林松

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)在于將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成合適的教育形態(tài)，將教科書的“冰冷美麗”演繹成學(xué)生心中最美的神話. 文章通過對(duì)“合并同類項(xiàng)”同課異構(gòu)課例的對(duì)比分析，啟示數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)，提升數(shù)學(xué)知識(shí)理解的層次，把握“冰冷美麗”與“火熱思考”的平衡.

[關(guān)鍵詞] 合并同類項(xiàng);教育形態(tài);構(gòu)建

從先有雞還是先有蛋說起

“雞生蛋，蛋生雞，到底誰先出現(xiàn)在這個(gè)世界上？是雞還是蛋？”先有雞還是先有蛋這一因果循環(huán)問題，常常激起古代哲學(xué)家們?nèi)ヌ剿鞑⒂懻撋钠鹪? 最近，筆者參加了七年級(jí)數(shù)學(xué)“合并同類項(xiàng)”同課異構(gòu)教研活動(dòng)，老師們?cè)跔?zhēng)論類似“先有雞還是先有蛋”的問題：先有同類項(xiàng)的概念再合并同類項(xiàng)，還是先合并同類項(xiàng)再有同類項(xiàng)的概念？通過研討，筆者深受啟發(fā)，現(xiàn)將其記錄如下.

“合并同類項(xiàng)”同課異構(gòu)課例簡(jiǎn)述

1. 課例1：從同類項(xiàng)的概念到合并同類項(xiàng)

【環(huán)節(jié)1：情境引入】

（投影生活圖片：超市貨柜上的商品擺放;水果店里的水果擺放;藥店里的藥品擺放;硬幣清點(diǎn)）

問題1 這些物品是怎樣擺放的？為什么要這樣擺放？

學(xué)生交流匯報(bào)，體會(huì)物品分類擺放可以讓我們的生活更加方便！

問題2 如果將這些物品換成我們前面學(xué)過的單項(xiàng)式，你將如何分類？

2x2y，-2ab，2x，-3x2y，4ab，6x2y，-x.

學(xué)生先嘗試分類，然后交流匯報(bào).

【環(huán)節(jié)2：建構(gòu)概念】

問題3 （選擇學(xué)生中出現(xiàn)的一種分類）觀察下面的分類，他們的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么（每一組單項(xiàng)式具有什么共同特征）？

[2x2y，-3x2y，6x2y -2ab，4ab 2x，-x ]

學(xué)生交流匯報(bào)，教師板書：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同.

問題4 下列各組中的兩項(xiàng)具有這些共同特征嗎？

（1）-2a2b和6a2b;

（2）-3mn3和4n3m;

（3）3x2yz和2x2y2;

（4）2x2y和2xy2.

學(xué)生判斷并說明理由，師生總結(jié)同類項(xiàng)的概念.

【環(huán)節(jié)3：探索法則】

問題5 圖1是某學(xué)校的校園規(guī)劃圖（單位：m），試計(jì)算該學(xué)校的占地面積.

學(xué)生嘗試計(jì)算并交流：（1）從個(gè)體角度計(jì)算面積，為100a+200a;（2）從整體角度計(jì)算面積，為（100+200）a=300a. 所以可得100a+200a=300a.

問題6 觀察等式“100a+200a=300a”左、右兩邊的差異，你獲得了哪些信息？

學(xué)生觀察、思考，交流后匯報(bào)：①同類項(xiàng)可以進(jìn)行合并;②合并時(shí)系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變.

師生總結(jié)法則：把各項(xiàng)系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變.

問題7 同類項(xiàng)合并的運(yùn)算依據(jù)是什么？

學(xué)生討論交流，教師總結(jié)：逆用乘法分配律把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫合并同類項(xiàng). 合并同類項(xiàng)時(shí)，同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

【環(huán)節(jié)4：應(yīng)用法則】

在應(yīng)用過程中，總結(jié)并強(qiáng)調(diào)合并同類項(xiàng)的步驟.

2. 課例2：從合并同類項(xiàng)到同類項(xiàng)的概念

【環(huán)節(jié)1：?jiǎn)栴}引入】

問題1 求多項(xiàng)式x+3x+7xy3+3xy3-15xy3的值，其中x=3，y=-2.

學(xué)生嘗試直接代入求值，發(fā)現(xiàn)要多次計(jì)算xy3=3×（-2）3=3×（-8）=-24.

追問1：能不能使解題過程簡(jiǎn)潔些？

學(xué)生匯報(bào)交流：可以將xy3看成一個(gè)整體，先算出xy3=-24，再分別代入.

