許決英

【摘 要】形如“AP+kP

”的最小值問(wèn)題是關(guān)于兩條線段之和最小值的新題型。解決此類問(wèn)題的基本策略有兩種，一是利用相似比k構(gòu)造與kP

等長(zhǎng)的線段，二是利用三角函數(shù)值k構(gòu)造與kP

等長(zhǎng)的線段。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);最值問(wèn)題;專題教學(xué)

“將軍飲馬”問(wèn)題是求兩條線段之和最小值的經(jīng)典問(wèn)題（如圖1）。近年來(lái)，各地中考數(shù)學(xué)中關(guān)于兩條線段之和最小值問(wèn)題出現(xiàn)了新的題型，其中有一類題型：已知A、

為兩個(gè)定點(diǎn)，P為直線、圓等幾何圖形上的動(dòng)點(diǎn)，k為小于1的正有理數(shù)，求AP+kP

的最小值。

圖1

對(duì)于“求AP+kP

的最小值”問(wèn)題，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到“將軍飲馬”問(wèn)題，并試圖將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在線段P

上取一點(diǎn)C，使PC

kP

（如圖2）。但這樣的結(jié)果是點(diǎn)C也成了動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、P、C′三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，AP+PC并不是最小值。學(xué)生運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)無(wú)法解決此類問(wèn)題，而且點(diǎn)P也不一定是直線上的一點(diǎn)。學(xué)生的認(rèn)知受到嚴(yán)重阻礙，導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題無(wú)從下手。

圖2

本文擬對(duì)兩道中考數(shù)學(xué)模擬題進(jìn)行深入剖析，探討解決此類新問(wèn)題的兩種基本策略。

一、利用相似比k構(gòu)造與kP

等長(zhǎng)的線段

問(wèn)題1 （蘇州市相城區(qū)2017年九年級(jí)第一次模擬考）如圖3，在R

△A

C中，∠

AC

30°，AC

8。以點(diǎn)C為圓心，4為半徑作⊙C。

圖3

（1）試判斷⊙C與線段A

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（2）若點(diǎn)D在邊AC上，且CD

2，點(diǎn)E、F分別為邊A

、⊙C上任意一點(diǎn)。①求證：△FCD△ACF;②求EF+12FA的最小值。

[解析]（1）線段A

與⊙C相切（過(guò)程略）。

（2）① ∵CD

2，CF

4，CA

8，

∴CDCF

CFCA。

又∵∠FCD

∠ACF，

∴△FCD△ACF。

② ∵△FCD△ACF，

∴FDFA

CFCA

48

12，即FD

12FA。

∴EF+12FA

EF+FD。

如圖4，當(dāng)D、E（E′）、F（F′）三點(diǎn)在同一條直線上，且DE（DE′）⊥A

時(shí)，EF+12FA取得最小值。

圖4

作DE′⊥A

交A

于點(diǎn)E′，則DE′

12AD

3，即EF+12FA的最小值為3。

【評(píng)析】本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等內(nèi)容，構(gòu)思巧妙，環(huán)環(huán)相扣。問(wèn)題“求EF+12FA的最小值”設(shè)計(jì)新穎，給考生以似曾相識(shí)之感，拉近了考生與考題的心理距離，激發(fā)了考生探究問(wèn)題的積極性。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造或?qū)ふ遗c12FA等長(zhǎng)的線段。這具有一定的挑戰(zhàn)性，需要考生從宏觀層面揣摩命題者的設(shè)計(jì)思路，從△FCD△ACF中尋求突破口，利用相似比等于12，找到與12FA等長(zhǎng)的線段FD，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D到直線A

