了最值點(diǎn)處的切線與已知直線平行！

生3：利用生2的原理還有一種方法：設(shè)最值點(diǎn)為，則已知圓在點(diǎn)處的切線為，其斜率為，由生2的原理有：，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，，聯(lián)立得出，進(jìn)而求出最小值。

師：同學(xué)2充分利用了代數(shù)得出了最值，這其中還用到了圓上一點(diǎn)的切線方程，非常好，那還有其它方法呢？

生4：設(shè)，則到直線的距離，所以，當(dāng)時(shí)，

師：非常好，生4運(yùn)用了圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)為一個(gè)三

角函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)的思想巧妙地解決了該問題。請(qǐng)大家嘗試解決一下這樣一道題：

已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，直線，則到的距離的最小值為。

通過這種借題發(fā)揮，交流互動(dòng)，一題多解，可以更加全面了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本原理掌握的情況，在培養(yǎng)發(fā)散思維的同時(shí)，促進(jìn)同學(xué)之間思維的碰撞，共同學(xué)習(xí)共同提高。

2、通過借題發(fā)揮，不斷變式，深化學(xué)生對(duì)問題或方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

借題發(fā)揮可以對(duì)原題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變式，即變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目或方法的本質(zhì)沒有改變。通過這種借題發(fā)揮的教學(xué)，能使學(xué)生隨時(shí)根據(jù)變化了情況積極思考，設(shè)法想出解決辦法，深化學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的求同思維。

教學(xué)片段二：

變式?已知為上一動(dòng)點(diǎn)，直線，求到的距離的最小值。

師：此題我只是將曲線換成了一個(gè)函數(shù)的圖像，能用之前的方法解決嗎？

生5：幾何法和參數(shù)方程肯定不行，判別式法也不行?？梢岳米钪迭c(diǎn)處的切線與已知直線平行，設(shè)，則在處切線的斜率為，則有：，從而，所以，

師：很好，生5利用了幾何法快速地得到了答案;有其它方法嗎？能轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題嗎？

生6：好像可以，到的距離

師：如何求出最值呢

師：很好，剛才三位同學(xué)分別利用幾何法和函數(shù)最值的方法，這兩種方法可推廣嗎？請(qǐng)大家嘗試解決一下一道題：

已知為上一動(dòng)點(diǎn)，直線，求到的距離的最小值。

3、通過借題發(fā)揮，拓展與延伸，深化學(xué)生的思維靈活性

在二輪復(fù)習(xí)中，通過借題發(fā)揮，將問題進(jìn)行更深入的研究，既可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，又可以活躍課堂的氣氛，避免沉悶、無生氣的課堂。通過延伸可以很好地鍛煉學(xué)生的思維靈活度，提高學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，從而提升二輪復(fù)習(xí)效率。

教學(xué)片段三：

延伸一?設(shè)直線與曲線和直線分別交于兩點(diǎn)，求的最小值。

師：大家可以先畫出圖像看看能否找到突破口

師：生1通過觀察圖像，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了解決。還有其它的方法嗎？大家可以聯(lián)系前面所學(xué)的幾何方法，它們之間有沒有什么聯(lián)系呢？

事實(shí)上，如圖2我們過點(diǎn)作，設(shè)，你能找到與之間的關(guān)系嗎？

生2：

師：有沒有哪位同學(xué)進(jìn)行一步補(bǔ)充？

接下來只需用前面的方法就可以解決。

師：剛才，幾位同學(xué)通過作一條垂線，很巧妙的把該問題轉(zhuǎn)化為前面剛學(xué)過的問題了，非常棒！接下來我們?cè)倏家豢即蠹遥?/p>

延伸二?設(shè)直線與曲線和直線分別交于兩點(diǎn)，求的最小值。

生5：仿照上一題的思路，如圖3作出，設(shè)，則，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為前面的問題。

師：同學(xué)們觸類旁通的能力很強(qiáng)啊，那大家能用代數(shù)的方法解決這個(gè)問題嗎？

生1：由圖4，設(shè)，則，接下來不知道怎么辦了。

師：有沒有同學(xué)可以幫幫他呢？問題的障礙在哪里？

生2：出現(xiàn)了兩個(gè)變量，求不出來！

設(shè)直線與曲線和直線分別交于兩點(diǎn)，求的最小值。

4、結(jié)束語

利用這種借題發(fā)揮的方式組織高三二輪復(fù)習(xí)有助于學(xué)生更好更系統(tǒng)的理解所學(xué)過的知識(shí)的本質(zhì)，促使知識(shí)正遷移;有助于學(xué)生形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);可以促進(jìn)學(xué)生靈活的、創(chuàng)造性地進(jìn)行學(xué)習(xí);有助于師生真正從題海中解放出來，達(dá)到減負(fù)增效的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]張文娣.中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)與能力培養(yǎng)[M].山東教育：2001（5）：13-16

[2]王生.如何提高二輪復(fù)習(xí)的有效性[J].2017（10）：49-50