邵愛(ài)娣 余慶純 汪曉勤

【摘 要】近年來(lái)，由HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體合作開(kāi)發(fā)的HPM課例日益增多，但在已經(jīng)發(fā)表的HPM課例中，很多教師看不到課例的形成過(guò)程與研究細(xì)節(jié)。事實(shí)上，除了課例的教學(xué)過(guò)程，課例形成過(guò)程和研究細(xì)節(jié)也是一線教師希望了解的。研究者通過(guò)“十字相乘法”課例研究，按照選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與反饋、整理與寫作四個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)，為初中HPM課例研究和課堂教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】HPM課例;十字相乘法;數(shù)學(xué)思想;史料研究

一、引言

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的簡(jiǎn)稱。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是指借鑒數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展、再現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)思想方法、采用適當(dāng)?shù)姆绞竭\(yùn)用數(shù)學(xué)史料以提升教學(xué)的有效性、優(yōu)化數(shù)學(xué)教育價(jià)值的一種教學(xué)方式，由此形成的教學(xué)案例簡(jiǎn)稱為HPM課例[1]。近年來(lái)，由HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體合作開(kāi)發(fā)的HPM課例日益增多，但在已經(jīng)發(fā)表的HPM課例中，很多教師看不到課例的形成過(guò)程與研究細(xì)節(jié)。事實(shí)上，除了課例的教學(xué)過(guò)程，課例形成過(guò)程和研究細(xì)節(jié)也是一線教師希望了解的。

“十字相乘法”是滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第九章第五節(jié)“因式分解”中的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)十字相乘法以及十字交叉線的重要性。在教學(xué)實(shí)踐中，許多教師對(duì)“十字相乘法”存在許多困惑。例如十字交叉線是怎么出現(xiàn)的？為什么要引入十字交叉線？如何引導(dǎo)學(xué)生理解十字交叉線的重要性？HPM視角下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)能否體現(xiàn)數(shù)學(xué)史“以史為鑒、以文化人”的教育價(jià)值？

為了解決上述問(wèn)題，HPM工作室實(shí)施了“十字相乘法”課例研究，按照選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與反饋、整理與寫作四個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)，以期為初中HPM課例研究和課堂教學(xué)提供參考。

二、 HPM課例研究

（一）選題與準(zhǔn)備

1.問(wèn)題聚焦

“十字相乘法”這一課題由HPM工作室根據(jù)實(shí)際教學(xué)進(jìn)度選定。對(duì)于本節(jié)課，執(zhí)教者提出兩點(diǎn)疑惑：一是課本中直接將多項(xiàng)式相乘的法則（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab反過(guò)來(lái)，得到x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），這樣的引入方式比較突兀，但又找不到比較自然的引入方法;二是對(duì)十字相乘法中十字交叉線的由來(lái)介紹不是很清楚，課本上只提到可借助十字交叉線來(lái)分解因式，并沒(méi)有做過(guò)多的解釋與鋪墊，而在二次項(xiàng)系數(shù)為1的情形中，十字相乘法及十字交叉線的必要性并不明顯，只要將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的乘積，使這兩個(gè)數(shù)的和為一次項(xiàng)系數(shù)，即可順利完成因式分解。鑒于此，我們希望從數(shù)學(xué)史中尋找十字相乘法的動(dòng)因，并將其再現(xiàn)于課堂。

針對(duì)十字相乘法的教學(xué)現(xiàn)狀，工作室成員在充分討論后，擬在課例研究中聚焦以下問(wèn)題。

① 十字交叉線在歷史上是如何出現(xiàn)的？為什么要引入十字交叉線？

② 學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了因式分解的提公因式法、公式法、分組分解法等，為什么還要學(xué)習(xí)十字相乘法？

③ 在因式分解中如何從二次項(xiàng)系數(shù)為1過(guò)渡到系數(shù)不為1？

2.歷史研究

針對(duì)執(zhí)教者的疑惑，研究者查閱了1830—1930年間出版的多種美國(guó)代數(shù)教科書，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的乘法大多采用豎式運(yùn)算，例如（x+a）（x+b），其豎式乘法如圖1所示[2]。這種做法與兩位數(shù)和兩位數(shù)相乘的方法類似，每個(gè)數(shù)的個(gè)位都要乘另一個(gè)數(shù)的十位。