追問2：若將x和y多次賦值，本題應(yīng)如何解呢？如x=2，y=-;x=-3，y=2……

學(xué)生交流后匯報(bào)：先計(jì)算出xy3=2×

-3=-，再分別代入……

【環(huán)節(jié)2：合作交流】

問題2 對(duì)于問題1，當(dāng)x和y被賦予不同的值時(shí)，怎樣才能又對(duì)又快地進(jìn)行計(jì)算呢？

學(xué)生小組合作討論，交流后匯報(bào).

匯報(bào)1：x+3x應(yīng)該等于4x，我覺得后面的三項(xiàng)也可以合并起來.

匯報(bào)2：7xy3，3xy3，-15xy3中的字母部分完全相同，三個(gè)單項(xiàng)式中的xy3部分表示同一個(gè)數(shù)，于是用“○”表示，那么原式即為x+3x+7○+3○-15○，逆用乘法分配律，可以化簡(jiǎn)為（1+3）x+（7+3-15）○=4x-5○=4x-5xy3，接著代入計(jì)算. 即先合并，再計(jì)算，這樣方便多了. （至此，學(xué)生已發(fā)現(xiàn)合并同類項(xiàng)的法則）

追問1：為什么可以把x和3x合并處理？7xy3，3xy3，-15xy3為什么也可以合并處理？換句話說，什么樣的項(xiàng)才能“合并”呢？

生答：字母部分完全相同的項(xiàng)才能合并.

追問2：什么叫“字母部分完全相同”呢？

生答：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同.

追問3：為什么要求字母部分完全相同呢？

生答：因?yàn)橹挥羞@樣，才能保證字母部分表示同一個(gè)數(shù).

【環(huán)節(jié)3：討論總結(jié)】

問題3 把下列式子中可以合并的項(xiàng)盡可能地合并起來，并對(duì)解題過程進(jìn)行討論.

（1）-3x+3y-6x-7y;（2）a2-3ab+6-a2-3ab-5;（3）x2-4xy+xy+3x2;（4）a2b2+3ab-6a2b2-ab-2+3a2b2.

討論、總結(jié)的內(nèi)容如下：（1）哪些項(xiàng)可以合并？判斷標(biāo)準(zhǔn)是什么？（2）怎樣合并？合并的依據(jù)是什么？（3）概括并給出同類項(xiàng)的定義和合并同類項(xiàng)的法則.

【環(huán)節(jié)4：練習(xí)鞏固】

“合并同類項(xiàng)”同課異構(gòu)課例分析

1. 課例1：順應(yīng)知識(shí)邏輯線索

同類項(xiàng)是數(shù)與式的紐帶，是體現(xiàn)“數(shù)式相通”的開始，也是將單項(xiàng)式進(jìn)行“分類”的抓手. 建構(gòu)同類項(xiàng)概念的過程是訓(xùn)練抽象化、一般化、結(jié)構(gòu)化代數(shù)思維的契機(jī)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好載體. 合并同類項(xiàng)是整式運(yùn)算的開始，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體，同時(shí)向?qū)W生充分展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約之美.

該課例立足于教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)線性邏輯體系和結(jié)構(gòu)（即張奠宙先生所說的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)），先學(xué)習(xí)“同類項(xiàng)的概念”，再研究“合并同類項(xiàng)”. 課例從觀察生活中的多種“分類”圖片出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)“分類”讓我們的生活更加方便. 類比的方式，能讓學(xué)生思考單項(xiàng)式該如何分類，以及分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么. 同時(shí)，課例通過類比圖形面積的不同計(jì)算方式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同類項(xiàng)可以合并，且有根有據(jù)地探索出合并同類項(xiàng)的法則.

（1）優(yōu)點(diǎn)

該課例根據(jù)初一學(xué)生的思維特征和認(rèn)知特點(diǎn)，通過類比的方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)同類項(xiàng)的概念. 教學(xué)中，以學(xué)生熟悉的生活情境為起點(diǎn)，讓學(xué)生帶著學(xué)習(xí)興趣感受“同一類”的可以歸類（為建構(gòu)同類項(xiàng)概念做鋪墊）. 在“合并同類項(xiàng)”的教學(xué)中，采用“做—感受—明晰法則”的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“從感性到理性”的認(rèn)識(shí)過程，讓學(xué)生感受到運(yùn)算律“支配”下的合并同類項(xiàng)不僅合情，而且合理，數(shù)學(xué)抽象、理性思維悄然得到落實(shí).

