朱紅偉

摘要：深度學(xué)習(xí)是可以通過(guò)問(wèn)題解決得以實(shí)現(xiàn)的。在梳理小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“問(wèn)題解決”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，提出基于“問(wèn)題解決”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)方式——發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，生成非良構(gòu)問(wèn)題;提出問(wèn)題：明確目標(biāo)指引，以評(píng)價(jià)提高問(wèn)題質(zhì)量;分析問(wèn)題：建立操作序列，深度理解和組織信息;解決問(wèn)題：深化內(nèi)在聯(lián)系，從方法到思想進(jìn)階。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}解決深度學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，將它們納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并且能夠聯(lián)系不同的內(nèi)容，將已有的知識(shí)遷移到新的情境中，做出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)是一種理念，更是一種方式。從學(xué)習(xí)目標(biāo)的角度來(lái)看，布盧姆將認(rèn)知過(guò)程目標(biāo)分為知道、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評(píng)價(jià)六個(gè)層次，其中，“知道”和“理解”這兩個(gè)層次主要要求學(xué)生記住所學(xué)知識(shí)并能用自己的語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)述，屬于淺層學(xué)習(xí)范疇;而“應(yīng)用”“分析”“綜合”和“評(píng)價(jià)”這四個(gè)層次則要求學(xué)生具有將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于新的情境，對(duì)知識(shí)進(jìn)行分解和重組，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，以及依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)事物進(jìn)行價(jià)值判斷的能力，這就屬于深度學(xué)習(xí)的范疇。

“深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的深層加工、深度理解及長(zhǎng)期保持，善于自主建構(gòu)且能夠遷移應(yīng)用并在真實(shí)情境中解決復(fù)雜問(wèn)題”說(shuō)明深度學(xué)習(xí)是可以通過(guò)問(wèn)題解決得以實(shí)現(xiàn)的。對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，“問(wèn)題解決”是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是一種體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)理念的學(xué)習(xí)方式。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“問(wèn)題解決”的內(nèi)涵

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問(wèn)題解決”包括從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題四個(gè)方面，它有著豐富的內(nèi)涵。

第一，“問(wèn)題解決”是應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程。美國(guó)數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)（NCSM）在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中指出：“問(wèn)題解決是把前面學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到新的和不熟悉的情境中的過(guò)程?！?/p>

第二，“問(wèn)題解決”是應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。英國(guó)的考克羅夫特（W.H.Cockcroft）等人稱：“那種把數(shù)學(xué)用于各種情況的能力，我們叫作問(wèn)題解決。”

第三，“問(wèn)題解決”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。美國(guó)學(xué)者西爾弗（E.A.Silver）指出：“20世紀(jì)80年代以來(lái)，世界上幾乎所有的國(guó)家，都把提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中的課程總目標(biāo)便包括了“問(wèn)題解決”的方面：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)?！?/p>

第四，“問(wèn)題解決”是一種基于主動(dòng)探究的認(rèn)知方式。作為獲取知識(shí)的問(wèn)題解決，就是將概念、定理的生成轉(zhuǎn)化為問(wèn)題解決的過(guò)程，使得所學(xué)的知識(shí)不僅僅停留于“知道”的層面，而是在“理解”“分析”“綜合”“應(yīng)用”的循環(huán)過(guò)程中批判性地接受并進(jìn)行深入的思考。在加涅最初提出的學(xué)習(xí)等級(jí)分類(lèi)中，這種認(rèn)知方式的優(yōu)勢(shì)在于能夠有效地促進(jìn)知識(shí)的理解和意義的建構(gòu)。

第五，“從數(shù)學(xué)的角度”很重要。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)各種情境，讓學(xué)生觀察、思考，使他們?cè)诿鎸?duì)各種現(xiàn)象時(shí)都有機(jī)會(huì)“從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”——不是數(shù)學(xué)習(xí)題那種專門(mén)為復(fù)習(xí)和訓(xùn)練而設(shè)計(jì)的問(wèn)題，也不是僅僅依靠記憶題型和套用程式就能解決的問(wèn)題，而是展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)的和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決的“問(wèn)題”，它往往與生活、生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系，能夠增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