對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解，早期的教科書給出了多種方法，十字相乘法只是其中的一種。對(duì)于形如x2+px+q式子，大多數(shù)教科書采用試算法，只有極少數(shù)教科書將該情形與二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情形統(tǒng)一起來(lái)，采用十字相乘法[3];而對(duì)于形如ax2+bx+c（a≠1）的二次三項(xiàng)式，大多數(shù)教科書采用了十字相乘法。謝爾頓（Sheldon）在其1888年出版的代數(shù)教科書對(duì)10x2+19x+6進(jìn)行因式分解時(shí)指出：10x2最可能的因式是5x和2x，6最可能的因數(shù)是2和3，需要考慮如何排列，方可使其交叉乘積的代數(shù)和為19x，如圖2所示[4]。而尼科爾森（J.W.Nicholson）在對(duì)6x2+5x-4進(jìn)行因式分解時(shí)給出了交叉相乘、乘積相加的過(guò)程，如圖3所示[5]。

在我們所考察的美國(guó)代數(shù)教科書中，吉雷特（J.A.Gillet）最早采用了十字交叉線，在分解6x2+7x-20 時(shí)，將二次項(xiàng)系數(shù)6分成2和3的乘積，常數(shù)項(xiàng)-20分成5和-4的乘積，并將它們以十字交叉線連接，如圖4所示[6]。

喬斯林（L.P.Jocelyn）在分解10x2-11x-6時(shí)也給出了交叉相乘的過(guò)程，同時(shí)使用了十字交叉線，如圖5所示[7]。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式（如x2+2x-48），作者也采用了十字相乘法，如圖6所示?；艨怂梗℉.E.Hawkes）分解2x2+5x+3的例子更明顯地說(shuō)明了十字相乘法與豎式乘法之間的關(guān)系，如圖7所示[8]。大多數(shù)教科書在使用十字相乘法時(shí)都保留了字母，這與現(xiàn)行滬教版教科書的做法一致。在采用十字相乘法的教科書中，大多數(shù)教科書并未使用十字交叉線。

對(duì)歷史上數(shù)學(xué)教科書的考察表明，十字相乘法和十字交叉線源于多項(xiàng)式的豎式乘法。

3.教材分析

就國(guó)內(nèi)現(xiàn)行初中教科書來(lái)看，只有滬教版教科書明確安排了十字相乘法的內(nèi)容。人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)在“整式的乘法與因式分解”章末“閱讀與思考”中介紹了形如x2+（p+q）x+pq二次三項(xiàng)式的因式分解方法，但并未給出“十字相乘法”之名。江蘇科技版教科書設(shè)計(jì)了一個(gè)拼圖活動(dòng)：給出3種紙片，即邊長(zhǎng)為a的正方形、邊長(zhǎng)為b的正方形以及長(zhǎng)和寬分別為a和b的長(zhǎng)方形，然后通過(guò)計(jì)算1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、2個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形以及3個(gè)長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形的面積，從而得出a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），但同樣未給出“十字相乘法”之名。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師大致采用兩種引入方式：一種是將（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab反過(guò)來(lái)，直接得到x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）;另一種則是讓學(xué)生展開(kāi)一組多項(xiàng)式，觀察展開(kāi)前后一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得出二次三項(xiàng)式的因式分解。這些數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)既沒(méi)有說(shuō)明十字交叉線的由來(lái)，也沒(méi)有說(shuō)明十字交叉線的意義。

4.初步教學(xué)設(shè)計(jì)

研究者提供相關(guān)資料和歷史素材，執(zhí)教者根據(jù)材料，結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)初步完成教學(xué)設(shè)計(jì)。

（1）教學(xué)目標(biāo)

① 理解十字相乘法的概念。

② 能正確并熟練運(yùn)用十字相乘法將形如x2+px+q二次三項(xiàng)式分解因式。

（2）教學(xué)重難點(diǎn)

① 教學(xué)重點(diǎn)：能正確并熟練運(yùn)用十字相乘法將形如x2+px+q二次三項(xiàng)式分解因式。

② 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)形如x2+px+q分解因式時(shí)，準(zhǔn)確找出a、b，使ab=q，a+b=p。

