馮海燕

【摘 要】本文從思辨以進(jìn)行抽象概括、想象以培養(yǎng)直覺思維、轉(zhuǎn)換以提升解題能力、發(fā)現(xiàn)以揭示應(yīng)用價(jià)值以及構(gòu)造、激活創(chuàng)新意識(shí)五個(gè)方面論述提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 建模能力 核心素養(yǎng) 應(yīng)用價(jià)值 創(chuàng)新意識(shí)

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）08B-0066-02

在現(xiàn)階段，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已經(jīng)成為教學(xué)工作的一大熱點(diǎn)，而數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方面，已經(jīng)逐漸引起了越來越多教育工作者的重視。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力不僅能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和水平的全面提升，更是能夠在一定程度上引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)學(xué)以致用，巧妙利用所學(xué)數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題進(jìn)而不斷深化其實(shí)踐應(yīng)用能力。因此，本文將從五個(gè)方面入手，詳細(xì)闡述如何在教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生建模能力，提升學(xué)生的應(yīng)用水平并不斷發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、思辨，進(jìn)行抽象概括

對(duì)于不同學(xué)生來說，由于其思維水平的差異和思維習(xí)慣的不同，其在思考問題的時(shí)候就會(huì)有差異產(chǎn)生。因此針對(duì)某個(gè)特定的問題或是知識(shí)點(diǎn)，教師不能總是讓學(xué)生被動(dòng)地接受教師灌輸?shù)闹R(shí)，而是需要有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思維結(jié)果進(jìn)行抽象概括，使不同學(xué)生的思維能夠進(jìn)行有效的碰撞，這樣才能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生獨(dú)到的見解，進(jìn)而最大程度激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，間接提升建模能力。

例如，在教學(xué)必修五第二章“數(shù)列”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，因?yàn)檫@部分知識(shí)是高考的重要考點(diǎn)，其出題形式也越來越靈活，所以筆者首先讓學(xué)生自學(xué)相關(guān)課程，然后根據(jù)自己的理解，概括出等比數(shù)列和等差數(shù)列的特點(diǎn)，并在小組之間交流。這樣學(xué)生在預(yù)習(xí)了之后，都能夠根據(jù)自己的理解，總結(jié)出這兩者的重要特性。比如，等差數(shù)列的每個(gè)前后項(xiàng)之間的差值都相等，等比數(shù)列的每個(gè)前后項(xiàng)之間的比值都相等。這些特性雖然看起來很簡單，但是這是學(xué)生運(yùn)用其建立模型解題的重要基礎(chǔ)，比如對(duì)之后的等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)過程具有極大的助益。并且在這個(gè)過程中，學(xué)生相互之間也可以碰撞出思維的火花，相互之間取長補(bǔ)短彌補(bǔ)自身不足，這也在無形之中促進(jìn)了其思維水平的進(jìn)步和發(fā)展，為其思維能力和數(shù)學(xué)建模能力的提升奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

由此可知，這種抽象概括和思維交流的方式為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力的提升奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生只有在充分理解了基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，才能夠在之后對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行有效應(yīng)用，進(jìn)而構(gòu)造相關(guān)模型并解決實(shí)際問題。因此教師不僅要讓學(xué)生“知其然”，更要讓其“知其所以然”，因而這種思維訓(xùn)練方式非常值得提倡。

二、想象，培養(yǎng)直覺思維

從古至今，數(shù)學(xué)建模的思想一直貫穿在數(shù)學(xué)史的發(fā)展之中。眾所周知，數(shù)學(xué)是一種刻畫數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的科學(xué)，而這種刻畫關(guān)系的建立便是依賴于數(shù)學(xué)建模。模型是將所學(xué)的理論知識(shí)與應(yīng)用實(shí)際相聯(lián)系的橋梁，而直覺思維在這個(gè)過程中占據(jù)了相當(dāng)重要的地位，可以說其是古今中外許多著名模型建立的重要前提，因此培養(yǎng)學(xué)生的想象能力和直覺思維是提升學(xué)生整體建模能力的前提和基礎(chǔ)。