的距離。

變式1 如圖5，在R

△A

C中，∠

AC

30°，AC

8。以點(diǎn)C為圓心，4為半徑作⊙C。若點(diǎn)E、F分別為邊A

、⊙C上任意一點(diǎn)，求EF+12FA的最小值。

圖5

[解析]變式1弱化了問(wèn)題1中的條件，雖然問(wèn)題不變，但是難度比問(wèn)題1大。解題的關(guān)鍵是先構(gòu)造出相似比為12的相似三角形，再構(gòu)造出與12FA等長(zhǎng)的線段。如圖6，仿照問(wèn)題1，在線段AC上取一點(diǎn)D，使CD

2，并連接FD。接下來(lái)的解題步驟與問(wèn)題1相同。

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】變式1旨在讓學(xué)生明白，問(wèn)題“求EF+12FA的最小值”之所以能夠順利求解，在于⊙C的半徑與線段AC長(zhǎng)的比值為12，從而可以在線段AC上截取CD

12CF

2，構(gòu)造出相似比為12的相似三角形。

變式2 如圖7，在R

△A

C中，∠

AC

30°，AC

8。以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作⊙C。若點(diǎn)E、F分別為邊A

、⊙C上任意一點(diǎn)，求EF+14FA的最小值。

圖7

[解析]如圖8，變式2的解題關(guān)鍵是找出與14FA等長(zhǎng)的線段。此時(shí)⊙C的半徑與線段AC長(zhǎng)的比值為14，故在AC上截取CD

14CF

12，構(gòu)造出相似比為14的相似三角形（△FCD△ACF），從而得到FD

14FA。以下過(guò)程略。

圖8

【設(shè)計(jì)意圖】變式2旨在讓學(xué)生明白，此類問(wèn)題可以推廣到一般情形。問(wèn)題的解決不在于⊙C與線段A

的位置關(guān)系，而在于⊙C的半徑與線段AC的比值。當(dāng)⊙C的半徑與線段AC的比值為k時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)構(gòu)造相似比為k的相似三角形，找到與kFA等長(zhǎng)的線段，從而解決“求EF+kFA的最小值”問(wèn)題。

問(wèn)題1及其變式讓學(xué)生知道，解決“求EF+kFA的最小值”問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造相似比為k的相似三角形，尋找與kFA等長(zhǎng)的線段。然而，并不是所有的此類問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形來(lái)解決。

二、利用三角函數(shù)值k構(gòu)造與kP

等長(zhǎng)的線段

問(wèn)題2 （蘇州市新區(qū)2017年九年級(jí)第一次模擬考）如圖9，已知拋物線y

a

x+2）

x-4）（a為常數(shù)，且a>0）與x軸從左至右依次交于A、

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

的直線y

-33x+

與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5。

圖9

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

（2）點(diǎn)P為直線

D下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、P

，求△P

D面積的最大值。

（3）設(shè)點(diǎn)F為線段

D上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

[解析]（1）y

39x2-239x-839。（過(guò)程略）

（2）△P

D面積的最大值為8138。（過(guò)程略）

（3）如圖10，作DG∥x軸，F(xiàn)H⊥DG交DG于點(diǎn)H，AH′⊥DG交DG于點(diǎn)H′，并交線段

D于點(diǎn)F′。

由已知得

D所在直線的解析式y(tǒng)

-33x+433，設(shè)

D與y軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為0，433。

圖10

∵

an∠E

O

OEO

433 4

33，

∴∠HDF

∠E

O

30°，F(xiàn)H

12DF。

∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為

AF1+FD2

AF+FH。

故當(dāng)A、F、H三點(diǎn)在同一直線上，且AH⊥DG時(shí)，用時(shí)最少，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，23）。

【評(píng)析】本題是一道考查一次函數(shù)與二次函數(shù)知識(shí)的綜合題。問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）重點(diǎn)考查了待定系數(shù)法和配方法，問(wèn)題（3）從表面上看是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，但其實(shí)質(zhì)是“求AF+12FD的最小值”問(wèn)題。解題的關(guān)鍵是通過(guò)作平行線將30°的∠E