（3）教學(xué)過(guò)程

① 復(fù)習(xí)引入?？诖鹨唤M多項(xiàng)式乘法，如（x+3）（x+5）;觀察積的常數(shù)項(xiàng)與兩個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系;總結(jié)（x+a）（x+b）的結(jié)果;嘗試因式分解x2+（a+b）x+ab。

② 探索新知。給出十字相乘法的定義，呈現(xiàn)十字交叉線圖解，同時(shí)用十字交叉線講評(píng)兩道習(xí)題。首先把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)，再看這兩個(gè)因數(shù)之和是否等于一次項(xiàng)的系數(shù)。

③ 例題講解。如因式分解x2-7x+12，先分解哪一項(xiàng)？怎樣分解？為什么這樣分解？十字交叉線怎么畫？詳細(xì)講解十字交叉線圖。

④ 課堂練習(xí)。學(xué)生按例題分析的要求完成6道練習(xí)題。

⑤ 課堂小結(jié)。什么叫十字相乘法？分解的要點(diǎn)是什么？

（二）研討與設(shè)計(jì)

在HPM工作室的教學(xué)研討中，首先由高校研究者解讀相關(guān)的歷史素材，接著由執(zhí)教者介紹初步的教學(xué)設(shè)計(jì)與困惑，最后大家針對(duì)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)和教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)展開(kāi)討論。執(zhí)教者的初步教學(xué)設(shè)計(jì)并沒(méi)有體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的融入，這說(shuō)明執(zhí)教者對(duì)歷史材料的解讀不到位。經(jīng)過(guò)討論，大家達(dá)成兩個(gè)共識(shí)，一是引入部分可以借鑒江蘇科技版教科書上的拼圖活動(dòng);二是十字交叉線可以通過(guò)多項(xiàng)式豎式乘法引入。

據(jù)此，執(zhí)教者對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做出修正，修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

1.教學(xué)目標(biāo)

① 學(xué)生通過(guò)探究、小組討論，探索形如x2+px+q二次三項(xiàng)式因式分解的基本方法（十字相乘法）。

② 學(xué)生通過(guò)自行嘗試和小組互助的形式，探究運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解的步驟和注意要點(diǎn)。

③ 通過(guò)數(shù)字教材和HPM的融入，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，形成從特殊到一般、從具體到抽象的思維品質(zhì)。

2.教學(xué)重難點(diǎn)

① 教學(xué)重點(diǎn)：正確使用十字相乘法進(jìn)行因式分解。

② 教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解的步驟和注意要點(diǎn)。

3.教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程仍然分成五個(gè)部分，并借助AiSchool平臺(tái)來(lái)完成。

① 拼圖活動(dòng)。課前每個(gè)小組用一張面積為x2（x≠1）的正方形紙片，若干張面積為x的長(zhǎng)方形紙片以及若干張面積為1的正方形紙片拼接成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。同時(shí)閱讀十字相乘法相關(guān)的文獻(xiàn)。

② 探究活動(dòng)。由拼圖活動(dòng)建立一些等式，利用多項(xiàng)式乘法進(jìn)行豎式驗(yàn)證。提出問(wèn)題：p和q滿足什么條件時(shí)，形如x2+px+q（p和q為整數(shù)）二次三項(xiàng)式可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積？教師播放笛卡兒和待定系數(shù)法的數(shù)學(xué)小視頻，讓學(xué)生展示x2-5x+6的因式分解。教師收集學(xué)生的解題過(guò)程并介紹數(shù)學(xué)史上的幾種分解方法。

③ 歸納整理。對(duì)x2+px+q（p和q為整數(shù)）進(jìn)行因式分解，關(guān)鍵是將q分解為兩個(gè)整數(shù)a和b，使（x+a）（x+b）一次項(xiàng)的和恰好是px，可以通過(guò)以下方式驗(yàn)證一次項(xiàng)（如圖8）。由此引出十字相乘法，再對(duì)x2+px+q進(jìn)行因式分解，強(qiáng)調(diào)方法、符號(hào)和書寫格式。

④ 運(yùn)用知識(shí)。每組編制四個(gè)形如x2+px+q（p和q為整數(shù)）二次三項(xiàng)式。拓展問(wèn)題：先填空，再分解（盡可能多的）。x2+（ ?）x+60=_________________。

