崔文

【摘 要】直觀想象素養(yǎng)突破傳統(tǒng)的空間想象與數(shù)形結(jié)合，在“數(shù)”“式”“形”之間主動(dòng)建構(gòu)關(guān)聯(lián)，借助其外在的形式特征進(jìn)行聯(lián)想和想象，是解決探究類問題的有效方法。教師準(zhǔn)確理解和把握直觀想象的內(nèi)涵，在課堂中有的放矢地開展教學(xué)活動(dòng)，更能突顯數(shù)學(xué)知識的魅力。文章以立體幾何、解析幾何和代數(shù)的解法為例，具體闡述直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體落實(shí)，最后提出提升學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的思考。

【關(guān)鍵詞】直觀想象;核心素養(yǎng);立體幾何;解析幾何

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。它主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象主要表現(xiàn)為：建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物[1]。直觀想象素養(yǎng)的落實(shí)，從學(xué)生角度講，學(xué)生要養(yǎng)成利用圖形分析問題的習(xí)慣;從教師角度講，教師要養(yǎng)成引導(dǎo)學(xué)生利用圖形分析問題的習(xí)慣。

直觀想象有狹義和廣義之分。狹義的直觀想象指利用數(shù)形結(jié)合分析和理解問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。廣義的直觀想象不僅指基于圖形分析問題，還指在代數(shù)中借助式子的外在形式分析問題，即代數(shù)中的“形”?？傊庇^想象體現(xiàn)了模型化的數(shù)學(xué)思維模式，重視問題的類比和轉(zhuǎn)化，將數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)可視化，更符合人的思維習(xí)慣。教師深刻地剖析和理解直觀想象的內(nèi)涵，有助于引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來，獲得靈感，提升問題意識。

一、借助特殊幾何體激發(fā)直觀想象

從平面幾何過渡到立體幾何，思維方式會(huì)發(fā)生較大的變化。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)表明，他們不具備從二維空間迅速切換到三維空間的能力，因此教師盲目地展開知識講解弊大于利。立體幾何的教學(xué)，重在識圖，即實(shí)物觀察和直觀感知并行。實(shí)物觀察，包括觀察長方體（黑板擦）、正方體（三階魔方）、正四面體、球（乒乓球、籃球、足球）等幾何體，通過觸摸、交流、思考，加深學(xué)生對它們結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識。直觀感知，即通過學(xué)習(xí)直觀圖的畫法，分析直觀圖中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。在實(shí)際操作中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)物演示、折紙、觀察教室空間等操作，積累認(rèn)識幾何體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

四、關(guān)于提升數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是多向的，只有當(dāng)教師引導(dǎo)、學(xué)生思考、師生之間互動(dòng)交流、生生之間互動(dòng)交流、學(xué)生主動(dòng)探究等方面都積極有效，才能真正達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，教師需要整合信息技術(shù)、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)活動(dòng)等多種資源，使學(xué)生從感官上獲得認(rèn)知，內(nèi)化為對問題的理性思考，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)才能日漸呈現(xiàn)出效益的最大化。

（一）信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)

信息技術(shù)將文字、圖片、視頻等結(jié)合在一起，豐富了課堂教學(xué)的方式，特別是“互聯(lián)網(wǎng)+教育”模式的發(fā)展使課堂教學(xué)不再單調(diào)。

1.視頻教學(xué)

在教學(xué)“三角函數(shù)的周期性”一課時(shí)，教師通過視頻展示春、夏、秋、冬四季森林變化的優(yōu)美景色，讓學(xué)生感受四季輪換的周期性，激發(fā)學(xué)生的想象。觀看視頻結(jié)束后，教師可以提出問題：“同學(xué)們還能夠舉出生活中周期性的例子嗎？”視頻教學(xué)可以有效激發(fā)學(xué)生的直觀想象，進(jìn)而取得良好的教學(xué)效果。