O轉(zhuǎn)移至∠HDF，再利用30°角的正弦函數(shù)構(gòu)造出與12FD等長(zhǎng)的線段FH。

變式1 如圖11，已知拋物線y

a

x+2）

x-4）（a為常數(shù)，且a>0）與x軸從左至右依次交于A、

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

的直線y

-33x+

與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5。設(shè)F為線段

D上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF。一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段F

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

后停止。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

圖11

[解析]如圖12，作FH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，作點(diǎn)A關(guān)于直線

D的對(duì)稱點(diǎn)A′，作A′H′⊥x軸交x軸于點(diǎn)H′，交

D于點(diǎn)F′。連接線段A′F、AA′、

A′，則AF

A′F，A

A′

6，∠A

A′

2∠A

F

60°。

圖12

∵△AA′

為等邊三角形，且點(diǎn)H′為線段A

的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)H′的坐標(biāo)為（1，0）。

∵∠F

O

30°，

∴FH

F

sin∠F

O

12F

。

∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為

=AF1+F

2

AF+FH

A′F+FH。

故當(dāng)A′、F、H三點(diǎn)在同一直線上，且A′H⊥x軸時(shí)，用時(shí)最少，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，3）。

【設(shè)計(jì)意圖】仿照問(wèn)題2，學(xué)生不難將變式1轉(zhuǎn)化成“求AF+12F

的最小值”問(wèn)題，也能體會(huì)到利用sin∠F

O

12構(gòu)造出與12F

等長(zhǎng)的線段FH是解決變式1的關(guān)鍵，從而將問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“求AF+FH的最小值”。但問(wèn)題2中的線段AF、FH在直線

D的異側(cè)，學(xué)生可以直接利用“垂線段最短”解決問(wèn)題;而變式1中的線段AF、FH在直線

D的同側(cè)，學(xué)生需要類比“將軍飲馬”問(wèn)題，作出點(diǎn)A關(guān)于直線

D的對(duì)稱點(diǎn)A′（定點(diǎn)），將線段AF、FH在直線

D同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段A′F、FH在直線

D異側(cè)的問(wèn)題。

變式2 如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y

ax2+

x+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）、點(diǎn)

（0，-4）、點(diǎn)C（4，0），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D。若點(diǎn)P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接線段PD，求PD+35P

的最小值。

圖13

[解析]如圖14，學(xué)生不難求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y

13x2-13x-4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為12，0。題目所求問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造出與35P

等長(zhǎng)的線段。通過(guò)作直線A

，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)在R

△A

O中，AO

3，

O

4，A

5，從而可得sin∠A

O

35。作PH⊥A

交A

于點(diǎn)H，則PH

P

·sin∠A

O

35P

。這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“求PD+PH的最小值”。因此，當(dāng)D、P、H三點(diǎn)在同一直線上，且DH⊥A

時(shí)，PD+35P

的值最小，最小值為145。

圖14

【設(shè)計(jì)意圖】變式2旨在讓學(xué)生明白，解決問(wèn)題“求PD+kP

的最小值”的另一種思路是尋找或構(gòu)造以P

為一邊的∠P

H，使sin∠P

H

k，再構(gòu)造出以P

為斜邊的R

△P

H，求出PH

kP

，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求PD+PH的最小值”。

三、結(jié)語(yǔ)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題教學(xué)的落腳點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師可以通過(guò)專題教學(xué)的形式，借助變式教學(xué)的手段，指出問(wèn)題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，掌握基本的數(shù)學(xué)解決方法，做到觸類旁通、舉一反三，從而提升他們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

以上關(guān)于“求AP+kP

的最小值”問(wèn)題的解決，需要將問(wèn)題逐步抽象成“將軍飲馬”或“垂線段最短”的數(shù)學(xué)模型，而轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)是“構(gòu)造”，這就需要學(xué)生具有一定的直觀想象能力，自覺(jué)從相似三角形或三角函數(shù)中尋求解決問(wèn)題的“鑰匙”。