付平

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象一直受到高度重視，甚至在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素當(dāng)中，抽象被列為第一要素. 數(shù)學(xué)抽象的理解與操作有兩關(guān)鍵：一是要科學(xué)理解什么是數(shù)學(xué)抽象;二是要能夠建立起正確的數(shù)學(xué)抽象的操作辦法. 對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解，必須秉承辯證看待的思路，同時(shí)必須避免一些認(rèn)識(shí)上的誤區(qū). 數(shù)學(xué)抽象的操作辦法是：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的動(dòng)機(jī);借助數(shù)學(xué)思維，選擇數(shù)學(xué)工具，對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象;運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果進(jìn)行表征. 無(wú)論是從教師的角度還是從學(xué)生的角度，都應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行深入的理解，這樣更加符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;理解;實(shí)踐

當(dāng)把數(shù)學(xué)研究的對(duì)象概括為空間形式和數(shù)量關(guān)系時(shí)，就意味著數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)及其研究中有著不可輕視的基礎(chǔ)性地位;也因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象一直受到高度重視，甚至在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素當(dāng)中，抽象被列為第一要素. 站在學(xué)生的角度看數(shù)學(xué)抽象，可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁;運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題. 由此可以看出，數(shù)學(xué)抽象對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)而言功能巨大. 既然數(shù)學(xué)抽象是如此的重要，那么在核心素養(yǎng)的背景之下，高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)抽象教學(xué)應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行呢？回答這個(gè)問(wèn)題，筆者以為有兩關(guān)鍵：一是要科學(xué)理解什么是數(shù)學(xué)抽象;二是要能夠建立起正確的數(shù)學(xué)抽象的操作辦法. 本文就這兩個(gè)重要的話題，談?wù)劰P者一些淺顯的思考.

■數(shù)學(xué)抽象的科學(xué)理解

對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解，首先是建立在數(shù)學(xué)抽象的概念基礎(chǔ)之上的. 認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)抽象”首先要認(rèn)識(shí)“抽象”，兩者之間是概念的隸屬關(guān)系. 所謂抽象，通常是指人在認(rèn)識(shí)不同事物的過(guò)程中，基于一定的標(biāo)準(zhǔn)去舍棄事物的個(gè)別、非本質(zhì)的屬性，并在此基礎(chǔ)上抽取出事物的本質(zhì)屬性的過(guò)程和方法;相應(yīng)的，數(shù)學(xué)抽象則是指人在研究事物的過(guò)程中，通過(guò)觀察與比較、分析與綜合，去除事物表象的、外部的、偶然的非數(shù)學(xué)的因素，并提出事物數(shù)學(xué)本質(zhì)的、內(nèi)在的、必然的數(shù)學(xué)關(guān)系. 在此過(guò)程中要從空間形式和數(shù)量關(guān)系兩個(gè)角度去揭示、描述研究對(duì)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)規(guī)律的研究方法. 無(wú)獨(dú)有偶的是，史寧中教授定義為“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)”，認(rèn)為不管是現(xiàn)實(shí)世界中，還是思維想象中的“數(shù)量關(guān)系和空間形式”都屬于數(shù)學(xué)研究的范疇，這表明數(shù)學(xué)抽象的基本特征是數(shù)量化和形式化. 對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解，筆者以為必須秉承辯證看待的思路，同時(shí)必須避免一些認(rèn)識(shí)上的誤區(qū).

強(qiáng)調(diào)辯證看待，意思是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容一方面是抽象的，尤其是高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，基本上都是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，其直接表征方式都是抽象的數(shù)與形;另一方面，抽象的知識(shí)往往來(lái)自于形象的事物或者學(xué)生已經(jīng)熟悉了的知識(shí)基礎(chǔ)（其從形式的角度來(lái)看是抽象的，從學(xué)生認(rèn)知熟悉程度的角度來(lái)看是形象的），在建立數(shù)學(xué)概念、規(guī)則或者規(guī)律的時(shí)候，往往都會(huì)經(jīng)由數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程. 因此對(duì)于高中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)際上是一個(gè)從形象走向抽象的過(guò)程，亦即數(shù)學(xué)抽象過(guò)程.

強(qiáng)調(diào)要避免一些認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，主要是為了避免“數(shù)學(xué)無(wú)用論”“數(shù)學(xué)抽象虛無(wú)論”. 在歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家發(fā)明的一種脫離現(xiàn)實(shí)世界的思維游戲”這樣的認(rèn)識(shí)，本質(zhì)上這種認(rèn)識(shí)就是對(duì)數(shù)學(xué)抽象的錯(cuò)誤理解，上面其實(shí)已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)：數(shù)學(xué)的形式是抽象的，但是數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程卻是以形象事物與形象思維為基礎(chǔ)的，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)最終也是運(yùn)用于形象的生活事物的，因此數(shù)學(xué)抽象并不虛無(wú).