第六，解決別人提出的問(wèn)題固然重要，但是，自己發(fā)現(xiàn)和提出新的問(wèn)題更加重要。這是因?yàn)閯?chuàng)新始于問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出：在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，其中的“已知”和“未知”都是清楚的，需要的是利用已有的概念、性質(zhì)、定理、公式、模型，采用恰當(dāng)?shù)乃悸泛头椒ǖ玫絾?wèn)題的答案;但是，對(duì)于發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題而言，其中的“已知”和“未知”都是不明晰的，所以難度更大。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，需要運(yùn)用多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面上看起來(lái)沒(méi)有關(guān)系的現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系或矛盾，并把這些聯(lián)系或矛盾提煉出來(lái)。而提出問(wèn)題，需要在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系或矛盾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言集中地以“問(wèn)題”的形態(tài)表述出來(lái)。

二、基于“問(wèn)題解決”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)方式

從“問(wèn)題解決”的四個(gè)方面加以考量，創(chuàng)設(shè)真實(shí)而復(fù)雜的問(wèn)題情境，有利于產(chǎn)生非良構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其沒(méi)有固定的解決方式，通常需要綜合運(yùn)用各類(lèi)學(xué)科知識(shí)，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入深度學(xué)習(xí)范疇;引導(dǎo)學(xué)生提出有價(jià)值的問(wèn)題，進(jìn)而形成一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生批判性地建構(gòu)新知識(shí)，將所學(xué)的知識(shí)遷移運(yùn)用到新情境中，有利于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（一）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，生成非良構(gòu)問(wèn)題

深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)的、帶有批判性思維性質(zhì)的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)過(guò)程，其目的不是單純地、被動(dòng)地記憶和理解所學(xué)知識(shí)，而是能夠?qū)⑿轮R(shí)與已有知識(shí)有效地聯(lián)系起來(lái)，并且能夠應(yīng)用所學(xué)知識(shí)在真實(shí)復(fù)雜的情境中解決現(xiàn)實(shí)存在的問(wèn)題。那么，以真實(shí)復(fù)雜的問(wèn)題情境取代傳統(tǒng)教學(xué)中相對(duì)封閉的問(wèn)題情境，便是實(shí)現(xiàn)展開(kāi)深度學(xué)習(xí)的第一步。

依據(jù)結(jié)構(gòu)性的不同，喬納森將問(wèn)題分為良構(gòu)的和非良構(gòu)的。良構(gòu)問(wèn)題一般有規(guī)范、明確的已知條件，至少一套完整的解決方法或規(guī)則，且存在有限的正確答案。相反，非良構(gòu)問(wèn)題通常與具體情境聯(lián)系緊密，只有模糊的已知條件，沒(méi)有明確的解決方法或規(guī)則，且答案多呈開(kāi)放性。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常面臨很多非良構(gòu)問(wèn)題。這就要求我們將學(xué)習(xí)深度化，利用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合具體情境，探索一種全新、合適的解決問(wèn)題的路徑。

比如，教學(xué)“經(jīng)過(guò)時(shí)間”時(shí)，教師可以鏈接生活實(shí)際，給出如圖1所示的從蘇州到北京的列車(chē)時(shí)刻信息，提供真實(shí)的學(xué)習(xí)素材。其中有豐富的數(shù)學(xué)信息、突出的學(xué)習(xí)主題，教師可以根據(jù)需要遮擋、顯現(xiàn)某些信息，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題。

圖1

（二）提出問(wèn)題：明確目標(biāo)指引，以評(píng)價(jià)提高問(wèn)題質(zhì)量

“提出問(wèn)題”是指基于特定情境（問(wèn)題情境）形成（或再形成）和表達(dá)（或再表達(dá)）問(wèn)題（或任務(wù)）的活動(dòng)。如此，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中，教師出示幾個(gè)條件，讓學(xué)生由此提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，并不是深度學(xué)習(xí)意義上的“提出問(wèn)題”。再者，課始，教師出示課題，讓學(xué)生由此提出一些想要了解的問(wèn)題，也不是課程目標(biāo)意義上的“提出問(wèn)題”。

蔡金法教授等通過(guò)中美學(xué)生的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，中國(guó)學(xué)生相比美國(guó)學(xué)生在解決問(wèn)題方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢(shì)，但在提出問(wèn)題方面的表現(xiàn)卻沒(méi)有優(yōu)勢(shì)，甚至是劣勢(shì)。對(duì)此，教師是否給予了學(xué)生更多的提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)，是否有比較恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)提問(wèn)的方法，是否能通過(guò)評(píng)價(jià)提高學(xué)生提出問(wèn)題的質(zhì)量，是幾個(gè)值得關(guān)注的教學(xué)要素。教師唯有增強(qiáng)教學(xué)活動(dòng)中的“問(wèn)題意識(shí)”，方能引導(dǎo)學(xué)生“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和之外，在不同的廣泛情境下提出有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題”。

