張軍

【摘要】數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)構(gòu)成中的兩個(gè)基本元素，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的主要對(duì)象。同時(shí)在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，研究者大多會(huì)采用一種能夠利用數(shù)字與圖形之間的轉(zhuǎn)換的思想簡(jiǎn)化問(wèn)題、深入問(wèn)題的數(shù)學(xué)研究思想輔助數(shù)學(xué)研究，以便更加深入地理解問(wèn)題、研究問(wèn)題，而這種數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想主要包括兩大部分，即“以數(shù)解形”思想以及“以形助數(shù)”思想。以數(shù)解形思想的運(yùn)用能夠以數(shù)字的具體性來(lái)解決圖形抽象性問(wèn)題，而以形助數(shù)思想的運(yùn)用能夠借助圖形的生動(dòng)性簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，使問(wèn)題的本質(zhì)表現(xiàn)得更加清晰。主要圍繞數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略展開(kāi)探究。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)? 數(shù)形結(jié)合思想? 應(yīng)用策略? 教學(xué)實(shí)際

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）50-0131-02

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師則要強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中借助數(shù)字和圖形之間的相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，學(xué)生的思維靈活性以及創(chuàng)造性思維能力都會(huì)得以加強(qiáng)，整體的思維水平會(huì)有明顯的提升。由此看來(lái)，無(wú)論是對(duì)教師還是學(xué)生，數(shù)形結(jié)合思想都是極其重要的。接下來(lái)，筆者將結(jié)合個(gè)人這些經(jīng)驗(yàn)介紹以下幾種數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略。

一、以數(shù)助圖，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化

眾所周知，圖形是數(shù)學(xué)的一種重要表現(xiàn)形式，而初中數(shù)學(xué)中也存在大量以圖形為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。與數(shù)字型和理論型數(shù)學(xué)內(nèi)容相比，以圖形為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)內(nèi)容有更強(qiáng)烈的抽象性，因此對(duì)該部分內(nèi)容的理解難度也大幅提升。因此在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)以圖形為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)字輔助圖形型問(wèn)題的解決，借助數(shù)字的具體性來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的具體化。

例如，在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)《圓和圓的位置關(guān)系》一課時(shí)，筆者便通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生借用數(shù)字來(lái)理解圓與圓的位置關(guān)系加深學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的理解。由于圓與圓的位置關(guān)系在形式上是借助圖形來(lái)體現(xiàn)的，所以學(xué)生在理解相切、相交和相離三種位置關(guān)系時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生一定的理解障礙，因此引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)字來(lái)理解這三種位置關(guān)系是幫助學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)理解的不二選擇。首先，筆者會(huì)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本上的內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)學(xué)習(xí)，并重點(diǎn)為學(xué)生講解相切、相交、相離三種位置關(guān)系的概念。講解過(guò)后，筆者會(huì)在黑板上畫(huà)出兩個(gè)半徑為15cm的圓分別處于相交、相離、相切三種位置關(guān)系下的圖形。在對(duì)這三種位置狀態(tài)進(jìn)行講解時(shí)，筆者會(huì)對(duì)兩圓圓心距離與圓的直徑進(jìn)行比較，將圖形位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)字關(guān)系。當(dāng)兩圓相切時(shí)，圓心之間的距離與圓的直徑相等;當(dāng)兩圓相交時(shí)，圓心之間的距離小于圓的直徑;當(dāng)兩圓相離時(shí)，圓心之間的距離大于圓的直徑。

通過(guò)這種將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字比較的方式，學(xué)生能夠?qū)μ幱诓煌恢脿顟B(tài)下的圓有更加清晰的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，當(dāng)學(xué)生遇到通過(guò)數(shù)字描述圓的位置狀態(tài)的題目時(shí)，學(xué)生也能夠立即實(shí)現(xiàn)思維上的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的正確解答。

二、以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題生動(dòng)化

數(shù)字是數(shù)學(xué)的另一種重要表現(xiàn)形式，也是數(shù)學(xué)關(guān)系的主要體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)題目中，數(shù)字類(lèi)描述往往會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生更加強(qiáng)烈的視覺(jué)難度感知，對(duì)題目的分析也會(huì)產(chǎn)生一定的偏差。此時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生借助圖形來(lái)轉(zhuǎn)化題目，讓學(xué)生將數(shù)字轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的圖形，借助圖形的生動(dòng)化來(lái)降低數(shù)字描述類(lèi)題目的理解難度。

例如，在《勾股定理》一課中，課本中給出直角三角形“a2+b2=c2（直角邊平方和等于斜邊的平方）”的恒定定理。如果學(xué)生僅僅依靠字母及數(shù)字描述理解勾股定理，那么學(xué)生對(duì)直角三角形勾股定理的理解就會(huì)被局限在數(shù)字描述上，無(wú)法真正體會(huì)勾股定理在直角三角形中的具體應(yīng)用。因此在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，除了引領(lǐng)學(xué)生對(duì)定理理論知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)外，筆者還要求學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出最經(jīng)典的“32+42=52”以及“62+82=102”兩個(gè)直角三角形，讓學(xué)生能夠從圖形的視覺(jué)感知角度加深對(duì)數(shù)字描述的理解。同時(shí)筆者會(huì)要求學(xué)生嘗試畫(huà)出與“a2+b2=c2”不相符的直角三角形來(lái)反向理解勾股定理對(duì)直角三角形的適用性。例如當(dāng)學(xué)生畫(huà)出直角邊分別是5和12的直角三角形時(shí)，直角三角形的斜邊長(zhǎng)度只能是13，不可能是13以外的任何數(shù)字。

