丁書明

[摘? 要] 文章主要介紹什么是微專題課，如何在高三復習階段以微專題課型進行復習，并以“函數(shù)零點的個數(shù)的判斷”為例分析微專題課的教學設計.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;微專題;高三復習

關于高三數(shù)學備考復習通常有第一輪的基礎復習及第二輪的專題復習，但在第一輪復習過程中往往已經(jīng)適時地插入了專題復習，因而在第二輪專題復習時會發(fā)現(xiàn)如果按照通常的專題進行復習會有重復但又不深入的感覺. 經(jīng)過教學實踐與思考，筆者總結出第二輪微專題復習方法，可以對一個重點內(nèi)容或一類題型，或?qū)W生暴露出來的尚未掌握的知識點和難點進行精準復習“定向爆破”，實現(xiàn)有效教學. 那么什么是微專題課？如何設計微專題的主題和內(nèi)容？

■微專題的含義

微專題首先體現(xiàn)在一個“微”字，相對于大專題而言，它可能是大專題的一個組成部分，它涉及的范圍較小、內(nèi)容較少，只是一個具體的問題，或者是一種題型，或者是一種方法. 再者微專題體現(xiàn)了一個“?！弊?，深入地分析一個特定問題的原理、難點、思路、解法等.

例如大專題《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》，它的內(nèi)容包括三角函數(shù)的圖像、圖像變換、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)的應用等內(nèi)容，非常系統(tǒng)全面. 經(jīng)過第一輪的復習這些內(nèi)容大都復習過了，如果再漫無目的地講就會重復，講者無味聽者浪費，此時可針對學生的薄弱環(huán)節(jié)設計一個微專題《三角函數(shù)中參數(shù)范圍的求法》.

■微專題主題的確定

確定微專題課的主題應源自三“點”：高考熱點、知識重點及學生弱點. 例如在復習必修一《函數(shù)的圖像與性質(zhì)》時，圖像的變換非常重要，但學生只知變化套路不理解變化的原理，使得難以靈活應用，為此可以《函數(shù)圖像的變化》為題設計一節(jié)微專題課探討圖像變化的原理、方法結論與應用. 再如高考考查熱點之一“函數(shù)的零點”內(nèi)容廣泛、題型豐富、綜合性強，為此我們可以將這一大塊內(nèi)容系統(tǒng)地分割為一個個的微專題，像《函數(shù)零點個數(shù)的判斷》《與ex，lnx有關的函數(shù)零點問題求解》《隱零點問題》等等，化整為零，逐個突破.

設計專題結構時注重主題明確、例題典型，宜少而專，忌多而全.一般來說一個主題下因側重點不同或難度梯度不同不超過三個例題，以經(jīng)典問題為載體，回歸問題的本源，展現(xiàn)一條清晰的主線，循序漸進，逐步深入需要解決的問題.

■微專題課例

下面本文將以《函數(shù)零點個數(shù)的判斷》為例具體說明.

（一）教學過程

1. 注重基礎，提煉方法

例1：思考下列問題，并總結處理函數(shù)零點問題的常用方法.

（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-3x-4的零點個數(shù);

（2）求證函數(shù)f（x）=lnx+x-3有且僅有一個零點;

（3）偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且當x∈[0，1]時，f（x）=-x+1，則關于x的方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的個數(shù)是（? ）？搖

A. 7B. 8? C. 9? D. 10

設計意圖：這一組題目類型均為判斷函數(shù)零點個數(shù)，題目較為基礎但卻可以充分揭示函數(shù)零點的本質(zhì)：函數(shù)的零點即函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標，或者是f（x）=0的根.

題（1）可求方程x2-3x-4=0的根，或者畫圖判斷.

題（2）有兩種解法：

解法一：f（x）單調(diào)遞增，且f（1）<0，f（e）>0，由函數(shù)零點的存在性定理判斷該函數(shù)有且僅有一個零點;

解法二：轉化為函數(shù)g（x）=lnx與h（x）= -x+3兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標.

題（3）可轉化為函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=lg（x+1）在區(qū)間[0，9]上交點個數(shù).

一般地，對于形如函數(shù)f（x）=g（x）-h（x）的零點等價于方程g（x）-h（x）=0的根，進而等價于函數(shù)y=g（x）與y=h（x）圖像的交點，我們稱之為分離函數(shù)法.

