趙婷 楊聞起

摘 ?要：本文從數(shù)學(xué)家的角度介紹了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，根據(jù)側(cè)重點(diǎn)不同將國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)史的看法進(jìn)行分類(lèi)總結(jié)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合個(gè)人觀點(diǎn)，探討了數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的具體體現(xiàn)，以期能讓更多人感受到數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史 ?教育價(jià)值 ?數(shù)學(xué)教育

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.0 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-1578（2019）09-0049-02

公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家就已經(jīng)開(kāi)始系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)歷史。隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展以及數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，諸多數(shù)學(xué)家開(kāi)始意識(shí)到數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)史并能合理運(yùn)用數(shù)學(xué)史，這對(duì)教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)都有不小的幫助。

1 ? 數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值

從19世紀(jì)開(kāi)始，一些數(shù)學(xué)家已經(jīng)關(guān)注數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。例如，1855年，法國(guó)猶太數(shù)學(xué)家泰爾康創(chuàng)辦的《數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、歷史與傳記通報(bào)》，這一刊物中就有許多教育取向的數(shù)學(xué)史文章，從這一方面來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)史可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供豐富的數(shù)學(xué)素材。1865年，英國(guó)數(shù)學(xué)家德摩根在倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席的就職演說(shuō)中指出，“人類(lèi)數(shù)學(xué)思想的早期歷史引導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤;從這個(gè)方面說(shuō)，關(guān)注數(shù)學(xué)的歷史是很有益的”[1]。1894年，美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎所著《數(shù)學(xué)史》一書(shū)的前言中指出，“如果用歷史回顧和歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的問(wèn)題求解和幾何證明，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大大增加”[1]。1900年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯所著《初等數(shù)學(xué)的教學(xué)》《近代數(shù)學(xué)史》《幾何的教學(xué)》等書(shū)籍介紹了有關(guān)算術(shù)、幾何為何教、教什么、如何教等問(wèn)題。從19世紀(jì)到20世紀(jì)初，不同時(shí)期的數(shù)學(xué)家都在以他們關(guān)注到的角度來(lái)闡述數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義。其中有延續(xù)之前學(xué)者的思想，對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明，也有換一個(gè)角度來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組（簡(jiǎn)稱(chēng)HPM） 于1972年在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)成立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個(gè)新的學(xué)術(shù)領(lǐng)域出現(xiàn)。至此之后，關(guān)于數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的研究逐漸增多，國(guó)內(nèi)不少學(xué)者也開(kāi)始了這方面的研究。張貴新認(rèn)為，研究數(shù)學(xué)史使學(xué)習(xí)者深入認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展、提高了科學(xué)的教育水平、獲得探索新領(lǐng)域的思想方法[2];袁小明認(rèn)為，就數(shù)學(xué)中歷史材料的教育價(jià)值而言，它能為學(xué)習(xí)者提供相對(duì)完整的數(shù)學(xué)思維，包括思維過(guò)程、思維形式、思維特征以及思維的成功與失敗等，其主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：概念的形成和概念系統(tǒng)的建立、問(wèn)題求解、思想教育[3];駱祖英認(rèn)為，就數(shù)學(xué)史的德育教育價(jià)值而言，它有助于愛(ài)國(guó)主義和國(guó)際主義教育、引導(dǎo)人們用辯證唯物主義的眼光看待事物的發(fā)展、展示了數(shù)學(xué)家的奮斗拼搏史給學(xué)習(xí)者以精神鼓勵(lì)[4];汪曉勤從數(shù)學(xué)興趣與數(shù)學(xué)觀、原始資料的價(jià)值、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感影響、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程、對(duì)數(shù)學(xué)的理解與欣賞五大方面概述數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值[5];唐志華認(rèn)為，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值主要表現(xiàn)在三個(gè)方面，即振奮民族精神的價(jià)值、人文教育的價(jià)值、返璞歸真的價(jià)值、思想方法教育價(jià)值[6];蔡宏圣從教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容三個(gè)方面闡述了數(shù)學(xué)史的教育意義，即數(shù)學(xué)史是教師調(diào)適數(shù)學(xué)觀念的重要基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)史是學(xué)生把握思維歷程的獨(dú)特視角、數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實(shí)背景[7];沈南山、黃翔認(rèn)為數(shù)學(xué)史具有明理、哲思與求真三重教育價(jià)值，分別回答了數(shù)學(xué)知識(shí)從何而來(lái)，數(shù)學(xué)是一門(mén)什么樣的科學(xué)，數(shù)學(xué)科學(xué)有什么用[8]。

綜觀以上已有研究，數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值已認(rèn)識(shí)頗深，且從不同角度闡述了其價(jià)值的具體表現(xiàn)，這里通過(guò)對(duì)上述觀點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，以期更為形象地理解數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。