1.適當(dāng)留白，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題。

提問(wèn)時(shí)適當(dāng)留白，可以讓學(xué)生在提出問(wèn)題時(shí)有所參照。例如，“百分?jǐn)?shù)”實(shí)際問(wèn)題：

動(dòng)物攝影師尚·巴提歷經(jīng)一年的考察，拍攝了許多成年企鵝和企鵝寶寶的照片。他對(duì)不同企鵝族群的數(shù)量增長(zhǎng)特別感興趣。

他發(fā)現(xiàn)，正常情況下，一對(duì)企鵝夫婦每年產(chǎn)兩只蛋。通常只有從較大的蛋中孵出的企鵝寶寶能夠存活。對(duì)于跳巖企鵝來(lái)說(shuō)，第一個(gè)蛋的重量約為78 g，第二個(gè)蛋的重量約為110 g。

問(wèn)題1：第一個(gè)蛋的重量是第二個(gè)蛋的百分之多少？

問(wèn)題2：第二個(gè)蛋約比第一個(gè)蛋重百分之多少？

問(wèn)題3：你還能提出什么問(wèn)題？

學(xué)生根據(jù)前兩個(gè)問(wèn)題能進(jìn)一步提出：第二個(gè)蛋的重量是第一個(gè)蛋的百分之多少？第一個(gè)蛋約比第二個(gè)蛋輕百分之多少？雖然看似相差無(wú)幾，但是計(jì)算方法與結(jié)果都完全不同，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)的意義及計(jì)算。

2.抓住機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難。

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，由思維碰撞產(chǎn)生的問(wèn)題指向性明確，具有批判性和獨(dú)立性，能夠引領(lǐng)學(xué)生的思維走向深處。例如，長(zhǎng)方體和正方體的表面積計(jì)算問(wèn)題：

如下頁(yè)圖2，將一個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體切分成27個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，表面積比原來(lái)增加了多少？

圖2

學(xué)生最容易想到的方法是，求出原來(lái)正方體的表面積和27個(gè)小正方體的表面積，再求差。此時(shí)，可以展示不同的解答思路，如3×3×6×2，讓學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)。學(xué)生會(huì)提出以下問(wèn)題：（1）為什么要用大正方體一個(gè)面的面積乘6？對(duì)此，引導(dǎo)學(xué)生理解“切了6次”。（2）最后的“×2”算的什么？對(duì)此，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：切1次增加了2個(gè)面的面積。

（三）分析問(wèn)題：建立操作序列，深度理解和組織信息

“問(wèn)題解決”不是一蹴而就的，它是一個(gè)復(fù)雜、動(dòng)態(tài)的過(guò)程，需要由一系列的心理操作來(lái)完成。這些心理操作具有序列性和系統(tǒng)性，由不同的操作序列形成的解決問(wèn)題的方法和途徑都各不相同。這樣的操作序列體現(xiàn)在分析問(wèn)題的過(guò)程中。

從解決問(wèn)題的步驟來(lái)看，收集和理解信息是第一步，需要學(xué)生有較強(qiáng)的信息解讀能力和從“實(shí)際問(wèn)題”中抽出“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的能力。準(zhǔn)確地獲取信息，正確理解信息與信息、信息與問(wèn)題之間的關(guān)系，有利于學(xué)生表征問(wèn)題，順利實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。

1.信息分散：指導(dǎo)學(xué)生全面分析。

對(duì)于如圖3所示的圖文結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生有序地讀題，既看文字中的條件，也看圖片中的條件，并將文字中的條件和圖片中的條件相對(duì)應(yīng)，理清解答思路。

圖3

2.信息量大：指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方法。

對(duì)于如圖4所示的信息量非常大的實(shí)際問(wèn)題，在解答第（1）小問(wèn)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先只關(guān)注東、西部的耕地情況，根據(jù)問(wèn)題收集、整理相關(guān)的信息，必要時(shí)進(jìn)行圈畫(huà)、連線或列表等輔助操作。

4. 下表是我國(guó)東、西部地區(qū)各類(lèi)土地資源面積分別占全國(guó)同類(lèi)土地資源總面積的百分?jǐn)?shù)。

（1） 我國(guó)的耕地大部分在東部地區(qū)還是西部地區(qū)？林地呢？

（2） 寫(xiě)出東部地區(qū)和西部地區(qū)耕地面積的比。

（3） 從表中還能獲得哪些信息？你還能提出哪些問(wèn)題？

圖4

3.信息抽象：指導(dǎo)學(xué)生借助直觀。

對(duì)于如圖5所示的比較抽象的行程問(wèn)題，學(xué)生將所有信息在頭腦中進(jìn)行想象和組織有一定的困難，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地通過(guò)畫(huà)示意圖、模擬操作等將信息直觀化，從而弄清條件信息中的數(shù)量關(guān)系。

