史丹萍 任慶

[摘? 要] 在初中數(shù)學教學中，注重數(shù)學思想的滲透是重要目標之一. 滲透數(shù)學思想，可以發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，提高學生的數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)學思想包括轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、方程思想、函數(shù)思想等，文章以轉(zhuǎn)化思想為例，通過實踐案例，就如何將數(shù)學思想滲透于教學中談談自己的看法.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;轉(zhuǎn)化思想;問題解決

轉(zhuǎn)化思想就是將數(shù)學中待解決的問題或難以解決的問題，通過適當?shù)姆椒ê屯緩竭M行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題或者容易解決的問題. 轉(zhuǎn)化，通常可以達到將問題化繁為簡、化難為易的效果，其不僅有利于學生解決問題，而且有助于學生看透問題的本質(zhì)，更好地理解問題，從而提高學習效率. 下面筆者以“等腰三角形復習”的教學片段為例，簡要談談如何將轉(zhuǎn)化思想滲透于初中數(shù)學教學，希望能給同仁們一些參考.

回顧舊知，搭建基礎回顧舊知是復習課的必備環(huán)節(jié)，“萬丈高樓平地起”，通過對舊知的回顧，搭建知識基礎，能為后續(xù)環(huán)節(jié)做鋪墊，能為能力的提升提供必要的條件.

（完成方式：教師引導，學生回答）

師：等腰三角形是初中數(shù)學中重要的幾何模型，在幾何問題的解決中有著舉足輕重的作用. 通過前幾節(jié)課的學習，同學們對等腰三角形已有充分的認識，現(xiàn)在請大家談一談你學到了哪些關于等腰三角形的知識.

生1：等腰三角形的兩個底角相等，兩條腰相等.

生2：“等角對等邊”“三線合一”.

生3：等腰三角形是軸對稱圖形.

……

教師梳理后板書等腰三角形的定義及性質(zhì).

設計意圖 該環(huán)節(jié)是課堂的起始環(huán)節(jié)，所以讓學生知道這節(jié)課要“做什么”尤其重要. 以完全開放的形式讓學生自主回答學到的知識，可以引導學生對所學內(nèi)容進行全面回顧及相互補充，教師梳理后即刻板書，能將學生腦海中瑣碎的知識系統(tǒng)化、完整化.

層層推進，感悟思想

解決問題是復習課的主要環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要通過層層深入的問題讓學生體會到轉(zhuǎn)化思想的存在，并通過問題的解決讓學生感悟到該思想的實際效用.

問題1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.

（1）∠ABC=_________，∠ACB=_________.

（2）作∠ABC的平分線BD，交AC邊于點D，則圖中共有幾個等腰三角形？

（3）在（2）的條件下過點D作BC的平行線DE，交AB邊于點E，會不會產(chǎn)生新的等腰三角形？

（完成方式：學生合作完成，小組代表全班展示）

生1：（1）∠ABC=∠ACB=72°. （2）共有3個等腰三角形，即△ABC，△ABD和△BCD，由角度的計算可以得到此結(jié)論. （3）過點D作ED∥BC后，新增了2個等腰三角形，即△BED和△AED.

師：在你的解答過程中由角度得到等腰三角形的依據(jù)是什么？

生1：等角對等邊.

師：由角到邊的轉(zhuǎn)化過程，是哪種數(shù)學思想的體現(xiàn)呢？

生1：轉(zhuǎn)化思想.

變式 如圖1③，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB邊于點E，請找出圖中所有的等腰三角形.

師：你認為這個變式的結(jié)論和問題1中第（3）問的結(jié)論一樣嗎？

生2：不一樣，該圖中只有3個等腰三角形.

師：和問題1的第（3）問相比，哪兩個三角形不是等腰三角形了呢？

生2：由角度可知，△ABD和△BCD不是等腰三角形了.

師：你考慮問題很細. 問題1的第（3）問之所以存在5個等腰三角形，是因為它是最特殊的“黃金等腰三角形”，而普通的等腰三角形并不會存在這樣的特殊性.

問題2 如圖2，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC邊于點D，DE∥BC交AB邊于點E，尋找圖中的等腰三角形，并證明.