■數(shù)學(xué)抽象的操作辦法

有了上述理解，到了具體的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)以及作為核心素養(yǎng)要素的落地，就必須尋找正確的操作方法. 對(duì)于數(shù)學(xué)抽象的情境需要與操作思路之間，有研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)重要的任務(wù)之一就是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，而這就需要教師建立對(duì)數(shù)學(xué)抽象的準(zhǔn)確理解，并設(shè)計(jì)教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)入到數(shù)學(xué)抽象的情境之中. 在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步總結(jié)出的數(shù)學(xué)抽象的操作方法是：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的動(dòng)機(jī);借助數(shù)學(xué)思維，選擇數(shù)學(xué)工具，對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，這是一個(gè)純化與創(chuàng)造、想象與推理的過(guò)程;運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果進(jìn)行表征，表征不只是簡(jiǎn)單的用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述自己的抽象結(jié)果，更多的是在數(shù)學(xué)抽象結(jié)果與數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間尋找聯(lián)系，這就需要以準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言為基礎(chǔ)，實(shí)際上就是需要以學(xué)生正確理解已有的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律為基礎(chǔ). 來(lái)看一個(gè)例子：

在“向量”這一知識(shí)的教學(xué)中，常規(guī)的教學(xué)是給學(xué)生舉出“既有大小又有方向的量”的例子，然后告訴學(xué)生“既有大小又有方向的量叫作向量”. 這樣的教學(xué)在邏輯上看不出多大的問(wèn)題，因?yàn)檫@些例子本質(zhì)上是根據(jù)向量的定義反推出來(lái)的;而從學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的角度來(lái)看，這樣的設(shè)計(jì)又過(guò)于線性，不能完全滿足學(xué)生的認(rèn)知需要. 基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的教學(xué)，筆者以為向量概念的建構(gòu)可以這樣設(shè)計(jì)：

首先，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生進(jìn)行比較，并形成數(shù)學(xué)抽象的動(dòng)機(jī).

既然向量描述的是既有大小又有方向的量，那么生活中就應(yīng)該存在只有大小沒(méi)有方向的量. 因此在創(chuàng)設(shè)情境的時(shí)候，可以將這兩種類型的量一同提供給學(xué)生，比如物理中的力、位移、速度、功、功率、時(shí)間、某一事物的數(shù)量等，然后讓學(xué)生去比較且進(jìn)行分析，學(xué)生自然就可以從中提取出既有大小又有方向的量. 隨后問(wèn)題也就來(lái)了：為什么這些量既有大小又有方向？很顯然，在描述這些量的特征的時(shí)候，方向這個(gè)要素就不可以回避，這個(gè)時(shí)候看力、速度等，就發(fā)現(xiàn)在生活中存在著一些事物需要同時(shí)從大小以及方向兩個(gè)角度進(jìn)行描述. 于是，數(shù)學(xué)抽象的大門也就打開了.

其次，運(yùn)用數(shù)學(xué)的學(xué)科思維完成數(shù)學(xué)抽象.

對(duì)于向量而言，從大小與方向的生活認(rèn)知到數(shù)學(xué)概念的建立，顯然需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程. 從數(shù)學(xué)思想方法的角度來(lái)看，向量其實(shí)是一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，當(dāng)然這里的數(shù)與形已經(jīng)是抽象后的產(chǎn)物. 需要指出的是，學(xué)生此時(shí)用的數(shù)學(xué)抽象實(shí)際上是強(qiáng)抽象，因?yàn)樯鲜鑫锢砹炕蚱渌繉W(xué)生雖然比較熟悉，但本身是比較抽象的，因此需要用強(qiáng)抽象來(lái)完成. 而且這里的抽象對(duì)象應(yīng)當(dāng)是包括向量和非向量的，學(xué)生通過(guò)抽象之后發(fā)現(xiàn)，有的量抽象的結(jié)果是只有“大小”，而有的則同時(shí)有“大小”和“方向”，這樣也就完成了數(shù)學(xué)抽象.

再次，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果并形成數(shù)學(xué)概念.

學(xué)生完成了數(shù)學(xué)抽象，也就意味著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維已經(jīng)邁過(guò)了一個(gè)重要的觀察，即學(xué)生的思維當(dāng)中已經(jīng)有了抽象的結(jié)果. 有了這個(gè)結(jié)果之后，就必須進(jìn)行輸出，輸出的過(guò)程就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述抽象結(jié)果的過(guò)程. 對(duì)于數(shù)學(xué)抽象而言，這個(gè)過(guò)程也非常重要，因?yàn)槠渖婕皩W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的精確理解. 而且特別需要強(qiáng)調(diào)的是，這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用不只是語(yǔ)言文字，根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)將語(yǔ)言文字與表象結(jié)合起來(lái)效果更佳，也就是說(shuō)讓學(xué)生在口中描述“既有大小又有方向的量”時(shí)，大腦里面還必須能夠浮現(xiàn)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)圖景——一根有向線段，線段的長(zhǎng)短表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向. 這種圖文并茂的方式才是準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用.

■數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)思考

作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中最重要的要素之一，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)奠定了數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程與結(jié)果質(zhì)量，決定了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的質(zhì)量. 作為高中數(shù)學(xué)教師，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的重視以及深入研究是非常必要的，這其中需要思考的問(wèn)題有很多，比如當(dāng)教師認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中必然存在數(shù)學(xué)抽象時(shí)，有沒(méi)有思考過(guò)數(shù)學(xué)抽象的合理性呢？實(shí)際上早就有研究者指出，數(shù)學(xué)抽象的合理性是有所表現(xiàn)的：僅抽取事物對(duì)象量的關(guān)系和空間形式以及抽象的確定性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重貫徹這一特點(diǎn)的教學(xué)策略. 在上面的教學(xué)案例中，數(shù)學(xué)抽象的確定性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象結(jié)果的客觀性上，生活中存在向量是客觀的，用有向線段表示向量也是客觀的. 認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象結(jié)果的客觀性，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的落地非常有益，因?yàn)樗梢宰寣W(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是真實(shí)可信的. 這種認(rèn)識(shí)不是建立在“因?yàn)閷W(xué)習(xí)，所以可信”上，而是建立在自己的數(shù)學(xué)思維運(yùn)用以及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的過(guò)程中的.

因此無(wú)論是從教師的角度還是從學(xué)生的角度，都應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行深入的理解，并在教學(xué)實(shí)踐中求證自己的猜想，從而得以讓數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)更加具有科學(xué)性，更加符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.