（2）不足

該課例在教學(xué)過程中學(xué)生會(huì)產(chǎn)生困惑. 學(xué)習(xí)“同類項(xiàng)的概念”時(shí)，學(xué)生會(huì)尋思：為什么要學(xué)習(xí)同類項(xiàng)的概念？教學(xué)“合并同類項(xiàng)”時(shí)，學(xué)生也會(huì)尋思：為什么要學(xué)習(xí)合并同類項(xiàng)？直到進(jìn)行多次同類項(xiàng)合并的練習(xí)、鞏固之后，學(xué)生才會(huì)意識(shí)到原來合并同類項(xiàng)可以使運(yùn)算簡(jiǎn)潔.

這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不知道為什么要學(xué)習(xí)“同類項(xiàng)”這一新知，即學(xué)生缺乏內(nèi)化新知的準(zhǔn)備. 在教學(xué)過程中，學(xué)生一直處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，他們的學(xué)習(xí)過程完全在教師精心設(shè)計(jì)的圈套里被牽著走，缺少了自覺建構(gòu)的主動(dòng)參與，這種主體性發(fā)展不足的學(xué)習(xí)不利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng).

2. 課例2：再現(xiàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程

此課例按照知識(shí)發(fā)生的順序進(jìn)行設(shè)計(jì)，立足概念產(chǎn)生的問題背景，恢復(fù)原始的思考過程，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的欲望. 課例從研究一個(gè)代數(shù)式的求值問題引入，讓學(xué)生在解決問題的過程中進(jìn)行思考、創(chuàng)造，在得到“先合并，再代入”的方法后，進(jìn)一步抽象出同類項(xiàng)的概念，從而再現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的過程，明白“概念是為了解決問題而定義的”這一道理. 而這一切，都是學(xué)生主動(dòng)地、積極地進(jìn)行探索的結(jié)果.

（1）優(yōu)點(diǎn)

該課例設(shè)計(jì)樸素，直指數(shù)學(xué)本質(zhì). 它根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)，盡可能地將知識(shí)的發(fā)生過程以問題組的形式設(shè)計(jì)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，按循序漸進(jìn)的原則，環(huán)環(huán)相扣，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主建構(gòu)，體現(xiàn)“再創(chuàng)造”的成功樂趣，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有三個(gè)層次：知其然，知其所以然，何由以知其所以然. 該課例不僅讓學(xué)生知道什么是同類項(xiàng)，以及合并同類項(xiàng)的方法、依據(jù)，更讓學(xué)生知道為什么要學(xué)習(xí)同類項(xiàng)的概念和合并同類項(xiàng)，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)理解層次，能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主動(dòng)性.

（2）不足

該課例讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的形成和應(yīng)用過程中發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和能力，學(xué)生理性的思維在該課例中得到了培養(yǎng). 與課例1相比，該課例缺少了對(duì)“同類項(xiàng)的概念”和“合并同類項(xiàng)法則”的感性認(rèn)識(shí)，這樣的教學(xué)會(huì)讓一部分形象思維能力強(qiáng)而抽象思維能力較弱的學(xué)生望而卻步，進(jìn)而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

“合并同類項(xiàng)”同課異構(gòu)課例啟示

張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)通常有三種不同的形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài). 原始形態(tài)是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理、證明數(shù)學(xué)命題時(shí)所進(jìn)行的繁復(fù)曲折的數(shù)學(xué)思考. 它反映了數(shù)學(xué)家分析問題、尋求解答的思維過程，展示了具體問題通過觀察、分析、抽象概括而形成知識(shí)和方法的過程. 學(xué)術(shù)形態(tài)是數(shù)學(xué)家在發(fā)表論文時(shí)采用的形態(tài)，嚴(yán)密地演繹，邏輯地推理. 它呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔的、冰冷的形式化美麗，卻把原始的火熱的思想淹沒在形式化的海洋里[1]. 教育形態(tài)是指數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)采用的技巧和方法，它重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程的“再發(fā)現(xiàn)”，把抽象、深?yuàn)W、難懂的形式化數(shù)學(xué)知識(shí)變成適于學(xué)生學(xué)習(xí)、理解的“通俗化”的數(shù)學(xué)知識(shí). 通過教師的努力，啟發(fā)學(xué)生高效地進(jìn)行火熱的思考. 數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為合適的教育形態(tài)，把數(shù)學(xué)的形式化鏈條恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新時(shí)的火熱思考，使教科書的“冰冷的美麗”，通過學(xué)生的“火熱的思考”，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而深刻理解隱藏在“冰冷的美麗”背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)[2]. 實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)，激發(fā)學(xué)生“火熱的思考”. “合并同類項(xiàng)”教學(xué)的兩個(gè)課例較好地做了正反對(duì)比詮釋.

