王進(jìn)敬 栗小妮

【摘 要】 “負(fù)負(fù)得正”這一符號(hào)法則是數(shù)學(xué)上為了在數(shù)系擴(kuò)充時(shí)保持運(yùn)算律一致性而做出的合理規(guī)定，它本身并不能被證明，但其合理性可以借助現(xiàn)實(shí)模型加以解釋。在課堂教學(xué)中，很多教師往往不重視“負(fù)負(fù)得正”法則的由來(lái)，也很少給予學(xué)生機(jī)會(huì)探究“負(fù)負(fù)得正”的原因。教師從司湯達(dá)的故事入手，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”進(jìn)行探究，除了讓學(xué)生更深刻地理解這一法則，還體現(xiàn)了多方面的教育價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】 HPM；負(fù)負(fù)得正；有理數(shù)乘法法則；教學(xué)設(shè)計(jì)

【作者簡(jiǎn)介】 王進(jìn)敬，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究；栗小妮，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】 上海高?！傲⒌聵?shù)人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的研究

一、引言

初中階段，學(xué)生要經(jīng)歷兩次數(shù)系的擴(kuò)充，第一次為負(fù)數(shù)和有理數(shù)。有理數(shù)乘法法則作為有理數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是將學(xué)生已知的正整數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則推廣到有理數(shù)范圍的一個(gè)重要載體。有理數(shù)乘法法則可以讓學(xué)生深化對(duì)負(fù)數(shù)、已有正數(shù)范圍內(nèi)運(yùn)算法則和運(yùn)算律的理解和運(yùn)用，而如何向?qū)W生解釋“負(fù)負(fù)得正”是教學(xué)的難點(diǎn)。

在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，很多教師利用一個(gè)或兩個(gè)現(xiàn)實(shí)模型引入有理數(shù)乘法法則，例如有的教師利用蝸牛爬行模型、水位變化模型或者歸納模型引入該法則。在教學(xué)實(shí)踐中，用現(xiàn)實(shí)模型解釋有理數(shù)乘法法則有一定難度。學(xué)生除了要弄清不同情境中正負(fù)的規(guī)定，運(yùn)動(dòng)中方向的確定與正負(fù)的對(duì)應(yīng)，還要將靜態(tài)的負(fù)數(shù)理解為一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，這樣就增加了思維的難度。因此，有的教師改編教科書(shū)中的設(shè)計(jì)，運(yùn)用加法法則解釋“負(fù)正得負(fù)”，再利用相反數(shù)的意義得到“負(fù)負(fù)得正”，或輔以現(xiàn)實(shí)模型得到或驗(yàn)證“負(fù)負(fù)得正”，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)該法則的理解。還有的教師通過(guò)將正整數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律推廣到有理數(shù)范圍來(lái)引入有理數(shù)乘法法則，先用加法法則解釋“負(fù)正得負(fù)”，再利用分配律解釋“負(fù)負(fù)得正”。

有些教師試圖在教學(xué)中證明“負(fù)負(fù)得正”，事實(shí)上，“負(fù)負(fù)得正”在數(shù)學(xué)上是無(wú)法被證明的。德國(guó)數(shù)學(xué)家F克萊因在其《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中告訴數(shù)學(xué)教師“不要把不可能的證明講得似乎成立”[1]。美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M克萊因以史為鑒，預(yù)言學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)必定會(huì)遇到困難。他曾指出，歷史上大數(shù)學(xué)家所遇到的困難，恰恰也是學(xué)生會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙，試圖利用邏輯的冗長(zhǎng)語(yǔ)言來(lái)消除這些困難是不可能成功的。從數(shù)學(xué)誕生開(kāi)始，數(shù)學(xué)家花了1000多年才得到負(fù)數(shù)的概念，后面又花了1000多年才接受負(fù)數(shù)的概念，因此我們可以肯定，學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)必定會(huì)遇到困難。而且學(xué)生克服這些困難的方式與數(shù)學(xué)家大致是相同的[2]。