引導學生討論并歸納解題策略.

（1）求根：函數(shù)y=f（x）的零點等價于對應方程f（x）=0的根;

（2）零點的存在性定理判斷;

（3）轉化：運用等價變形將方程轉化為兩個函數(shù)圖像的交點.

2. 加深理解，提升素養(yǎng)

例2：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）-m有3個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

變式1：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（x）-mx有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

變式2：將例2中g（x）的3個零點分別記為x■，x■，x■，求x■+x■+x■的取值范圍.

變式3：已知函數(shù)f（x）=2x-1，x>0，-x2-2x，x≤0，函數(shù)g（x）=f（f（x））-m有3個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

思路分析：

（1）例2的問題等價轉化為方程f（x）=m恰有3根，再進一步等價轉化為函數(shù)f（x）的圖像與直線y=m有3個交點，可由直線y=m“上下浮動”直觀地看出m的取值范圍.不僅如此，還可以設問恰有1個零點、2個零點等. 該方法做到了“參變分離”，我們稱之為“分離參數(shù)法”. 變式1轉化為函數(shù)f（x）的圖像與直線y=mx有2個交點，可由直線y=mx繞原點轉動滿足條件時直線的起始位置及終止位置，從而求出m的取值范圍.

（2）變式2深化了“零點即交點的橫坐標”的轉化，強化了數(shù)形結合思想的應用.

（3）變式3：設t=f（x），只需要研究方程f（t）=m和方程t=f（x）. 如當01的情況，綜合得到m=0或m=1.

變式3題型可歸納為“復合函數(shù)”零點問題，本解法做了整體代換“f（t）=m”，我們稱之為整體代換法.

設計意圖：這一組題目類型均為根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，采用了一題多變的形式，意在揭示根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結合”，即通過函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，或者轉化為兩個函數(shù)圖像的公共點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，解決問題的步驟是“先形后數(shù)”.至此，求解函數(shù)零點的三種主要方法：圖像法、分離函數(shù)法、參變分離法及整體代換法已引導學生探討完畢，基本上達到了微專題的設計目的.

3. 動手實踐，形成能力

例3：已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）.

（1）略;

（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在■，e上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

解法一：（圖像法）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性.

g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x2+m，則g′（x）=■-2x=■.

因為x∈■，e，所以由g′（x）=0，得x=1.

當■≤x<1時，g′（x）>0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當1

又g■=m-2-■，g（e）=m+2-e2，

所以g（x）=f（x）-ax+m在■，e上有兩個零點需滿足條件

g（1）=m-1>0，g■=m-2-■≤0，解得1

故實數(shù)m的取值范圍是1，2+■.

解法二：（分離函數(shù)法）

由g（x）=2lnx-x2+m=0，得2lnx=x2-m.

令函數(shù)h（x）=2lnx（x∈■，e），φ（x）=x2-m（x∈■，e），可等價轉化為函數(shù)h（x）與φ（x）的圖像恰有兩個交點. （以下略）

解法三：（參變分離法）令g（x）=2lnx-x2+m=0，得m=x2-2lnx，可轉化為函數(shù)h（x）=x2-2lnx，x∈■，e與直線y=m恰有兩個交點. （以下略）

設計意圖：緊扣本節(jié)課主題，難度略大于前兩個例題，可一題多解. 課堂給予時間讓學生親自動手求解，達到檢測訓練的目的. 組織學生投影分享，發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正，加深理解，形成能力.

■感悟

1.第二輪復習過程中穿插微專題，有助于突破一些重點、熱點、難點問題，避免泛泛而談，既節(jié)省了時間，又突破了學生的弱點，強化了高考熱點和重點，使復習效果得以保證.

2.高三復習過程中經(jīng)常要進行單元測試、綜合測試及月考等，對于考試中學生暴露出的問題非常適合以微專題的形式進行試卷講評，這樣的試卷講評課不求全而求專，以問題促成專題的生成，力求解決學生學習的真問題和實問題.

3.微專題教學可以激活知識，點燃數(shù)學思維的火花，聯(lián)想解決問題的方法，通過變式教學可以從更高層面重構知識網(wǎng)絡，跨越章節(jié)界限，對知識進行整合、串講，將散亂的知識串聯(lián)，達到融會貫通.