林興旺

摘 要：”問題導(dǎo)學(xué)式”教學(xué)模式以問題解決為中心，通過發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、創(chuàng)造性的解決問題等步驟去掌握知識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神。讓“學(xué)”于生，導(dǎo)“學(xué)”于師，切實(shí)把“時(shí)間”還給學(xué)生，把“思維導(dǎo)”給學(xué)生，才能真正實(shí)現(xiàn)師生共進(jìn)步，同成長(zhǎng)。高三數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練是高三復(fù)習(xí)中的重中之重，學(xué)生思維的廣度與深度決定了學(xué)生在高三復(fù)習(xí)的質(zhì)量，本文章旨在通過“問題導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的解題思維做個(gè)精確引導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}導(dǎo)學(xué);解題;思維訓(xùn)練

一、精巧設(shè)問，引導(dǎo)思維方向，提高思維品質(zhì)

例1：已知函數(shù)f（x）=e-x+ax，a∈R

（1）試討論函數(shù)f（x）的最值;（2）若a=0，求證：.

解析提問：

師問：若要求函數(shù)的最值，該怎么辦？

學(xué)生：求導(dǎo)，看函數(shù)單調(diào)性。

師問：，怎么討論單調(diào)性？

學(xué)生：①討論方程f'（x）=0有沒有解？②討論f'（x）=0有根的話，有幾個(gè)根，根誰(shuí)大誰(shuí)??？

師問1：明顯要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，應(yīng)該怎么討論？

同學(xué)1答：令f'（x）=0，則aex-1=0，則，所以

同學(xué)2答：未必有解，若a=0或a<0，則f'（x）=0無(wú)解.

師答：回答的非常好，方程f'（x）=0有沒有解是我們經(jīng)常討論的一個(gè)方向，那么該題討論方向明確后，我們?cè)趺磿鴮懩兀?/p>

同學(xué)3：（1）.①若a≤0，則f'（x）<0在R上恒成立，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，沒有最值.②若a>0，則令f'（x）=0，則aex-1=0，則，所以

所以，當(dāng)時(shí)，f'（x）<0，當(dāng)時(shí)，f'（x）>0，所以，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，f（x）取到最小值a-alna，沒有最大值.

師：非常好，書寫格式規(guī)范簡(jiǎn)單自然！

師：很自然的思路：設(shè)現(xiàn)在該怎么去證明g（x）的最小值都恒大于0呢？思路延伸：求導(dǎo)，g'（x）=-e-x+x，依然還是很自然的思路，該方程有沒有解，發(fā)現(xiàn)解不出來，怎么辦？

生答1：再求導(dǎo)，學(xué)生書寫如下：

設(shè)k（x）=g'（x）=-e-x+x，則k'（x）=ex+1>0恒成立，所以k（x）在R上單調(diào)遞增。

所以k（x）=g'（x）=0有唯一解，不妨設(shè)為x0，則g'（x）=-e-x0+x0=0

所以，

問：怎么確定x0

答：因?yàn)間'（0）=-1<0，，所以x0∈（0，1）

且x∈（-∞，x0）時(shí)，g'（x）<0，x∈（x0，+∞）時(shí)，g'（x）>0，

所以，函數(shù)g（x）在（-∞，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以，x=x0時(shí)，g（x）取到最小值，

又因?yàn)閤0∈（0，1），所以.

問：你完美證明了嗎？

答：還沒有證明好（羞澀），但是解題思路我感覺是對(duì)的，怎么會(huì)出錯(cuò)了呢？

問：為什么最后是大于而不是大于0，怎么來的.

答：我是把0代入得到的，有沒有可能不是0代入，而是其他值代入，那就意味著零點(diǎn)范圍可以再縮??？

問：怎么縮??？

答：可以用二分法（驚喜），如果零點(diǎn)不是在（0，1），那么縮小之后的范圍只可能是或者，所以只需看下的符號(hào)啦。

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，所以，

那么，，，至此，不等式得證！

有的時(shí)候一道題目的討論經(jīng)常追求熱鬧，顧左右而言他，這無(wú)疑會(huì)浪費(fèi)課堂時(shí)間，使得課堂拖沓，繁冗，所以題目的追問設(shè)計(jì)要精簡(jiǎn)，思維的引導(dǎo)要一擊即中，讓學(xué)生在討論中沉迷其中不可自拔，不知不覺提高思維品質(zhì).

二、以教師為主導(dǎo)設(shè)問，學(xué)生為主體討論，引導(dǎo)學(xué)生多向思維發(fā)展

問題導(dǎo)學(xué)模式也就是以問題解決為主干，在解決問題的過程中去習(xí)得知識(shí)，問題的解決構(gòu)成了主要的學(xué)習(xí)過程，自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、展示探究為其主要的學(xué)習(xí)方式。在教師指導(dǎo)下，學(xué)生“自主、合作、探究”，把課堂的空間與時(shí)間盡可能還給學(xué)生，提高學(xué)生的能力素質(zhì)。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，求的值.