因此，在教學(xué)有理數(shù)乘法法則時(shí)，教師有必要弄清以下問(wèn)題：“負(fù)負(fù)得正”既然是一種“規(guī)定”，那么這種“規(guī)定”的根源何在？除了用課本上給出的運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行解釋?zhuān)€可以采用哪些方式來(lái)解釋其合理性？在歷史的發(fā)展進(jìn)程中，“負(fù)負(fù)得正”經(jīng)歷了怎樣的曲折？在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，怎樣看待“規(guī)定”的內(nèi)容？是毫無(wú)疑問(wèn)地全盤(pán)接受，還是從多個(gè)角度加以質(zhì)疑，并在探索中尋找問(wèn)題的答案，從而獲得終身學(xué)習(xí)的能力？鑒于上述問(wèn)題，我們從HPM視角設(shè)計(jì)本節(jié)課。

二、歷史素材

有關(guān)負(fù)數(shù)和“負(fù)負(fù)得正”的歷史精彩紛呈，本教學(xué)設(shè)計(jì)所采用的是19世紀(jì)法國(guó)著名作家司湯達(dá)（Stendhal）在其自傳中描述他學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正”的經(jīng)歷，以及M克萊因用“負(fù)債模型”對(duì)有理數(shù)乘法法則的解釋。司湯達(dá)小時(shí)候很喜愛(ài)數(shù)學(xué)，當(dāng)數(shù)學(xué)教師迪皮伊先生教到“負(fù)負(fù)得正”這一法則時(shí)，司湯達(dá)希望教師能對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的緣由做出解釋。面對(duì)司湯達(dá)的提問(wèn)，迪皮伊先生只是一笑而過(guò)，并不當(dāng)回事，而靠死記硬背學(xué)數(shù)學(xué)的一名學(xué)生則對(duì)司湯達(dá)的疑問(wèn)“嗤之以鼻”。補(bǔ)習(xí)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師夏貝爾先生被司湯達(dá)問(wèn)得十分尷尬，只得不斷重復(fù)課程內(nèi)容，說(shuō)負(fù)數(shù)如同欠債，而那正是司湯達(dá)的疑問(wèn)所在：一個(gè)人該怎樣把10000法郎的債與500法郎的債相乘起來(lái)，才能得到5000000法郎的收入呢？最終，夏貝爾先生只得搬出數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）的話給予解答：“這是慣用格式，大家都這么認(rèn)為?！盵3]司湯達(dá)被“負(fù)負(fù)得正”困擾了很久，最后，在萬(wàn)般無(wú)奈之下只好接受了它。

19世紀(jì)，司湯達(dá)的老師未能解釋“債務(wù)乘以債務(wù)等于收入”的悖論。到了20世紀(jì)，美國(guó)數(shù)學(xué)家M克萊因成功地解決了這個(gè)難題。他聲稱(chēng)，如果記住物理意義，那么負(fù)數(shù)的運(yùn)算以及負(fù)數(shù)和正數(shù)的混合運(yùn)算就很容易理解了。M克萊因的解釋如下。

假定一人每天欠債5美元，而在給定日期他身無(wú)分文（0美元）。那么，給定日期3天后他欠債15美元，如果將5美元的債記為-5，那么每天欠債5美元，欠債3天，可以用數(shù)學(xué)式子表示為3×[BFB]（-5）[BFQB]=-15；在給定日期3天前，他的財(cái)產(chǎn)比給定日期多15美元，如果用-3表示3天前，-5表示每天欠債數(shù)，那么給定日期3天前他的經(jīng)濟(jì)情況可表示為[BFB]（-3）×（-5）[BFQB]=15。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1有理數(shù)乘法法則初探

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)加減法法則，知道有理數(shù)加減法法則需要考慮符號(hào)和絕對(duì)值，因此，教師讓學(xué)生類(lèi)比加減法法則，通過(guò)例1中幾個(gè)算式的計(jì)算，從符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面初步探討有理數(shù)乘法法則。