⑤ 課堂小結(jié)。學(xué)生針對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容提出問(wèn)題，教師對(duì)十字相乘法的特征和方法加以總結(jié)。

（三）實(shí)施與反饋

1.?第一輪教學(xué)

執(zhí)教者在同一年級(jí)的一個(gè)班級(jí)進(jìn)行了試教。課后，HPM工作室部分研究者與執(zhí)教者進(jìn)行了研討。針對(duì)“為什么要用十字交叉線”問(wèn)題，研究者課后隨機(jī)訪談了幾名學(xué)生，其中1名學(xué)生回答“為了好看”，1名學(xué)生認(rèn)為“不需要十字交叉線”，1名學(xué)生說(shuō)“為了計(jì)算更精確”。由此可見(jiàn)，學(xué)生并不能理解使用十字交叉線的意義。事實(shí)上，前文已提及，對(duì)于形如x2+px+q式子，十字相乘法的必要性并不明顯。研究者建議增加二次項(xiàng)不為1的情形，讓學(xué)生體會(huì)十字交叉線的作用。此外，研究者建議對(duì)視頻內(nèi)容做適當(dāng)調(diào)整，因?yàn)椴シ盼⒁曨l的目的主要是讓學(xué)生了解待定系數(shù)法。

根據(jù)研討結(jié)果，執(zhí)教者決定從以下幾個(gè)方面修改教學(xué)設(shè)計(jì)。

① 探究活動(dòng)部分要求學(xué)生利用多項(xiàng)式乘法進(jìn)行豎式驗(yàn)證（為教學(xué)十字交叉線做鋪墊）。

② 微視頻播放的時(shí)間偏長(zhǎng)，縮短敘述故事的部分內(nèi)容。

③ 十字交叉線的引入部分增加講解時(shí)間，讓學(xué)生有充分的時(shí)間吸收。

④ 將運(yùn)用知識(shí)部分的拓展問(wèn)題更換為一道二次項(xiàng)系數(shù)不為1的題目。

基于試講的情況以及研究者提出的建議，執(zhí)教者再次對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了修正，主要集中在以下幾個(gè)方面。

① 教學(xué)過(guò)程由原來(lái)五個(gè)部分增為六個(gè)部分：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—?dú)w納整理—運(yùn)用知識(shí)—課堂小結(jié)。

② 提出問(wèn)題部分，學(xué)生通過(guò)課前閱讀文獻(xiàn)得到x2+6x+8的因式分解方法。

③ 解決問(wèn)題部分，增加了一個(gè)環(huán)節(jié)，因式分解x2-5x+6，學(xué)生利用待定系數(shù)法得到p=a+b，q=ab的關(guān)系，嘗試將一次項(xiàng)系數(shù)-5分解為兩個(gè)數(shù)的和，常數(shù)項(xiàng)6分解為同樣兩個(gè)數(shù)的積。教師利用PPT演示，通過(guò)多項(xiàng)式豎式乘法，一步步引出十字交叉線。

④ 運(yùn)用知識(shí)部分，將拓展問(wèn)題改為：分解因式3x2+10x-8。

2.第二輪教學(xué)

首先，教師讓學(xué)生展示課前拼好的長(zhǎng)方形，分別寫出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬以及面積，這樣就得出了一組形如x2+px+q式子的因式分解。由此引出問(wèn)題：形如x2+px+q（p和q為整數(shù)）二次三項(xiàng)式，如果不能直接利用完全平方公式來(lái)分解因式，那么該如何分解？接著，教師讓學(xué)生展示課前閱讀文獻(xiàn)得到x2+6x+8的因式分解方法，包括配方法、分組分解法和十字相乘法三種。最后，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)史上二次三項(xiàng)式因式分解方法的多樣性和靈活性。

一組學(xué)生發(fā)現(xiàn)，利用他們手頭的紙片，無(wú)法拼出一個(gè)長(zhǎng)方形。教師順勢(shì)提出問(wèn)題：p和q滿足什么條件時(shí)，x2+px+q（p和q為整數(shù)）可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積？教師通過(guò)播放笛卡兒和待定系數(shù)法的數(shù)學(xué)小視頻啟發(fā)學(xué)生。大部分學(xué)生利用待定系數(shù)法，得到x2+px+q=（x+a）（x+b），其中p=a+b，q=ab。有些學(xué)生選擇豎式乘法，也得出同樣的結(jié)果。

