陳佳娜

【摘要】數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.這就是對(duì)數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)人的描述，這就是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).在本質(zhì)上，數(shù)學(xué)的眼光就是數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)的思維就是邏輯推理，數(shù)學(xué)的語言就是數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)很多，知識(shí)本身固然重要，但是，教會(huì)學(xué)生如何去辨別這些知識(shí)，如何去學(xué)習(xí)，如何去思考是更加重要的.變中不變思想是與抽象有關(guān)的數(shù)學(xué)思想;類比思想是與推理有關(guān)的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想的引入，使得學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)抽象和推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);牛吃草問題;數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”如果把基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能看作計(jì)算機(jī)的硬件設(shè)備，那么基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)便是其軟件支持，優(yōu)良的硬件設(shè)備可以讓計(jì)算機(jī)的運(yùn)行順暢不卡頓，而靈活的軟件支持才是計(jì)算機(jī)能夠可持續(xù)發(fā)展的定海神針.史寧中教授也曾講過：“在基礎(chǔ)教育階段，一個(gè)好的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣：會(huì)在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進(jìn)而抽象能力強(qiáng);會(huì)在雜亂無章的事物中理清頭緒，進(jìn)而推理能力強(qiáng);會(huì)在千頭萬緒的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而建模能力強(qiáng).”

我結(jié)合牛吃草問題中涉及的“變中不變”和“類比”兩種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行淺析.

一、審時(shí)度勢(shì)，變中不變思想的多維思考

英國(guó)著名的物理學(xué)家牛頓曾編過這樣一道題目：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快.這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，其間一直有草生長(zhǎng).如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？這種類型的題目就叫作牛頓（牛吃草）問題，亦叫作消長(zhǎng)問題.在實(shí)際教學(xué)中，我通常鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立讀題.可是，精讀本題過后，多數(shù)學(xué)生仍如丈二的和尚摸不著頭腦.究其原因是題中“無”的條件多且“有”的條件少，如何無中生有、化虛為實(shí)？這就需要師生共同觀其經(jīng)脈、庖丁解牛了.由于牛吃草的過程中，草不斷生長(zhǎng)，所以要想辦法從變中找到不變的量.牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)的草量也可看作是“不變”的.下面對(duì)比本題中的兩種吃法（如圖1）.正是由于這個(gè)不變量，使牛吃草問題沖云破霧、豁然開朗.

下面整理出本題的解題思路（如圖2）：

數(shù)學(xué)是思維的體操，比運(yùn)算結(jié)果更重要的是思考問題的過程，下面給出兩種解題思路供參考.

思路一：可以派出5頭牛去吃每天的新生草，剩下的牛吃不變的原有草.

110÷（25-5）=5.5（天）

思路二：數(shù)學(xué)有公平之美，若每天只讓5頭牛吃新生草，稍顯不公平，要想讓群牛平等，也可以這樣操作：25頭牛每天吃草的需求量是25份，大家齊心協(xié)力先吃每天的5份新生草，沒吃飽，然后再一起分享原有草25-5=20份，共享數(shù)學(xué)之公平美.

110÷（25-5）=5.5（天）

即可供25頭牛吃5.5天.兩種思路雖算式相同，但思維過程卻不同，這就是數(shù)學(xué)思維其樂無窮的關(guān)鍵所在.

變中有不變思想，用一句俗話說則為“萬變不離其宗”.在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)的概念、法則、性質(zhì)、定理、數(shù)量關(guān)系式（包含各種公式）等都廣泛應(yīng)用了變中不變思想.

二、觸類旁通，類比思想解決相似問題

如果兩類事物具有許多相同的屬性，那么可以通過一類事物具有的性質(zhì)，聯(lián)想另一類事物也具有相同的性質(zhì)，這種解決問題的思維方法叫類比思想.

下面列舉一些與牛吃草問題有異曲同工之妙的可用類比思想解決的數(shù)學(xué)問題.

【檢票問題】某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來排隊(duì)的人數(shù)一樣多，并且每分鐘檢票完成的人數(shù)相同.若同時(shí)開放5個(gè)檢票口，則需30分鐘檢完票;若同時(shí)開6個(gè)檢票口，則需20分鐘檢完票.那么，第一個(gè)排隊(duì)的人需等待檢票多少分鐘？

在牛吃草問題中，我們把草分成原來的草和勻速生長(zhǎng)的新草兩個(gè)部分.在檢票問題中，恰好也可以把人分成原來的人和勻速增多的新人兩個(gè)部分，故我們可以把排隊(duì)檢票的人看作牛吃草問題中的“草”，而每分鐘檢票人數(shù)相同的檢票口恰好可以看作每天吃草份數(shù)同樣多的“?！?

本題解答過程如下：

設(shè)每個(gè)檢票口每分鐘可檢票1個(gè)人.