2 ? 對(duì)“數(shù)學(xué)史教育價(jià)值”不同理解的綜合分析

通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：數(shù)學(xué)觀、概念與思維、思想與情感、教師的教與學(xué)生的學(xué)，其中所涉及內(nèi)容有指向教師的、學(xué)生的，還有同時(shí)指向教師和學(xué)生的。教師一方面擔(dān)任著教育者的角色，另一方面也扮演著學(xué)習(xí)者的角色，畢竟在浩瀚的數(shù)學(xué)史的海洋里，沒(méi)有哪一位教師敢隨意說(shuō)自己已了解了迄今為止的全部數(shù)學(xué)史。

2.1 數(shù)學(xué)觀

數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，所涉及知識(shí)與其應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛是其他學(xué)科不能比擬的，對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，了解它的產(chǎn)生與發(fā)展，可以幫助教師和學(xué)生更深入地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)，從而樹(shù)立一個(gè)正確的數(shù)學(xué)觀。

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生并不是憑空想象的，是有一定的現(xiàn)實(shí)需要。數(shù)字，作為數(shù)學(xué)中較早出現(xiàn)的概念，就有其現(xiàn)實(shí)依據(jù)。起初人類(lèi)并無(wú)數(shù)的概念，由于記事和物品分配需要，數(shù)的概念便應(yīng)運(yùn)而生?；仡櫣湃擞?jì)數(shù)，早先人們用物品來(lái)計(jì)數(shù)，如石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)數(shù)，后來(lái)人們逐漸發(fā)明了一些技術(shù)符號(hào)，并用它來(lái)表示數(shù)，如古埃及象形數(shù)字、瑪雅數(shù)字、中國(guó)算籌數(shù)碼，直到阿拉伯?dāng)?shù)字的產(chǎn)生，這一過(guò)程都與社會(huì)發(fā)展以及生產(chǎn)需要的推動(dòng)有關(guān)。

數(shù)學(xué)的發(fā)展也不是一蹴而就的，而是循序漸進(jìn)的，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由一個(gè)方向發(fā)展到多個(gè)方向。代數(shù)學(xué)可以說(shuō)是人們最先廣泛接受的數(shù)學(xué)，早先的代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)還是相互獨(dú)立的兩個(gè)數(shù)學(xué)分支，直到16世紀(jì)，笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，將這二者聯(lián)系在一起，后來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展到了微積分，直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)的分支包含了數(shù)理邏輯、數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、分析學(xué)、微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等。

2.2 概念與思維

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)思維又是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)，了解數(shù)學(xué)概念的形成以及前人的數(shù)學(xué)思維，有助于教師和學(xué)生更透徹地理解數(shù)學(xué)概念并拓寬自身的數(shù)學(xué)思維。

實(shí)際上，任何數(shù)學(xué)概念都有一個(gè)發(fā)展的過(guò)程，并不是一開(kāi)始就是完善的，而是在一次次改進(jìn)的過(guò)程中形成如今教材中的概念。函數(shù)的定義，由17世紀(jì)末提出，到19世紀(jì)才形成了如今教材中所表述的定義，這中間也經(jīng)歷了不短的時(shí)間。

函數(shù)一詞，最初是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出，用來(lái)表示隨曲線的變化而改變的幾何量，而其學(xué)生約翰伯努利強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示。然而歐拉并不這樣認(rèn)為，他將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴(lài)于另一些變量，我們將前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數(shù)”。函數(shù)是否需要用公式表示，這在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界算得上一大困惑。隨著微積分的出現(xiàn)，狄利克雷提出，“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則是的函數(shù)” [9]。隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念更為嚴(yán)謹(jǐn)，也就是如今高中教材中所表述的函數(shù)概念。

可見(jiàn)，函數(shù)概念的發(fā)展是反復(fù)且曲折的。在了解這一歷史的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將初中與高中所學(xué)函數(shù)概念進(jìn)行對(duì)比，一方面幫助學(xué)生更清晰地理解了函數(shù)的概念，另一方面也解決了學(xué)生關(guān)于“為什么初高中所學(xué)函數(shù)概念不同”這一疑惑。

數(shù)學(xué)史中包含了不少數(shù)學(xué)定理的來(lái)源及其證明，將數(shù)學(xué)定理放在某一特定歷史背景下不僅能深刻地感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，也可以拓寬學(xué)習(xí)者自身的思維，掌握更多的數(shù)學(xué)方法。在托勒密的《大成》一書(shū)中就涉及不少有關(guān)平面三角學(xué)與球面三角學(xué)的數(shù)學(xué)材料，如托勒密定理，“給定一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，它的對(duì)角線的乘積等于它的兩對(duì)邊乘積之和”，這一定理在幾何證明中被廣泛使用，理解并會(huì)使用它尤為重要?！洞蟪伞愤@本書(shū)中就有這個(gè)定理證明的全過(guò)程，展示了托勒密解決這一問(wèn)題的整個(gè)思路。