2.數(shù)學(xué)軟件

幾何畫板、GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件具有作圖功能和數(shù)學(xué)運(yùn)算功能，其中的圖形變換功能非常適合函數(shù)的圖象及其性質(zhì)教學(xué)。GeoGebra的3D繪圖，可以計(jì)算出立體圖形中線段的真實(shí)長度，為學(xué)生探究立體幾何提供方便。筆者建議對學(xué)生進(jìn)行相關(guān)軟件使用的培訓(xùn)，讓學(xué)生養(yǎng)成自主探究的習(xí)慣。

3.微課教學(xué)

微課具有信息量大、耗時(shí)短等特征，而且可以取得短、平、快的效果。因此，在課前或者課后，學(xué)生可以通過觀看微課進(jìn)行有效預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí);在課堂教學(xué)中，如果教師需要對某個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，也可以利用微課進(jìn)行。如在講解“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”時(shí)，需要讓學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)奇偶性的知識，這時(shí)教師就可以利用微課將奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義和圖象特征進(jìn)行綜述，1分鐘左右就可以高效地幫助學(xué)生完成復(fù)習(xí)回顧。

（二）學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累

1.數(shù)形結(jié)合分析問題

數(shù)學(xué)中的許多問題都是抽象的。如果它們能變得具體、形象，那么學(xué)生就可以較好地接受、內(nèi)化，在接受的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。在函數(shù)、方程和不等式中，關(guān)于“恒成立、能成立、不成立”問題對學(xué)生來說比較困難，而且十分抽象。但如果他們能夠通過數(shù)形結(jié)合方法就可以快速、簡便地解決這些問題，進(jìn)而獲得成就感。譬如要論證“a>f（x）恒成立”，教師可以在黑板上畫出函數(shù)f（x）的圖象，然后拿著教鞭平行于x軸上下移動(dòng)，這樣學(xué)生就很容易獲得解題思路——a要大于f（x）的最大值，進(jìn)而形成一個(gè)一般性的結(jié)論，即“a>f（x）恒成立等價(jià)于a>f（x）max”。這種方法相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的“無字證明”。

2.用邏輯框圖梳理知識

思維導(dǎo)圖和結(jié)構(gòu)圖都是學(xué)生學(xué)習(xí)的有力工具。數(shù)學(xué)中的每一小節(jié)、每一單元、每一模塊，他們都可以用思維導(dǎo)圖和結(jié)構(gòu)圖梳理出知識結(jié)構(gòu)，以邏輯框圖的形式呈現(xiàn)出來。這樣各個(gè)零散卻彼此相關(guān)的知識點(diǎn)就可以用“線”串聯(lián)起來，直觀性強(qiáng)，有助于學(xué)生對知識的系統(tǒng)理解。

3.教師要著力引導(dǎo)

在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，教師的主導(dǎo)作用不可忽視。要想讓學(xué)生熟練地運(yùn)用好一種學(xué)習(xí)方法，教師必須熟練地掌握該學(xué)習(xí)方法的理論依據(jù)、操作流程和注意事項(xiàng)，通過教師的引導(dǎo)、演示，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。總而言之，教師要發(fā)揮好表率作用，既要注重方法的多樣化，又要選擇最優(yōu)化的問題解決辦法，強(qiáng)化知識和方法之間的聯(lián)系。

（三）六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)緊密聯(lián)系

教師重視學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的提升是因?yàn)槠渚哂兄庇^性強(qiáng)的特點(diǎn)，而且更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相互促進(jìn)，共同組成一個(gè)整體，并與數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法緊密相連。比如在求形如an=xan-1+y數(shù)列的通項(xiàng)公式中，我們可以借助代數(shù)直觀運(yùn)用“待定系數(shù)法”的方法求解。這其實(shí)就是一種“構(gòu)造法”，或者稱作“模型化方法”。通過這樣的方法，學(xué)生不僅提升了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，而且在分析問題的過程中提升了數(shù)學(xué)邏輯素養(yǎng)，又在運(yùn)算的過程中提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

總而言之，直觀想象可以將抽象的事物變得具體，使學(xué)生從對復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號理解轉(zhuǎn)化為對圖形的理解，提升數(shù)學(xué)問題的可視化程度，增強(qiáng)與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，加深數(shù)學(xué)文化的厚度。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要時(shí)刻謹(jǐn)記將直觀想象落到實(shí)處，不放過任何可以提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的機(jī)會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.