人的增長(zhǎng)速度： （30×5-20×6）÷（30-20）

=30÷10

=3（人/分）.

原來的人：30×5-30×3=60（人）或20×6-20×3=60（人）

意味著第一個(gè)排隊(duì)的人需要等到第60個(gè)人前來排隊(duì)時(shí)，才能開始檢票.

等待時(shí)間：60÷3=20（分）.

【抽水問題】一個(gè)水池，池底有一泉眼，水不斷涌出.如果用了7臺(tái)抽水機(jī)來抽，20小時(shí)可以把水抽干;如果用8臺(tái)抽水機(jī)來抽，15小時(shí)可以把水抽干.那么，泉眼每小時(shí)涌出多少水？

不難發(fā)現(xiàn)本題抽水機(jī)即是“?！?，而不斷涌出的水即是“生長(zhǎng)的草”.與抽水問題特別類似的還有排水管問題及船漏水問題.

本題解答過程如下：

設(shè)抽水機(jī)每小時(shí)抽1份水.

涌水速度： （20×7-15×8）÷（20-15）

=20÷5

=4（份/時(shí)）.

【扶梯問題】扶梯勻速地由一樓向二樓行駛著，甲、乙兩人同時(shí)由二樓逆行去一樓.甲每秒鐘走3級(jí)臺(tái)階，乙每秒鐘走2級(jí)臺(tái)階，甲100秒到一樓，乙300秒到一樓，扶梯有多少級(jí)臺(tái)階？

這種“熊孩子”的題型難道也可以類比“牛吃草”問題？當(dāng)然了！勻速增加的臺(tái)階相當(dāng)于勻速生長(zhǎng)的“草”，甲、乙兩人可以比作“?！?，那么問題就迎刃而解了.

本題解答過程如下：

臺(tái)階增長(zhǎng)速度： （2×300-3×100）÷（300-100）

=300÷200

=1.5（級(jí)/秒）.

原來的臺(tái)階：2×300-1.5×300=150（級(jí)）或3×100-1.5×100=150（級(jí)）.

【多人追及】有一個(gè)人步行從某地出發(fā)，過了一段時(shí)間之后，又有甲、乙、丙三個(gè)人同時(shí)從該地出發(fā)騎車追趕步行人.甲、乙、丙三人的速度分別是12千米/時(shí)，16千米/時(shí)，28千米/時(shí).步行人的速度始終不變，也不會(huì)中途停下來，甲追上步行人花了6小時(shí)，乙追上步行人花了4小時(shí)，那么丙追上步行人需要多長(zhǎng)時(shí)間？

這雖然是行程問題中的追及問題，但與牛吃草問題本質(zhì)相同.類比牛吃草問題的解法，嘗試根據(jù)甲、乙追上步行人花的時(shí)間算出步行人的速度（相當(dāng)于草的生長(zhǎng)速度），進(jìn)而求出剛出發(fā)時(shí)甲、乙、丙與步行人的距離（相當(dāng)于原有草量），最后解答丙追上步行人花的時(shí)間.

本題解答過程如下：

步行人的速度： （12×6-16×4）÷（6-4）

=8÷2

=4（千米/時(shí)）.

剛出發(fā)時(shí)甲、乙、丙與步行人的距離：12×6-4×6=48（千米）或16×4-4×4=48（千米）.

丙追及的時(shí)間： 48÷（28-4）

=48÷24

=2（小時(shí)）.

除了以上列舉的數(shù)學(xué)問題，還有很多數(shù)學(xué)問題也可類比牛吃草問題.理解了數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識(shí)自然水到渠成.正可謂“萬變不離其宗”，這里不再一一贅述.

三、去偽存真，抓住數(shù)學(xué)問題精髓

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要把握知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，抓住教學(xué)的契機(jī)，在相關(guān)的教學(xué)環(huán)節(jié)，適當(dāng)滲透或點(diǎn)撥這些數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)思想如春雨般浸潤(rùn)學(xué)生的心田.我經(jīng)?？吹胶芏鄬W(xué)生整日在題海戰(zhàn)術(shù)中，被搞得精疲力盡，小小年紀(jì)便對(duì)學(xué)習(xí)望而生畏.“思想”教學(xué)迫在眉睫，長(zhǎng)春市吉大附中力旺實(shí)驗(yàn)小學(xué)溫劍校長(zhǎng)經(jīng)常教導(dǎo)我們：“做有根的教育.”我想溫校長(zhǎng)所說的“根”就是根植于學(xué)生內(nèi)心深處的思想教育.作為一線教師，一定要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行歸類發(fā)現(xiàn)，抓住知識(shí)的本質(zhì)，任題目千變?nèi)f化，只要掌握了駕馭知識(shí)的思想方法，便可見微知著，源頭活水不斷涌來.

【參考文獻(xiàn)】

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