圖5

（四）解決問(wèn)題：深化內(nèi)在聯(lián)系，從方法到思想進(jìn)階

“問(wèn)題解決”是在一定的認(rèn)知成分基礎(chǔ)上展開(kāi)的。從紛繁復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中篩選出有用的信息并抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是第一個(gè)轉(zhuǎn)化;分析數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)方法求解并在實(shí)際中檢驗(yàn)，這是第二個(gè)轉(zhuǎn)化。掌握解決問(wèn)題的方法、形成一定的解題策略、感悟數(shù)學(xué)思想方法，是提升解決問(wèn)題能力的重要方面。

1.方法：從“舉三反一”到“舉一反三”。

“舉三反一”就是追求解決問(wèn)題的“結(jié)構(gòu)化”。借助“結(jié)構(gòu)化”，學(xué)生能將模型應(yīng)用于新的問(wèn)題情境中，達(dá)到舉一反三的目的。例如：

原型王老師買(mǎi)了5套《童話故事》，每套75元，又買(mǎi)了3套《科幻故事》，每套95元。一共要付多少元錢(qián)？

數(shù)量變換李老師買(mǎi)了3個(gè)足球，每個(gè)68元，還買(mǎi)了7個(gè)籃球，每個(gè)46元。一共要付多少元錢(qián)？

情境變換張大伯種梨樹(shù)和蘋(píng)果樹(shù)各4行，梨樹(shù)每行30棵，蘋(píng)果樹(shù)每行26棵。一共種了多少棵樹(shù)？

兩積之和的數(shù)量關(guān)系a×n+b×m=c是小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。當(dāng)兩個(gè)積中各有一個(gè)因數(shù)相等時(shí)，設(shè)n=m=x，ax+bx=c就是它的一個(gè)典型變式。因此，“兩積之和”是必須“有限覆蓋”并且給予重點(diǎn)關(guān)注的數(shù)量關(guān)系。

2.思想：從“舍本逐末”到“逐本舍末”。

教學(xué)“探索規(guī)律”和“解決問(wèn)題的策略”這兩部分內(nèi)容時(shí)，常有教師囿于各式各樣的習(xí)題，認(rèn)為每道題都是一種不同的方法，每道題都需要講解，于是情境頻繁更換，規(guī)律無(wú)法形成，策略得不到提升。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)內(nèi)容形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，起著關(guān)鍵和核心作用，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想具有“潛在性”和“持久性”。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)本源的探尋和追溯來(lái)感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，從感性的教學(xué)素材中抓取理性的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)抽象、分類(lèi)、歸納、演繹、模型等，使數(shù)學(xué)知識(shí)和方法升華為數(shù)學(xué)思想，最終達(dá)到“以一抵百”的教學(xué)效度。

例如，教學(xué)“搭配問(wèn)題”時(shí)，首先創(chuàng)設(shè)一個(gè)衣服配褲子的生活情境。對(duì)此，學(xué)生是有經(jīng)驗(yàn)的并且是“可感”的。隨后，讓學(xué)生想辦法表述出自己的搭配方法。這時(shí)，由于學(xué)生的思維水平不同，就會(huì)出現(xiàn)多種表達(dá)：有的用文字?jǐn)⑹觯械挠谩包S”“紅”等簡(jiǎn)單的漢字表示衣服、褲子后連線表示，有的直接用符號(hào)來(lái)表示。事實(shí)上，表示問(wèn)題的連線圖已經(jīng)擺脫了生活背景，抽象為兩類(lèi)事物搭配的一種模型了。在教師有目的的分層展示過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷抽象的簡(jiǎn)約階段和符號(hào)階段。這時(shí)，教師再通過(guò)增加1條褲子或1件衣服，來(lái)使一個(gè)自變量不變，另一個(gè)自變量變化，引起因變量變化，促使學(xué)生離開(kāi)實(shí)物操作，借助相對(duì)抽象的連線圖，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生很快就能將這種關(guān)系與乘法模型建立聯(lián)系。以此為基礎(chǔ)，將多個(gè)實(shí)例進(jìn)行同類(lèi)對(duì)比，就能去除該類(lèi)問(wèn)題的非本質(zhì)屬性，推而廣之，歸納出更為一般化的“乘法原理”，達(dá)到抽象的普適階段。

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