比如，歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于其強(qiáng)大的直覺，阿基米德是在浴室中無意中想到了辨別王冠真假的方法，哈密頓在散步時(shí)候偶然想到要構(gòu)造四元素，等等，這些事例都說明了培養(yǎng)直覺思維對(duì)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的重要意義，因此教師在教學(xué)時(shí)候也要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生直覺思維。比如，在教學(xué)必修四第一章“三角函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，有這樣一道例題 ：“y=（4cosα+3-2t）2+（3sinα-1+2t）2，α，t 為參數(shù)，求 y 的最大值?！睂?duì)于這種類型的題目運(yùn)用常規(guī)方式并不容易求解，這需要學(xué)生自己深入探究建立新的模型，而任何一個(gè)新的模型的構(gòu)建都需要敏銳的直覺思維作為基礎(chǔ)。對(duì)于這道題來說，題干中 y 的表示方式與點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離公式的形式十分相似，如果學(xué)生能夠憑借自己的直覺想到這一步，那么新的解題模型就呼之欲出了。學(xué)生可以將題目轉(zhuǎn)換為求點(diǎn)（4cosα，3sinα）到點(diǎn)（2t-3，1-2t）之間的距離的最大值，點(diǎn)（2t-3，1-2t）代表直線，而點(diǎn)（4cosα，3sinα）的幾何圖形是橢圓，因此這道題就轉(zhuǎn)化成了求橢圓與直線之間的最值，最終可得到答案是 。其實(shí)在數(shù)學(xué)中這樣的例子往往有很多，尤其是在解決一些數(shù)學(xué)難題的時(shí)候，學(xué)生往往不能直接想出解題的答案，但是其可能會(huì)憑直覺嘗試一些方法，而這些方法往往就是解決整個(gè)問題的“金鑰匙”。

由此可見，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生大膽想象，根據(jù)自己的直覺敢于構(gòu)建新的模型去解決問題。教師要適時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生克服畏難心理，敢于產(chǎn)生新的想法并大膽嘗試。這樣學(xué)生在經(jīng)過一定數(shù)量的訓(xùn)練之后，其直覺思維會(huì)極大增強(qiáng)，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)也會(huì)更加得心應(yīng)手，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也會(huì)逐步提升。

三、轉(zhuǎn)換，提升解題能力

對(duì)于某個(gè)數(shù)學(xué)模型來說，其能夠解決的問題是有限的，沒有任何一種數(shù)學(xué)模型能夠解決所有的問題，所以對(duì)一些未能用已知模型解決的問題，我們需要先選擇熟悉的已知模型，然后再根據(jù)問題的特點(diǎn)將其有效轉(zhuǎn)換，爭取將其轉(zhuǎn)換為能夠用已有模型解決掉的問題，這樣要遠(yuǎn)比直接構(gòu)建一種新的模型更有效率。與此同時(shí)，也可極大地減輕思維負(fù)擔(dān)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和水平不斷提升，最終達(dá)到全新的高度。

比如，在教學(xué)必修一第一章“集合與函數(shù)概念”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，有一種求參數(shù)范圍類問題，其最常見的題型就是已知函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性求解參數(shù)范圍。對(duì)于這種問題來說，就需要學(xué)生將現(xiàn)有求參模型轉(zhuǎn)換為其他熟悉模型。對(duì)于這類問題有兩種比較常見的轉(zhuǎn)化方法，一種是將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為恒成立模型，之后再通過分離變量法求解相關(guān)參數(shù);另一種是根據(jù)欲求解的方程的根的分布，著重考慮端點(diǎn)的函數(shù)值與 0 的關(guān)系和對(duì)稱軸相對(duì)區(qū)間的位置以求解。因?yàn)閰?shù)范圍類的問題的求解方式并不固定，所以轉(zhuǎn)化的模型也并不單一，因此教師在教學(xué)時(shí)需要將每種轉(zhuǎn)換方式都講解透徹，以便學(xué)生再遇到該類問題時(shí)可以有效選取最合適的方法，構(gòu)建更高效的模型。這樣不僅能節(jié)約做題時(shí)間，而且能夠減少出錯(cuò)率，實(shí)在是一舉兩得。如果學(xué)生不了解這兩種解題模型的話，那么就會(huì)去思考尋求一種全新的解題方法，這樣不僅會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間和精力，而且其解題準(zhǔn)確率也不會(huì)很高。