2.3 思想與情感

任何一段歷史，它的價(jià)值絕不僅限于擴(kuò)充學(xué)習(xí)者的知識(shí)儲(chǔ)備，更深層次上影響著學(xué)習(xí)者的思想與情感，以推動(dòng)其正確價(jià)值觀的形成。數(shù)學(xué)史也不例外，它的德育教育價(jià)值主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

首先，有助于學(xué)習(xí)者的愛(ài)國(guó)主義教育。初高中的數(shù)學(xué)課本中，學(xué)生會(huì)了解到不少的數(shù)學(xué)家，如萊布尼茨、伯努利、歐拉、柯西等，這些多以國(guó)外數(shù)學(xué)家為主，對(duì)國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)家以及其所取得的成就知之甚少。其實(shí)，古代中國(guó)的數(shù)學(xué)相當(dāng)厲害，如天元術(shù)與四元術(shù)、圓周率及其求法、勾股定理、中國(guó)剩余定理在當(dāng)時(shí)可是極具影響力。

其次，有助于學(xué)習(xí)者用辯證唯物主義的眼光看待事物的發(fā)展。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，這一點(diǎn)是毋庸置疑的，但這并不代表數(shù)學(xué)是不可置疑的?；仡檾?shù)學(xué)史上三次危機(jī)：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，畢達(dá)哥拉斯提出“萬(wàn)物皆數(shù)”、“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”，然而希帕索斯發(fā)現(xiàn)的 推翻了這一結(jié)論，自此無(wú)理數(shù)誕生。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，由牛頓、萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的微積分在當(dāng)時(shí)解決了許多數(shù)學(xué)難題，但卻存在一個(gè)弊端，微積分理論建立在無(wú)窮小的基礎(chǔ)上，但他們對(duì)無(wú)窮小的概念介紹的較為模糊。直至柯西用極限的方法定義了無(wú)窮小量，這一問(wèn)題才得以解決。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家認(rèn)為從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，然而這一美好愿景被英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素所提出的羅素悖論所破滅。不難發(fā)現(xiàn)，三次數(shù)學(xué)危機(jī)得以解決，在于其后人敢于質(zhì)疑并極力找出解決方法，從而使相關(guān)理論知識(shí)更為嚴(yán)謹(jǐn)與完善。

最后，有助于學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)信仰的培養(yǎng)。快節(jié)奏的社會(huì)氛圍推動(dòng)著人們對(duì)“速成”的追求，理論與實(shí)踐知識(shí)教育的不平衡使一部分研究者只會(huì)“閉門(mén)造車(chē)”。當(dāng)下，數(shù)學(xué)信仰正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者、教育者，尤其是研究者所緊缺的。閱讀數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)家的人生經(jīng)歷，感受信仰的力量可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者指明方向。

在大部分人堅(jiān)信“數(shù)即萬(wàn)物”，希帕索斯發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，并為此葬身大海。三次數(shù)學(xué)危機(jī)告訴人們，真正的做數(shù)學(xué)，一定要有自己的信仰。在對(duì)某一問(wèn)題質(zhì)疑且有科學(xué)根據(jù)時(shí)，敢于挑戰(zhàn)“主流”才能真正地推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

2.4 教師的教與學(xué)生的學(xué)

數(shù)學(xué)史對(duì)教師教學(xué)工作的開(kāi)展也是受益無(wú)窮。一方面數(shù)學(xué)史的相關(guān)史料可以作為教師教學(xué)的素材，如數(shù)學(xué)小故事的引入、以古代數(shù)學(xué)問(wèn)題導(dǎo)入新課等。另一方面數(shù)學(xué)史上難以被人們接受的概念，學(xué)生也可能會(huì)難以接受，這時(shí)教師可參考這些數(shù)學(xué)難題最終如何被解決，又是如何被世人所接受的，以此來(lái)解決學(xué)生的困惑。同樣地，學(xué)生在得知數(shù)學(xué)家也曾在這些數(shù)學(xué)問(wèn)題想不通，心理會(huì)得到安慰。

近年來(lái)，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值已被廣大的數(shù)學(xué)教育者關(guān)注，作為師范生或在職教師，理解數(shù)學(xué)史的重要性是一方面，更重要的還要考慮如何將數(shù)學(xué)史更好地運(yùn)用于教學(xué)實(shí)際。

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作者簡(jiǎn)介：趙婷（1996-），女，漢族，陜西咸陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。

楊聞起（1962-），男，漢族，陜西寶雞人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：代數(shù)學(xué)。