例1 計(jì)算下列各題。

① 4×3；② （-4[BFB]）[BFQB]×3；③ 4×[BFB]（[BFQB]-3）；④ （-4[BFB]）×（[BFQB]-3）。

師：從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，兩個(gè)有理數(shù)相乘，我們應(yīng)該關(guān)注哪兩個(gè)方面？

生：符號(hào)和絕對(duì)值。

師：請(qǐng)分別說(shuō)說(shuō)上述4道題中兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)和計(jì)算結(jié)果的符號(hào)有何關(guān)系？

生：正乘正得正，正乘負(fù)得負(fù)，負(fù)乘正得負(fù)，負(fù)乘負(fù)得正。

師：“正乘正得正”是小學(xué)學(xué)過(guò)的，你能舉一個(gè)生活中的實(shí)例解釋一下嗎？

生：媽媽每天給我4元錢(qián)，3天后，我擁有12元。

師：仿照這個(gè)例子，你能給出（-4[DK]）×3=-12的解釋嗎？

生：假如規(guī)定收入為正，支出為負(fù)，每天支出4元（-4），與現(xiàn)在相比，3天后（+3）支出12元（-12）。

生：規(guī)定向右運(yùn)動(dòng)為正，向左運(yùn)動(dòng)為負(fù)。一個(gè)人從原點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)4千米的速度向左運(yùn)動(dòng)（-4），3小時(shí)后（+3），這個(gè)人在原點(diǎn)左側(cè)12千米處（-12）。

2探究為何“負(fù)負(fù)得正”

根據(jù)對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生可以很快解釋“負(fù)正得負(fù)”。如何解釋“負(fù)負(fù)得正”是本節(jié)課的難點(diǎn)，教師從讓學(xué)生解釋“正負(fù)得負(fù)”入手，再引入司湯達(dá)的故事，通過(guò)講述司湯達(dá)的困惑引發(fā)學(xué)生探究和思考，最后引導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)給出的模型進(jìn)行擴(kuò)展，解釋“負(fù)負(fù)得正”，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

師：前面這些例子都是先給出一個(gè)因式的現(xiàn)實(shí)意義，再給出另一個(gè)因式的現(xiàn)實(shí)意義，從而得出積所表示的意義。（-4[BFB]）×（-3）[BFQB]=12的符號(hào)說(shuō)明“負(fù)乘負(fù)得正”，這是為什么呢？

（隨后，教師向?qū)W生講述了司湯達(dá)的故事，并提出問(wèn)題“你能為司湯達(dá)解釋他的困惑嗎？”。）

生：反面的反面是正面。

師：這個(gè)例子雖然有些道理，但遠(yuǎn)比不上前面同學(xué)舉出的負(fù)乘正的例子具有說(shuō)服力。根據(jù)前面的例子，正數(shù)與負(fù)數(shù)是兩個(gè)相對(duì)意義的量，要說(shuō)明負(fù)數(shù)，就要先規(guī)定正數(shù)的意義，并與參照標(biāo)準(zhǔn)做比較。在這之前，你能仿照老師和前面同學(xué)給出的例子，說(shuō)明4×[BFB]（-3）[BFQB]=-12的結(jié)果嗎？比如規(guī)定向右運(yùn)動(dòng)為正，向左運(yùn)動(dòng)為負(fù)，+4表示向右運(yùn)動(dòng)，-3只能表示時(shí)間，那么怎樣規(guī)定時(shí)間的正負(fù)呢？參照標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？

生：規(guī)定向右運(yùn)動(dòng)為正，向左運(yùn)動(dòng)為負(fù)，當(dāng)下在原點(diǎn)，以每小時(shí)4千米的速度向右運(yùn)動(dòng)（+4），3小時(shí)前（-3）在原點(diǎn)左側(cè)12千米處（-12）。故4×[BFB]（-3）[BFQB]=-12（如圖1所示）。