隨后，學(xué)生利用待定系數(shù)法得到p=a+b，q=ab，嘗試分解x2-5x+6。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生總結(jié)：應(yīng)該把常數(shù)項(xiàng)6分解為兩個(gè)整數(shù)的乘積，因?yàn)檎麛?shù)分解為兩個(gè)整數(shù)乘積的情形相對(duì)會(huì)少一些。教師總結(jié)因式分解的步驟：拆分常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)證一次項(xiàng);根據(jù)多項(xiàng)式豎式乘法，通過(guò)“交叉相乘再相加”驗(yàn)證，故需引入十字交叉線。教師在書寫結(jié)果時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生要“豎分橫積”。至此，十字相乘法應(yīng)運(yùn)而生。在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了四個(gè)二次三項(xiàng)式的因式分解練習(xí)題。

課堂小結(jié)部分，教師讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。整節(jié)課數(shù)學(xué)史融入非常自然，順利解決了執(zhí)教者之前的困惑。

3.學(xué)生反饋

課后，研究者對(duì)全班36名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并對(duì)其中4名學(xué)生進(jìn)行了半結(jié)構(gòu)式訪談。在問(wèn)卷調(diào)查中，約81 的學(xué)生認(rèn)為，拼圖活動(dòng)有助于他們思考形如x2+px+q二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題。約78 的學(xué)生理解了十字相乘法的重要性，約72 的學(xué)生能正確理解十字交叉線的書寫格式及意義（如圖9），認(rèn)為十字交叉線是用來(lái)檢驗(yàn)因式分解結(jié)果的正確性。對(duì)于因式分解中二次項(xiàng)系數(shù)不為1的測(cè)試題，學(xué)生的正確率約為42 ，可見(jiàn)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的因式分解等教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生是有潛力突破的（如圖10）。

在半結(jié)構(gòu)式訪談中，多名學(xué)生提到，雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了因式分解的提公因式法、公式法、分組分解法等，但是十字相乘法能夠化繁為簡(jiǎn)，更簡(jiǎn)便地進(jìn)行因式分解;同時(shí)，利用十字交叉線進(jìn)行相乘再相加，便于驗(yàn)算。不少學(xué)生提到，他們對(duì)利用微視頻講解數(shù)學(xué)家的故事與思想方法印象深刻，有助于他們了解十字相乘法的由來(lái)與用法，生動(dòng)有趣。同時(shí)，十字相乘法幫助他們關(guān)注因式分解中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的聯(lián)系，啟發(fā)理性思考，從多角度看待事物之間的聯(lián)系。

4.同行評(píng)議

課后，研究者和執(zhí)教者一起進(jìn)行了深入研討。研究者指出了本節(jié)課的一些優(yōu)點(diǎn)：首先是前置的兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，一是拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生有充分的時(shí)間動(dòng)手操作;二是閱讀歷史文獻(xiàn)，能夠拓寬學(xué)生眼界。其次是能夠?qū)⑹窒喑朔ê椭皩W(xué)過(guò)的完全平方公式法及后面的分組分解法聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。最后是使用微視頻，能夠清楚地向?qū)W生介紹待定系數(shù)法，滲透數(shù)學(xué)思想。

從整個(gè)教學(xué)過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式有附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式。其中，附加式用于通過(guò)微視頻介紹笛卡兒的生平;復(fù)制式用于待定系數(shù)法的使用以及課堂上展示歷史文獻(xiàn)中對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解方法;順應(yīng)式用于類比兩位數(shù)乘法的豎式計(jì)算，對(duì)多項(xiàng)式豎式乘法進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖?，便于學(xué)生理解。

本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的以下價(jià)值。一是知識(shí)之諧。學(xué)生經(jīng)歷從兩位數(shù)的豎式乘法到二項(xiàng)式的豎式乘法，再到十字相乘法的過(guò)程，使十字相乘法和十字交叉線的出現(xiàn)自然而然。二是方法之美。學(xué)生閱讀歷史文獻(xiàn)，感受歷史上因式分解方法的多樣性;讓學(xué)生了解待定系數(shù)法，并利用它探究形如x2+px+q二次三項(xiàng)式可分解的條件。三是能力之助。課前閱讀歷史文獻(xiàn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和歸納能力。四是文化之魅。利用微視頻讓學(xué)生了解因式分解的歷史和數(shù)學(xué)家笛卡兒的思想。五是德育之效。激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。