通過(guò)使用這種借助圖形來(lái)感受數(shù)字的方法，學(xué)生能夠?qū)?shù)字描述中所蘊(yùn)含的知識(shí)產(chǎn)生更加深刻的體會(huì)，同時(shí)也會(huì)在數(shù)字轉(zhuǎn)化圖形的過(guò)程中感受到數(shù)字和圖形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)概念理解深入

理解數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，不正確的數(shù)學(xué)概念理解只會(huì)平添數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的阻礙。一直以來(lái)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象大多是復(fù)雜、抽象的文字和數(shù)字描述，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中許多概念的理解也一直停留在較淺的層次上。因此在概念教學(xué)過(guò)程中，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)幫助學(xué)生更加深入地理解概念，為學(xué)生后期的數(shù)學(xué)題目實(shí)操打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

例如，在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)《反比例函數(shù)》一課時(shí)，筆者便一改教材中的教學(xué)順序安排，選擇將概念講解與圖形講解、數(shù)字舉例驗(yàn)證相結(jié)合的方式安排教學(xué)。在進(jìn)行講解時(shí)，筆者首先引入了反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=k/x（k為常數(shù)，k≠0），然后以最經(jīng)典y=1/x和y=-1/x為例代入x取值得出y的取值，進(jìn)而得出一系列的坐標(biāo)點(diǎn)的方法繪制反比例函數(shù)y=1/x和y=-1/x的圖形，并在繪制圖形的過(guò)程中帶領(lǐng)學(xué)生分析反比例函數(shù)的圖形特點(diǎn)。在依次帶入x取值后，我們得到了（1，1）、（2，1/2）、（3，1/3）……（n，1/n）（n不為0）等一系列坐標(biāo)點(diǎn)。得到取值后，我們依次在直角坐標(biāo)系中找出各點(diǎn)，并以順滑的曲線連接各個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，最終得出反比例函數(shù)y=1/x以及y=-1/x的圖像。在繪制圖形的過(guò)程中，學(xué)生能夠清晰地觀察到隨著x取值的增大，y的取值逐漸減小，兩者取值成反向變化狀態(tài)。且當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)圖像位于第一、第三象限;k<0時(shí)，反比例函數(shù)圖像位于第二、第四象限。

通過(guò)這種將概念學(xué)習(xí)與圖形和數(shù)字舉例驗(yàn)證相結(jié)合的方法，學(xué)生能夠在數(shù)字驗(yàn)證以及圖形繪制的過(guò)程中感知概念文字描述，使理解更加深入。

四、加強(qiáng)練習(xí)，提升數(shù)形結(jié)合水平

能力的培養(yǎng)離不開(kāi)大量的練習(xí)，只有足夠的練習(xí)才能夠讓學(xué)生的能力和意識(shí)得到穩(wěn)固性提升。因此教師在組織教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)對(duì)練習(xí)環(huán)節(jié)的重視，借助練習(xí)環(huán)節(jié)提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維能力。

在組織題目練習(xí)時(shí)，教師要注重以下幾點(diǎn)。第一，互補(bǔ)性原則?；パa(bǔ)性原則即數(shù)字與圖形轉(zhuǎn)換的互補(bǔ)，數(shù)字型題目配以圖形轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，圖形型題目配以數(shù)字運(yùn)用訓(xùn)練。第二，及時(shí)改正原則。當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在解題錯(cuò)誤時(shí)，教師要給予及時(shí)的糾正，讓學(xué)生及時(shí)改正錯(cuò)誤觀點(diǎn)。第三，及時(shí)回顧原則，這一原則主要體現(xiàn)在錯(cuò)題集的整理以及回顧環(huán)節(jié)中。

在上述三項(xiàng)原則的限制下，學(xué)生能夠接觸更為科學(xué)的數(shù)學(xué)題目練習(xí)。在達(dá)到一定的練習(xí)量后，學(xué)生的思維能力以及學(xué)習(xí)意識(shí)都能夠發(fā)生質(zhì)的變化，實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)形結(jié)合思維能力的提升。

五、結(jié)語(yǔ)

作為一種科學(xué)且有效的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)與學(xué)習(xí)中的應(yīng)用為教師和學(xué)生解決問(wèn)題帶來(lái)了極大的便利性。當(dāng)教師和學(xué)生嘗試在數(shù)字和圖形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，思考方式和思維便開(kāi)始發(fā)生本質(zhì)上的變化，對(duì)問(wèn)題的認(rèn)知也會(huì)從表面深入至本質(zhì)。由此看來(lái)，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的推動(dòng)力是不可小覷的?？偠灾诮虒W(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是教師組織教學(xué)活動(dòng)不可或缺的一步，也是全面塑造學(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展的關(guān)鍵步驟。因此，教師必須注重對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維能力的培養(yǎng)，讓數(shù)形結(jié)合思想成為助力學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的“主力軍”。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜孝梅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)整合數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐研究[J].中國(guó)校外教育，2019（18）：66.