1. 構(gòu)建教育形態(tài)，提升知識(shí)理解的層次

2017亞馬遜年度新銳作家蔡壘磊認(rèn)為，知識(shí)的層次類似于金字塔形狀，知識(shí)按照在頭腦中的難易程度可以分成四個(gè)層次：信息知識(shí)、加工知識(shí)、體系知識(shí)和智慧（如圖2）. 課例1遵循知識(shí)的邏輯線索，將書本“同類項(xiàng)的概念”和“合并同類項(xiàng)的法則”這兩個(gè)信息知識(shí)以類比情境的方式進(jìn)行教學(xué)，通過生活中物品的分類讓學(xué)生理解“同類項(xiàng)的概念”的合理性;通過同一類商品的合并付款讓學(xué)生感受“合并同類項(xiàng)”的必要性;通過“做—感受—明晰法則”的設(shè)計(jì)讓學(xué)生自然地進(jìn)行“合并同類項(xiàng)的法則”的學(xué)習(xí). 但這種學(xué)習(xí)局限在信息知識(shí)和初步的加工知識(shí)層面，缺乏體系知識(shí)的建構(gòu).

課例2對(duì)同類項(xiàng)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的“知識(shí)形態(tài)”進(jìn)行了深度加工，形成了極富數(shù)學(xué)味且利于學(xué)生思維培養(yǎng)的教育形態(tài). 它顛倒了教材中形式化的表達(dá)順序，讓教材中形式化教學(xué)的順序服從知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過程. 學(xué)生在進(jìn)行代數(shù)式求值時(shí)發(fā)現(xiàn)xy3重復(fù)代入了，于是會(huì)主動(dòng)地把xy3看成一個(gè)整體，用“○”表示，則原式轉(zhuǎn)化為x+3x+7○+3○-15○，自然引出要合并的需求. 解決問題能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和探索出要學(xué)的知識(shí)，教師的任務(wù)則是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生. 這樣的教學(xué)更加側(cè)重于對(duì)加工知識(shí)和體系知識(shí)的學(xué)習(xí)，目的在于讓學(xué)生主動(dòng)地參與到知識(shí)的建構(gòu)之中，更深入地理解知識(shí)的內(nèi)涵.

2. 構(gòu)建教育形態(tài)，把握“冰冷的美麗”與“火熱的思考”之間的平衡

張奠宙教授指出：“將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)是數(shù)學(xué)教師的職責(zé). 我們要研究如何在冰冷的美麗與火熱的思考之間尋找平衡點(diǎn)，做到既有形式的表達(dá)更有火熱的思考，而不要淹沒在形式的海洋里. ”[3]本文中的課例都是對(duì)教材的二次加工，均屬于數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài). 課例都是基于學(xué)生已有的認(rèn)知，經(jīng)過對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造，傳授給學(xué)生，并讓學(xué)生理解和應(yīng)用. 只不過課例1更側(cè)重于感性認(rèn)識(shí)，而課例2更側(cè)重于理性思考. “同類項(xiàng)的概念”和“合并同類項(xiàng)的法則”這兩個(gè)信息知識(shí)的形式化表達(dá)是學(xué)術(shù)形態(tài)的，是“冰冷的美麗”. 教育形態(tài)的“火熱的思考”是這樣兩個(gè)設(shè)計(jì)：一，如何對(duì)同類項(xiàng)進(jìn)行定義？二，對(duì)合并同類項(xiàng)法則的探索. 與課例1相比，課例2更加側(cè)重于解決問題過程中的思考和知識(shí)的創(chuàng)造，更加側(cè)重于激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的熱情和興趣，能從真正意義上讓“冰冷的美麗”綻放“火熱的思考”，能將數(shù)學(xué)教學(xué)演繹成學(xué)生心中最美的神話.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱宣傳. 數(shù)學(xué)知識(shí)由“學(xué)術(shù)形態(tài)”向“教育形態(tài)”的轉(zhuǎn)化——怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)過程[J]. 教書育人，2008（S2）.

[2]周小勤. 讓“冰冷的美麗”綻放出“火熱的思考”——數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的教學(xué)策略[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（1）.

[3]張奠宙，王振輝. 關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（2）.