本節(jié)課也存在不足之處，如沒(méi)有對(duì)十字相乘法與配方法、分組拆分法等進(jìn)行對(duì)比，從中得出不同方法的優(yōu)劣性和選擇的適切性。

（四）整理與寫作

1.教學(xué)反思

第二輪教學(xué)后，執(zhí)教者圍繞“十字相乘法”的教學(xué)，進(jìn)行了以下幾個(gè)方面的反思。

① 拼圖活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考一類二次三項(xiàng)式的分解問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;借助待定系數(shù)法引出十字相乘法，通過(guò)豎式乘法解釋十字交叉線，過(guò)程均比較自然。

② 經(jīng)過(guò)本次教學(xué)，真正借鑒和重構(gòu)歷史，引導(dǎo)學(xué)生從二次項(xiàng)系數(shù)為1逐步過(guò)渡到二次項(xiàng)系數(shù)不為1的因式分解。

③ 在課堂教學(xué)融合數(shù)字教材講解、微視頻播放、AiSchool平臺(tái)講解習(xí)題等內(nèi)容，帶動(dòng)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)字化呈現(xiàn)，提高課堂教學(xué)效率。

④ HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)歷史、走進(jìn)數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，獲得“做數(shù)學(xué)”的樂(lè)趣，感悟數(shù)學(xué)家的理性精神。

2.?課例呈現(xiàn)

課例由教師和研究者共同撰寫，共分為五個(gè)部分：一是引言，說(shuō)明選題的重要性和必要性;二是史料的選取，交代與教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的史料和課堂上的運(yùn)用方式;三是教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，按照教學(xué)環(huán)節(jié)展開(kāi);四是學(xué)生反饋，對(duì)問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析;五是結(jié)語(yǔ)，說(shuō)明本節(jié)課中數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生的教育價(jià)值、教師的收獲和反思。

三、教學(xué)啟示

“十字相乘法”課例經(jīng)歷了選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與反饋、整理與寫作四個(gè)環(huán)節(jié)，最終形成一個(gè)HPM課例。從課例研究中，我們得到以下啟示。

1.注重教育取向，深入史料研究

數(shù)學(xué)史揭示了知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的動(dòng)因，為師生解決疑難問(wèn)題提供了答案，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供了思想的啟迪。因此，教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM課例開(kāi)發(fā)的基礎(chǔ)，沒(méi)有對(duì)歷史的深刻理解，就無(wú)法產(chǎn)生高水準(zhǔn)的HPM課例。

2.注重教育實(shí)際，立足課堂教學(xué)

HPM課例研究扎根于一線教學(xué)實(shí)踐，關(guān)注數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)的有效融合。課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為本，因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與研討時(shí)，應(yīng)該將學(xué)生心理發(fā)展順序與知識(shí)的歷史順序、邏輯順序相互統(tǒng)一。同時(shí)，教師需要考慮在有限的課堂教學(xué)時(shí)空里最優(yōu)化地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，可以根據(jù)史料編制數(shù)學(xué)例題，也可以借助微視頻輔助拓展新知識(shí)。

3.注重師生反饋，加強(qiáng)交流合作

在課例試講、正式授課過(guò)程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的課堂表現(xiàn)與課堂前后的反饋，如對(duì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查與訪談，能夠及時(shí)了解學(xué)生的基本情況，便于教師有效地調(diào)整教學(xué)。同時(shí)，教師需要關(guān)注在每個(gè)研究階段的行動(dòng)與反思，如教學(xué)觀摩與研討、分析教學(xué)反思等，能夠及時(shí)了解他們?cè)谥R(shí)、信念與能力三個(gè)維度上的發(fā)展。最后，HPM課例研究需要加強(qiáng)HPM學(xué)習(xí)共同體的交流與合作，促進(jìn)研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與評(píng)價(jià)兩個(gè)環(huán)節(jié)的良性互動(dòng)。

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