師：在兩個(gè)有理數(shù)的乘法中，兩個(gè)因數(shù)分別有各自的正負(fù)規(guī)定，最終根據(jù)參照標(biāo)準(zhǔn)，得出乘積所表示的意義。你能根據(jù)上述知識(shí)，用文字或者數(shù)軸說(shuō)明（-4[BFB]）×（[BFQB]-3）=12的結(jié)果嗎？

（小組討論交流并展示討論結(jié)果。）

生：規(guī)定向右運(yùn)動(dòng)為正，向左運(yùn)動(dòng)為負(fù)，當(dāng)下在原點(diǎn)，若以每小時(shí)4千米的速度向左運(yùn)動(dòng)（-4），則3小時(shí)前（-3）在原點(diǎn)右側(cè)12千米處（12）。故（-4[BFB]）×（-3）[BFQB]=12（如圖2所示）。

[XCM15-1.TIF；%94%94][TS（] [HT5"H]圖[STFZ]2[STBZ][TS）]

師：從上述模型中，我們解釋了“負(fù)負(fù)得正”的原因，那么你能解答司湯達(dá)的困惑嗎？

生：根據(jù)我們的模型解釋?zhuān)柏?fù)負(fù)”其實(shí)包含兩個(gè)層次，司湯達(dá)混淆了“負(fù)負(fù)得正”中兩個(gè)“負(fù)”的層次，即法郎×法郎=法郎。

師：司湯達(dá)的老師夏貝爾先生所說(shuō)的“負(fù)數(shù)如同欠債”，可以解釋“負(fù)負(fù)得正”嗎？

生：其實(shí)夏貝爾先生找到了打開(kāi)“負(fù)負(fù)得正”大門(mén)的鑰匙，用欠債模型也可以解釋?zhuān)疵刻烨穫?美元表示為-4，與現(xiàn)在相比，-3表示3天前，那么，他的財(cái)產(chǎn)比現(xiàn)在多12美元。

師：司湯達(dá)的故事給我們什么啟示？

生：我很佩服他不畏權(quán)威的質(zhì)疑精神，在今后的學(xué)習(xí)中，我也要多問(wèn)為什么，并努力通過(guò)各種形式解釋它。

3歸納有理數(shù)乘法法則

在本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師和學(xué)生根據(jù)前面的探討一起總結(jié)有理數(shù)乘法法則。

師：你能從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面敘述有理數(shù)乘法法則嗎？

生：有理數(shù)乘法法則是兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的絕對(duì)值相乘。

師：從有理數(shù)的符號(hào)分類(lèi)來(lái)看，這個(gè)法則中還缺哪個(gè)數(shù)？

生：任何數(shù)與零相乘都得零。

師：根據(jù)這個(gè)法則，在有理數(shù)計(jì)算中，通常我們會(huì)先考慮什么再計(jì)算？

生：先確定符號(hào)，再把兩數(shù)的絕對(duì)值相乘。

師：如果司湯達(dá)坐在我們的教室中，與同學(xué)們共同討論“負(fù)負(fù)得正”，他一定會(huì)深刻理解這一知識(shí)。

4數(shù)學(xué)與邏輯相結(jié)合

教師從數(shù)系擴(kuò)充的角度向?qū)W生解釋“負(fù)負(fù)得正”，為學(xué)生在后續(xù)乘法學(xué)習(xí)中驗(yàn)證已有的運(yùn)算律打基礎(chǔ)。

師：數(shù)系擴(kuò)充的原則之一就是運(yùn)算律的無(wú)矛盾性，根據(jù)這一原則，我們也可以從邏輯上解釋“負(fù)負(fù)得正”。原有數(shù)系的運(yùn)算律如下。

[WTBX]① 0+a=a，0·a=0

② 交換律：a+b=b+a；a·b=b·a

③ 結(jié)合律：[BFB]a+（b+c）=（a+b）+c；a·（b·c）=（a·b）·c[BFQB]