因此，為了有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的模型轉(zhuǎn)化能力，使得學(xué)生能夠做到舉一反三，極大地提升其解題效率和準(zhǔn)確率。與此同時(shí)，也可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)其思維能力和水平的快速提升。

四、發(fā)現(xiàn)，揭示應(yīng)用價(jià)值

可以說，數(shù)學(xué)模型是一座聯(lián)系數(shù)學(xué)理論知識(shí)和生活實(shí)際的橋梁，它的存在使得很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到了解決，因此為了有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教師必須有意識(shí)地啟迪學(xué)生的應(yīng)用素養(yǎng)，使其具備能夠?qū)⒏鞣N各樣的實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型的能力，并以此全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，在教學(xué)必修五第二章“數(shù)列”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，為了使學(xué)生更加深刻地理解與數(shù)列相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)也為了有效啟迪學(xué)生的應(yīng)用素養(yǎng)，筆者讓學(xué)生在課余時(shí)間通過上網(wǎng)查閱資料或者實(shí)際考察等形式，去了解發(fā)現(xiàn)現(xiàn)階段銀行貸款中的與數(shù)列有關(guān)的知識(shí)。學(xué)生由此不僅深刻了解了其運(yùn)行機(jī)制，而且能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)模型有效計(jì)算利息等。這樣學(xué)生就能夠?qū)W以致用，通過數(shù)學(xué)模型將所學(xué)的理論知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系起來。除此之外，筆者還讓學(xué)生以小組為單位，探索生活中有關(guān)數(shù)列的實(shí)例，并深入挖掘其與所學(xué)理論知識(shí)之間的聯(lián)系。學(xué)生通過這種方式，不僅提升了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力，而且使其思維水平得到了巨大的提升和跨越，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣也不斷提高。

因此，教師在教學(xué)時(shí)可以盡可能地為學(xué)生創(chuàng)造這種實(shí)踐活動(dòng)，使其能夠通過自己的探究和發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)模型解決一些生活中的實(shí)際問題。相信經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后，學(xué)生的應(yīng)用素養(yǎng)一定會(huì)得到飛速提升，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力也會(huì)不斷提高。

五、構(gòu)造，激活創(chuàng)新意識(shí)

在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中，有很大一部分的問題可以用已知模型解決，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，肯定會(huì)遇到不能用已知或者熟悉的模型解決的問題。這個(gè)時(shí)候就需要學(xué)生充分激發(fā)自身思維潛力，用創(chuàng)新的角度和眼光去看待相關(guān)問題，以此建立新的數(shù)學(xué)模型。

比如，在教學(xué)必修四第二章“平面向量”這一部分內(nèi)容時(shí)，有一道例題如下：“a=（2，0），|b|=1，且 a 與 b 之間的夾角為 60°，求 |a+2b|。”在解答此題目時(shí)，當(dāng)然我們可以讓學(xué)生按部就班地根據(jù)題給條件寫出各點(diǎn)坐標(biāo)帶入求解，但是根據(jù) |a+2b| 的形式我們可以很容易地聯(lián)想到幾何圖形中的平行四邊形，這樣我們就可以構(gòu)造一個(gè)新的幾何解題模型，再進(jìn)一步對(duì)題給條件進(jìn)行分析可以得到 |a|=|2b|，這時(shí)學(xué)生很容易知道這個(gè)平行四邊形其實(shí)是一個(gè)頂角為 60°的菱形，所求即為該菱形的對(duì)角線長 。因此這種構(gòu)造新的模型的方法對(duì)于一些特定的題目是非常實(shí)用的。

由此可見，構(gòu)造新的解題模型能夠在一定程度上明晰解題思路，簡化解題過程，能夠極大地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力得到提升。

總之，教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。要盡可能地通過抽象概括、提取信息、思考轉(zhuǎn)換、挖掘價(jià)值以及引導(dǎo)創(chuàng)新等來不斷向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模的相關(guān)思想，最終使學(xué)生能夠?qū)W以致用，能夠有效利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，全面提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)以及相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（責(zé)編 盧建龍）