問題1：函數(shù)f（x）的最大值為多少？求得最大值時(shí)，x是什么狀態(tài)？

問題2：三角函數(shù)怎么化簡(jiǎn)？

1.學(xué)生審題，分組討論學(xué)生間自主學(xué)習(xí)思考討論后，展示交流.

2.學(xué)生板演并回答問題

學(xué)生討論過后，教師選取兩組進(jìn)行板演并說明：

學(xué)生板演1：（其中）

因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)取得最大值

即，所以

那么

學(xué)生板演2：所以函數(shù)最大值為

因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)取得最大值

教師總結(jié)：從兩組學(xué)生討論后板演情況來看，情況令人欣喜，第一組從最大值入手，經(jīng)過三角恒等變換，得到答案，公式熟練，概念清晰，第二組從輔助角公式入手，挖掘出要使得取到最大值必須要讓，從而，進(jìn)而得到，思維之精妙令人驚嘆！問題導(dǎo)學(xué)下的高三復(fù)習(xí)題解題，教師引導(dǎo)學(xué)生解決問題，學(xué)生討論解決該問題，思維方法也許不是最佳解決辦法，但是學(xué)生的思維發(fā)展可能性多種多樣，學(xué)生的思維廣度更廣！

三、以變式問題為引，引導(dǎo)學(xué)生思維深度轉(zhuǎn)化

例3.（2017全國(guó)1）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).

做完這道題，學(xué)生普遍反應(yīng)第一步?jīng)]有問題，第二步問題較大，特別是條件的轉(zhuǎn)化到結(jié)論證明之間不敢下筆，不能計(jì)算，不會(huì)思維！

學(xué)生問：由斜率之和等于-1，能得到什么，它和直線過定點(diǎn)有關(guān)系嗎？完全沒有辦法預(yù)料，如果花了時(shí)間得不了分，那不是虧大了嗎？

老師思考學(xué)生的問題：是什么問題導(dǎo)致學(xué)生信心不足，裹足不前不敢算，不敢下筆呢？終究還是思維的開拓性不夠，深度轉(zhuǎn)化力不強(qiáng)，為了解決這個(gè)問題，筆者拿出成題進(jìn)行思維變式轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。

變式1：（2018全國(guó)1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

問題1：本題第二問中，要證明的∠OMA=∠OMB怎么轉(zhuǎn)化的，你是怎么想的？

學(xué)生經(jīng)過審題小組討論后回答：∠OMA=∠OMB等價(jià)于kMA+kMB=0

問題2：能否簡(jiǎn)略說出第二問的完整命題？

學(xué)生回答：若過定點(diǎn)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，則kMA+kMB=0

答：轉(zhuǎn)化的非常好，至此，往下計(jì)算就很常規(guī)啦

接著大家繼續(xù)來看，

問題3：那例題3中第二問的命題是怎么樣的？

答：若直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).且，則l過定點(diǎn).

問3：發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

答：這兩道題目簡(jiǎn)直就是命題中的互逆關(guān)系？

問：那會(huì)不會(huì)做啦？

答：試一下，應(yīng)該沒問題。

變式2：已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)F（1，0），且與定直線x=1相切

（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程;

（2）過點(diǎn)F（-2，0）的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P、Q，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），使得∠QNM+∠PNM=π？，若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

老師問：當(dāng)解決了變式1第二問中的思維轉(zhuǎn)化問題和計(jì)算問題，那么大家對(duì)第2問有沒有信心

學(xué)生答：至少比原來有信心多了，原來高考題就是轉(zhuǎn)變一種條件和思維方向啊，看起來也不是很難嘛？

總結(jié)：教師利用知識(shí)間的遷移轉(zhuǎn)化規(guī)律，用連續(xù)小問把思維慢慢引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生對(duì)同類知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，獲得新知，進(jìn)一步來說，訓(xùn)練學(xué)生思維能力的課型時(shí)均可采用此問題引導(dǎo)變形轉(zhuǎn)化的方式來處置，比如，立體幾何中的定點(diǎn)變成動(dòng)點(diǎn)，以程序框圖為載體的多種知識(shí)交融的問題等！數(shù)學(xué)教學(xué)的有效增長(zhǎng)點(diǎn)是教學(xué)活動(dòng)本身的組織結(jié)構(gòu)水平和科學(xué)程度，以問題為導(dǎo)學(xué)使教學(xué)活動(dòng)結(jié)構(gòu)更能直奔重點(diǎn)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，讓他們?cè)谥鲃?dòng)的積極探索中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新、突破，展示自己的才華智慧，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。