④ 分配律：[BFB]a·（b+c）=a·b+a·c[BFQB][WTBZ]

這些運(yùn)算律在正數(shù)計(jì)算中起著非常重要的作用，當(dāng)數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集時(shí)，要保證它們依然成立，即運(yùn)算律的無(wú)矛盾性。依據(jù)上述運(yùn)算律，可以得到下面的算式。

[BFB]（-1）×（-1）

=（-1）×（-1）+0×1

=（-1）×（-1）+[（-1）+1]×1

=（-1）×（-1）+（-1）×1+1×1

=（-1）×[（-1）+1]+1×1

=（-1）×0+1×1

=0+1

=1

從上述過(guò)程來(lái)看，要使運(yùn)算律在有理數(shù)集中成立，“負(fù)負(fù)得正”必須成立?？傊?，“負(fù)負(fù)得正”從現(xiàn)實(shí)模型中產(chǎn)生，最終又回到數(shù)學(xué)抽象。

教師和學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容：有理數(shù)乘法法則無(wú)法被證明，是一種“規(guī)定”，給出這種“規(guī)定”的原則是使原有的運(yùn)算律保持不變，只有這樣才能使數(shù)學(xué)的發(fā)展建立在原有的基礎(chǔ)上。

四、課后問(wèn)卷調(diào)查

課后教師對(duì)31名聽(tīng)課學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查。對(duì)于“你以前了解為什么‘負(fù)負(fù)得正’嗎？”這個(gè)問(wèn)題，有18名學(xué)生知道“負(fù)負(fù)得正”，但不知道原因，沒(méi)有深入想過(guò)，也沒(méi)有質(zhì)疑過(guò)對(duì)錯(cuò)，只是接受了這個(gè)結(jié)論；其中有的學(xué)生認(rèn)為教師教的都是對(duì)的，“負(fù)負(fù)得正”是公理，是嚴(yán)謹(jǐn)而準(zhǔn)確的，沒(méi)必要質(zhì)疑。有12名學(xué)生表示了解過(guò)，了解的途徑有實(shí)際生活、有關(guān)資料、父母講解等。有1名學(xué)生表示了解過(guò)，也質(zhì)疑過(guò)，但最終認(rèn)為“負(fù)負(fù)得正”是一個(gè)“定義”，記住即可。

學(xué)生認(rèn)為，從現(xiàn)實(shí)模型與數(shù)學(xué)邏輯兩個(gè)角度明確“負(fù)負(fù)得正”，與單純地用“規(guī)定”來(lái)說(shuō)明“負(fù)負(fù)得正”相比有以下好處：現(xiàn)實(shí)模型更形象，邏輯語(yǔ)言更嚴(yán)謹(jǐn)；讓大家理解“負(fù)負(fù)得正”的根本原因；讓人心服口服，而不是把知識(shí)強(qiáng)加于人；不僅對(duì)知識(shí)的理解更深刻，記憶更清晰，還能給人以啟示，讓我們更加熱愛(ài)數(shù)學(xué)；拓寬視野；等等。

對(duì)于“作家司湯達(dá)的故事給你什么啟示”這個(gè)問(wèn)題，有22名學(xué)生提到了司湯達(dá)的質(zhì)疑精神很值得學(xué)習(xí)，但質(zhì)疑后應(yīng)該有探究問(wèn)題的精神和能[JP3]力。也有學(xué)生說(shuō)，思考問(wèn)題時(shí)一個(gè)人是不夠的，需要團(tuán)隊(duì)合作討論才能解決；理解問(wèn)題時(shí)要有層次感。