（完成方式：教師引導學生完成）

師：觀察這個圖形，與上述2道題中的圖形相比，有何不同與相同？

生3：不同的是△ABC的形狀變了，它不再是等腰三角形，而且也沒有固定的角度大小. 相同點在于條件依舊是角平分線與平行線.

師：你觀察得真仔細. 那這個圖形中有幾個等腰三角形呢？

生3：只有一個，即△BDE.

師（追問）：你是怎么找出來的？說出你的證明方法.

生3：由BD平分∠ABC可以得到∠EBD=∠CBD，由DE∥BC可以得到∠EDB=∠DBC. 等量代換即可得到∠EDB=∠EBD，因此EB=ED.

師：你的證明過程是否滲透了某種數(shù)學思想？

生3：角與角之間的轉(zhuǎn)化、角與邊之間的轉(zhuǎn)化.

師：非常好！轉(zhuǎn)化思想在你的證明過程中得到了充分的體現(xiàn).

變式 如圖3，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于點E和點F.

（1）找出圖中所有的等腰三角形并證明;

（2）猜想線段EF和BE，CF的數(shù)量關系，并證明.

（完成方式：學生板演）

（學生板演過程略）

師（追問）：該同學給我們展示了一個完整的證明與解答過程，在這個過程中，轉(zhuǎn)化思想是否有體現(xiàn)呢？

生4：有體現(xiàn)，這個過程有角與角的轉(zhuǎn)化、角與邊的轉(zhuǎn)化、邊與邊的轉(zhuǎn)化.

設計意圖 該環(huán)節(jié)的主要教學目標是讓學生充分體會到等腰三角形中存在的轉(zhuǎn)化思想，因此教師反復強調(diào)該思想的存在性. 該環(huán)節(jié)設置了兩個例題及兩個變式，逐層遞進，前后問題之間有著緊密的聯(lián)系，問題整體難度不大，學生基本可以獨立解決，如此便可以通過簡單的解決問題過程讓學生領會轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)，形成初步的數(shù)學思想意識.

題后總結(jié)，穩(wěn)固思想總結(jié)過程即知識的內(nèi)化過程，學生通過題后總結(jié)可以實現(xiàn)將解決問題過程中的思路、方法納入自己的知識體系，因此題后總結(jié)不僅是教學的重要環(huán)節(jié)，而且是學生解題所必需的一環(huán).

教師引導學生共同總結(jié)解決問題過程中所滲透的轉(zhuǎn)化思想并板書如下：

[轉(zhuǎn)化思想

1. 角與角的轉(zhuǎn)化：相等角之間的等量代換.

2. 邊與角的轉(zhuǎn)化：等角對等邊，等邊對等角.

3. 邊與邊之間的轉(zhuǎn)化：相等線段之間的等量代換.]

設計意圖 本節(jié)課在方法與能力上的教學目標是讓學生體會轉(zhuǎn)化思想的運用，因此總結(jié)環(huán)節(jié)直接圍繞轉(zhuǎn)化思想進行，能直達目標.

數(shù)學的學習關鍵在于靈活與變通，因此將問題舉一反三是學生提高能力的途徑，也是發(fā)展學生創(chuàng)造能力的平臺.

舉一反三 如圖4，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，DE∥BG且分別交AB，AC于點E和點F，則EF，BE，CF三者之間有何數(shù)量關系？

（完成方式：學生課后獨立完成）

設計意圖 該環(huán)節(jié)的問題通常作為教學中的備用問題來呈現(xiàn)，若有時間，則課上完成;若沒有時間，則留至課后由學生自主完成. 這樣一方面給學生的進一步探究提供了資源，另一方面則可以養(yǎng)成學生主動學習的習慣.

思想是問題的本質(zhì)，是數(shù)學的靈魂. 新課程改革背景下的初中數(shù)學教學，將數(shù)學思想滲透至數(shù)學教學過程中是必需的，因為數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的依據(jù)，體悟數(shù)學思想的存在性是理解數(shù)學的必要條件，學會運用數(shù)學思想來解決問題是提高學生數(shù)學能力的有效途徑.