對(duì)于印象最深的環(huán)節(jié)，有的學(xué)生對(duì)大家一起討論用各種現(xiàn)實(shí)生活的例子來(lái)解釋“負(fù)負(fù)得正”印象最深，認(rèn)為話題開(kāi)放，大家思維踴躍，理解問(wèn)題的角度多樣，讓人更好地理解并記住這個(gè)法則，感受到了數(shù)學(xué)的奧妙。有的學(xué)生對(duì)司湯達(dá)的故事印象深刻，認(rèn)為故事很有趣，讓自己知道不懂就要問(wèn)，做題時(shí)要注意細(xì)節(jié)，而且如果司湯達(dá)注意到單位問(wèn)題，說(shuō)不定就可以解決困惑了。有的學(xué)生認(rèn)為，司湯達(dá)的困惑很讓人震驚，乍一看好像是對(duì)的，但引人深思。有的學(xué)生對(duì)用邏輯運(yùn)算解釋“負(fù)負(fù)得正”印象深刻，認(rèn)為只有在這個(gè)環(huán)節(jié)才真正地從數(shù)學(xué)的角度理解該法則，感受到數(shù)學(xué)的美妙，顯示了數(shù)學(xué)的理性表達(dá)。還有的學(xué)生對(duì)教師關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”思路的引導(dǎo)和用畫(huà)數(shù)軸解釋印象深刻。

五、教學(xué)反思

“負(fù)負(fù)得正”這一符號(hào)法則是數(shù)學(xué)上為了在數(shù)系擴(kuò)充時(shí)保持運(yùn)算律一致性而做出的合理規(guī)定，它本身并不能被證明，但其合理性可以借助現(xiàn)實(shí)模型加以解釋。在課堂教學(xué)中，教師往往不重視“負(fù)負(fù)得正”法則的由來(lái)，也很少給予學(xué)生機(jī)會(huì)去探究為什么“負(fù)負(fù)得正”。究其原因，一是教師對(duì)該法則缺乏深刻的理解；二是教師往往認(rèn)為，學(xué)生只要記住該法則并會(huì)運(yùn)用于有理數(shù)的運(yùn)算即可。

在本節(jié)課中，教師從司湯達(dá)的故事入手，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”進(jìn)行探究，除了讓學(xué)生更深刻地理解這一法則，還體現(xiàn)了多個(gè)方面的教育價(jià)值。

第一，質(zhì)疑與探究。學(xué)生已經(jīng)知道“負(fù)負(fù)得正”，但將其視為理所當(dāng)然。司湯達(dá)的故事不僅讓學(xué)生感悟質(zhì)疑的精神，而且讓他們明白處處留心皆學(xué)問(wèn)的道理。

第二，說(shuō)理與求真?！柏?fù)負(fù)得正”是數(shù)學(xué)上的一種人為規(guī)定，但這種規(guī)定并非數(shù)學(xué)家隨心所欲做出的，而是有其合理性。探究規(guī)定背后的合理性，可以讓學(xué)生體會(huì)說(shuō)理的重要性，感悟求真的科學(xué)精神。

第三，傾聽(tīng)與交流。課堂上，每一位學(xué)生都對(duì)“負(fù)負(fù)得正”做出自己的解釋?zhuān)恳晃粚W(xué)生又都是傾聽(tīng)者，他們都能從他人的解釋中獲得思想的啟迪，從而體會(huì)到交流、合作的重要意義。

第四，困難與困惑。歷史名人司湯達(dá)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中亦遇到困惑，這個(gè)史實(shí)告訴學(xué)生，人非圣賢，孰能無(wú)惑，從而讓他們學(xué)會(huì)客觀地看待自己學(xué)習(xí)過(guò)程中所遇到的困難與困惑。

參考文獻(xiàn)：

[1]克萊因[KG*2]F.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第1卷）[M].舒湘芹，陳義章，楊欽梁，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[2]KLINE M.Logic versus pedagogy[J]. American mathematical monthly，1970（3）：264-282.

[3]斯丹達(dá)爾. 斯丹達(dá)爾自傳[M]. 周光怡，譯. 南京：江蘇文藝出版社，1998.